Remarque concernant l’estimation par régression lorsque la taille de la population est inconnue 3. Estimateur par régression alternatifRemarque concernant l’estimation par régression lorsque la taille de la population est inconnue 3. Estimateur par régression alternatif

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Nous examinons maintenant un estimateur alternatif qui n’utilise pas l’information sur la taille de population $\left(N\right).$  Il utilise plutôt les probabilités d’inclusion connues ${\pi }_i,$  à condition qu’elles soient connues pour chaque unité de la population. Étant donné que ${\displaystyle {\sum }_{i\in U}}{\pi }_i\mathrm{<mo>=</mo>}n,$  nous pouvons utiliser $z_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\pi }_i\mathrm{,}{x}_i^{*{\rm T}}\right)}^{{\rm T}}$  comme données auxiliaires dans le modèle

$$y_i\mathrm{<mo>=</mo>}{z}_i^{{\rm T}}\beta +e_i\mathrm{,}$$

où $e_i\stackrel{\text{ind}}{\sim }\left(\mathrm{0,}{\sigma }^2{\pi }_i\right).$ Cela signifie que l’introduction de la structure de variance $c_i$ de l’erreur dans le vecteur de régression est donnée par $c_i\mathrm{<mo>=</mo>}{d}_i/{\sigma }^2.$ L’estimateur qui en découle est donné par

$${\widehat{Y}}_{\text{KREG}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{Y}}_{\pi }+{\left(Z-{\widehat{Z}}_{\pi }\right)}^{{\rm T}}{\widehat{B}}_{\text{KREG}}\mathrm{,}(3.1)$$

où $Z\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in U}}{z}_i,$ $\widehat{Z}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in s}}{d}_i{z}_i$ et

$${\widehat{B}}_{\text{KREG}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\displaystyle {\displaystyle \sum }}_{i\in s}{c}_i{d}_i{z}_i{z}_i^{{\rm T}}\right)}^{-1}{\displaystyle {\displaystyle \sum }}_{i\in s}{c}_i{d}_i{z}_i{y}_i\mathrm{.}(3.2)$$

Cet estimateur correspond exactement à celui fourni par Isaki et Fuller (1982).

Remarque 3.1 Par construction,

$${\displaystyle \sum _{i\in s}}{d}_i^2\left(y_i-z_i^{{\rm T}}{\widehat{B}}_{\text{KREG}}\right)z_i\mathrm{<mo>=</mo>}0$$

et, comme ${\pi }_i$  est une composante de $z_i,$  nous avons ${\displaystyle {\sum }_{i\in s}}{d}_i\left(y_i-z_i^{{\rm T}}{\widehat{B}}_{\text{KREG}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>\; 0},$  ce qui aboutit à

$${\widehat{Y}}_{\text{KREG}}\mathrm{<mo>=</mo>}{Z}^{{\rm T}}{\widehat{B}}_{\text{KREG}}\mathrm{.}$$

Ainsi, ${\widehat{Y}}_{\text{KREG}}$  est le meilleur prédicteur linéaire sans biais de $Y\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N}{y}_i$  sous le modèle

$$y_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_i{\beta }_1+x_i^{*{\rm T}}{\beta }_2+e_i\mathrm{,}$$

où $e_i\sim \left(\mathrm{0,}{\sigma }^2{\pi }_i\right).$

Il est à noter que nous pouvons exprimer ${\widehat{B}}_{\text{KREG}}$ sous la forme ${\widehat{B}}_{\text{GREG}}$ en posant que $c_i\mathrm{<mo>=</mo>}{d}_i/{\sigma }^2$ et $x_i\mathrm{<mo>=</mo>}{z}_i.$ L’estimateur par régression proposé peut donc être considéré comme un cas spécial de l’estimateur GREG. En utilisant un argument semblable à (2.12), nous obtenons

$${\widehat{Y}}_{\text{KREG}}-Y\cong {\displaystyle \sum _{i\in s}}{d}_i{E}_i^{*}-{\displaystyle \sum _{i\in U}}{E}_i^{*}\mathrm{,}(3.3)$$

où $E_i^{*}\mathrm{<mo>=</mo>}{y}_i-z_i^{{\rm T}}{B}_{\text{KREG}}$ et

$$B_{\text{KREG}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\displaystyle \sum _{i\in U}}{c}_i{z}_i{z}_i^{{\rm T}}\right)}^{-1}{\displaystyle \sum _{i\in U}}{c}_i{z}_i{y}_i\mathrm{.}$$

L’estimateur proposé est approximativement sans biais, et sa variance asymptotique

$$V\left\{{\displaystyle \sum _{i\in s}}{d}_i\left(y_i-z_i^{{\rm T}}{B}_{\text{KREG}}\right)\right\}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\in U}}{\displaystyle \sum _{j\in U}}{\Delta }_{ij}\frac{E_i^{*}}{{\pi }_i}\frac{E_j^{*}}{{\pi }_j}$$

est souvent plus faible que celle de l’estimateur de Singh et Raghunath (2011).

La version optimale de ${\widehat{Y}}_{\text{KREG}}$ utilise $z_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\pi }_i\mathrm{,}{x}_i^{*{\rm T}}\right)}^{{\rm T}}$ en tant que données auxiliaires. Elle est donnée par

$${\widehat{Y}}_{\text{KOPT}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{Y}}_{\pi }+{\left(Z-{\widehat{Z}}_{\pi }\right)}^{{\rm T}}{\widehat{B}}_{\text{KOPT}}\mathrm{,}(3.4)$$

où ${\widehat{B}}_{\text{KOPT}}$ est obtenu en remplaçant $x_i$ par $z_i$ dans l’équation (2.10).

Remarque 3.2 Pour les plans de sondage de taille fixe, nous avons $V_p\left({\displaystyle {\sum }_{i\in s}}{d}_i{\pi }_i\right)\mathrm{<mo>=</mo>\; 0.}$  Dans ce cas, le vecteur du coefficient de régression optimal $B_{\text{KOPT}}\mathrm{<mo>=</mo>}{V}_p{\left({\widehat{Z}}_{\pi }\right)}^{-1}{\text{Cov}}_p\left({\widehat{Z}}_{\pi }\mathrm{,}{\widehat{Y}}_{\pi }\right)$  ne peut pas être calculé, car la matrice de variances-covariances $V_p\left({\widehat{Z}}_{\pi }\right)$  n’est pas inversible. En conséquence, l’estimateur optimal où $z_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\pi }_i\mathrm{,}{x}_i^{*{\rm T}}\right)}^{{\rm T}}$  se réduit à l’estimateur optimal (2.9) seulement si nous utilisons $x_i^{*}.$

Remarque 3.3 Pour les plans de sondage de taille aléatoire, $V_p\left({\displaystyle {\sum }_{i\in s}}{d}_i{\pi }_i\right)\ge 0.$  Dans ce cas, toutes les composantes de $z_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\pi }_i\mathrm{,}{x}_i^{*{\rm T}}\right)}^{{\rm T}}$  peuvent être utilisées dans l’estimateur par régression optimal sous le plan (2.9).

Une difficulté liée à l’utilisation de l’estimateur optimal ${\widehat{Y}}_{\text{KOPT}}$ est qu’il faut calculer les probabilités d’inclusion conjointe ${\pi }_{ij},$ ce qui peut s’avérer difficile sous certains plans de sondage. Nous pouvons obtenir un estimateur qui ne nous oblige pas à calculer les probabilités d’inclusion conjointe en supposant que ${\pi }_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_i{\pi }_j.$ Nous donnons à cet estimateur le nom d’estimateur pseudo-optimal ${\widehat{Y}}_{\text{POPT}}.$ Il est donné par

$${\widehat{Y}}_{\text{POPT}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{Y}}_{\pi }+{\left(Z-{\widehat{Z}}_{\pi }\right)}^{{\rm T}}{\widehat{B}}_{\text{POPT}}\mathrm{,}(3.5)$$

où

$${\widehat{B}}_{\text{POPT}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\displaystyle \sum _{i\in s}}{c}_i{d}_i{z}_i{z}_i^{{\rm T}}\right)}^{-1}{\displaystyle \sum _{i\in s}}{c}_i{d}_i{z}_i{y}_i$$

et

$$c_i\mathrm{<mo>=</mo>}{d}_i-1.$$

En général, l’estimateur pseudo-optimal ${\widehat{Y}}_{\text{POPT}}$ devrait produire des estimations proches de celles produites par ${\widehat{Y}}_{\text{KREG}}$ lorsque la fraction de sondage est faible. Il est à noter que ${\widehat{Y}}_{\text{POPT}}$ est exactement égal à l’estimateur optimal ${\widehat{Y}}_{\text{KOPT}}$ dans le cas d’un plan de sondage de Poisson. Sous ce plan, les probabilités d’inclusion des unités de l’échantillon sont indépendantes. La variance approximative par rapport au plan pour ${\widehat{Y}}_{\text{KREG}},$ ${\widehat{Y}}_{\text{KOPT}}$ et ${\widehat{Y}}_{\text{POPT}}$ a la même forme que celle donnée par l’équation (2.3) où les $E_i$ sont donnés respectivement par $y_i-z_i^{{\rm T}}{\widehat{B}}_{\text{KREG}},$ $y_i-z_i^{{\rm T}}{\widehat{B}}_{\text{KOPT}}$ et $y_i-z_i^{{\rm T}}{\widehat{B}}_{\text{POPT}}.$

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