1. Introduction
Qi Dong, Michael R. Elliott et Trivellore E. Raghunathan
Hors du contexte des techniques d'enquête, les méthodes statistiques ont habituellement été élaborées sans beaucoup se soucier du plan d'échantillonnage, souvent en supposant implicitement avoir affaire à des échantillons aléatoires simples ou, parfois, à des échantillons en grappes à un degré. En statistique d'enquête contemporaine, d'importants travaux ont pour objectif d'étendre les méthodes à l'analyse de données d'enquêtes complexes (Skinner, Holt et Smith, 1989), en tenant compte de problèmes tels que la stratification, les probabilités inégales de sélection, le biais de non-réponse ou le calage. Hinkins, Oh et Scheuren (1997) ont proposé un algorithme de plan de sondage inverse qui relie la statistique d'enquête et la statistique classique sous un autre angle. Leur idée fondamentale consiste à choisir un sous-échantillon qui possède inconditionnellement une structure d'échantillon aléatoire simple. Le sous-échantillon est souvent nettement plus petit que l'échantillon original, de sorte qu'ils proposent de répéter le processus indépendamment un grand nombre de fois et de prendre la moyenne des résultats pour augmenter la précision. Ils décrivent aussi des schémas d'échantillonnage inverse exacts ou approximatifs pour l'échantillonnage aléatoire simple stratifié, l'échantillonnage en grappes à un degré et l'échantillonnage en grappes à deux degrés. Cependant, l'application de cette nouvelle idée n'est pas très répandue en pratique, peut-être parce qu'elle est très gourmande en temps de calcul et que les pertes de précision sont souvent considérables. En outre, produire des populations synthétiques à partir d'une loi prédictive a posteriori de population conditionnellement aux données d'enquêtes complexes en tenant compte du plan de sondage complexe n'est pas chose simple (Little, 1991). Néanmoins, ces dernières années, la demande de populations synthétiques s'est accrue en vue de pouvoir traiter les problèmes de troncation des pondérations ou de windsorisation (Lazzeroni et Little, 1998; Elliott et Little, 2000; Elliott, 2007; Chen, Elliott et Little, 2010), de risque de divulgation (Little, 1993; Raghunathan, Reiter et Rubin, 2003; Reiter, 2004, 2005) ou de combinaison de données provenant de plusieurs enquêtes (Raghunathan, Xie, Schenker, Parsons, Davis, Dodd et Feuer, 2007; Dong, 2012). Les populations synthétiques sont souvent générées sous une hypothèse distributionnelle (normale, binomiale, Poisson) en approximant la loi a posteriori des paramètres du modèle par la loi normale asymptotique. La moyenne et la matrice de covariance de la loi normale sont estimées après avoir tenu compte des caractéristiques du plan de sondage complexe (Raghunathan et coll., 2007).
Une grande faiblesse des méthodes fondées sur un modèle tient au fait que, si le modèle est très mal spécifié, il donnera lieu à des inférences invalides (Little, 2004). Dans un contexte multivarié, nous devons prendre en considération les liens qui existent entre les variables d'intérêt et déterminer un modèle approprié qui est ajusté aux données, ce qui peut être difficile si les données contiennent différents types de variables. Dans le présent article, nous proposons une méthode non paramétrique qui fait pendant aux méthodes fondées sur un modèle pour générer des populations synthétiques. Les travaux que nous présentons étendent le bootstrap bayésien en population finie et les modèles a posteriori de Pólya connexes de Lo (1988), Ghosh et Meeden (1983) et Cohen (1997) en vue de tenir compte des plans de sondage complexes. Puisqu'elle atteint le même objectif que la méthode d'échantillonnage inverse, elle peut être traitée comme la version bayésienne en population finie de l'échantillonnage inverse. Pour faire des inférences en utilisant ce bootstrap bayésien en population finie pondéré, nous pouvons soit nous servir directement des tirages, soit, par souci d'efficacité des calculs, utiliser les résultats établis antérieurement dans la littérature sur le risque de divulgation et l'imputation multiple, puisque ces populations produites non paramétriquement peuvent être considérées comme des imputations multiples des éléments non observés de la population.
Le plan de l'article est le suivant. À la section 2, nous discutons brièvement des populations synthétiques dans le contexte de l'inférence bayésienne en population finie. À la section 3, nous passons en revue et résumons la méthode du bootstrap bayésien et son extension en population finie, et montrons que, pour un échantillonnage avec probabilités inégales, la loi de probabilité des populations synthétiques générées sous une variante du modèle de l'urne de Pólya concorde avec la loi prédictive a posteriori d'un bootstrap bayésien en population finie. À la section 4, nous présentons la méthode proposée sous échantillonnage en grappes stratifié avec probabilités de sélection inégales. À la section 5, nous montrons que l'inférence à partir de ces populations synthétiques générées non paramétriquement peut être obtenue en utilisant les résultats tirés de la littérature sur le risque de divulgation et l'imputation multiple, où chaque population synthétique possède une variance « intra-imputation » nulle. À la section 6, nous décrivons une étude par simulation réalisée pour évaluer la performance de la méthode non paramétrique dans un contexte de rééchantillonnage. À la section 7, nous appliquons la méthode pour générer des populations synthétiques qui peuvent être utilisées pour estimer les taux de couverture par une assurance maladie en utilisant les données de la NHIS et de la MEPS de 2006, et nous comparons le résultat à celui d'une approche de modélisation paramétrique (log-linéaire). Enfin, nous présentons nos conclusions à la section 8.
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