4. Méthode non paramétrique de production de populations synthétiques

Qi Dong, Michael R. Elliott et Trivellore E. Raghunathan

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À la présente section, nous étendons les méthodes du bootstrap bayésien en population finie au cas d'un plan de sondage en grappes stratifié avec probabilités de sélection inégales en vue d'élaborer une méthode non paramétrique de production de populations synthétiques qui comporte un ajustement pour tenir compte des caractéristiques du plan de sondage complexe. L'idée est de traiter la partie non observée de la population comme des données manquantes et de l'imputer en effectuant des tirages à partir des données réelles. Nous faisons l'imputation de manière que les tirages résultants à partir de la loi a posteriori de la population reflètent les caractéristiques du plan de sondage complexe et puissent être utilisés de la façon classique pour calculer les lois a posteriori des quantités d'intérêt de la population.

4.1 Utilisation du bootstrap bayésien pour l'ajustement pour la stratification et la mise en grappe

Dans le cas d'un échantillonnage en grappes stratifié, nous devons d'abord rééchantillonner les grappes à l'intérieur des strates. Notons $c$ le nombre total de grappes dans les données réelles, $c={\displaystyle {\sum }_{h=1}^H{c}_h},$ et $C$ le nombre de grappes dans la population, $C={\displaystyle {\sum }_{h=1}^H{C}_h}.$ Une approche consiste à appliquer d'abord le modèle de l'urne de Pólya avec le BBPF pour imputer les grappes non observées à l'intérieur de chaque strate, $c_1^{*},\dots ,c_{C_h-c_h}^{*},$ qui, avec les grappes observées, fournissent les grappes dans la strate $h$ de la population. Cependant, les données à grande diffusion disponibles ne nous permettent habituellement pas de savoir quel est le nombre de grappes dans une strate. Donc, comme alternative au tirage d'un échantillon BBPF, nous proposons le tirage d'un échantillon bootstrap bayésien classique de grappes dans chaque strate. En tenant compte de l'équivalence entre le bootstrap classique et le bootstrap bayésien, nous procédons comme Rao et Wu (1988), qui ont proposé de tirer un échantillon aléatoire simple avec remise (EASAR) de taille $m_h$ à partir des $c_h$ grappes et, à l'intérieur de chaque strate $h$, de calculer les poids de rééchantillonnage pour chaque échantillon bootstrap comme

$$w^{\text{*}}{}^{\left(l\right)}=\left\{w_{hik}^{\text{*}\left(l\right)},h=1,\dots ,H,i=1,\dots ,c_h,k=1,\dots ,N_{hi}\right\},$$

où

$$w_{hik}^{\text{*}}=w_{hik}\left(\left(1-\sqrt{\frac{m_h}{c_h-1}}\right)+\sqrt{\frac{m_h}{c_h-1}}\frac{c_h}{m_h}{m}_{hi}^{\text{*}}\right)$$

et $m_{hi}^{*}$ désigne le nombre de fois que la grappe $i, i=1, \dots , c_h$ est sélectionnée. Pour être certain que tous les poids de rééchantillonnage soient non négatifs, il faut que $m_h\le \left(c_h-1\right);$ ici et plus loin, nous prenons $m_h=\left(c_h-1\right).$

Notons qu'en l'absence de grappes, nous tirons simplement un échantillon bootstrap bayésien classique à partir des données échantillonnées dans chaque strate (s'il existe une stratification) ou à partir de l'échantillon complet (en l'absence de stratification, de sorte que $H=1$ ) et nous calculons les poids de rééchantillonnage comme étant $w_{hik}^{*}=w_{hik}{m}_{hi}^{*}.$

Nous répétons cette procédure $L$ fois pour produire $L$ échantillons bootstrap bayésiens (BB) notés $S_1,\dots ,S_L.$ Cette étape génère $L$ échantillons bootstrap bayésiens qui sont essentiellement $L$ tirages à partir de la loi prédictive a posteriori des grappes non observées sachant les données réelles. Cependant, les unités formant les $L$ échantillons bootstrap bayésiens possèdent encore des poids et ne peuvent être analysées comme s'il s'agissait d'échantillons aléatoires simples.

4.2 Utilisation du modèle de l'urne de Pólya avec le BBPF pondéré pour faire un ajustement pour la pondération

Une fois que nous avons obtenu $L$ échantillons BB avec les poids de rééchantillonnage, la deuxième étape consiste à imputer les unités non observées en utilisant le modèle de l'urne de Pólya avec le BBPF pondéré. En pratique, la probabilité de sélection de la $k^{\text{e}}$ unité, $y_k^{*},$ dépend de la sélection des $k-1$ premières unités, $y_1^{*},\dots ,y_{k-1}^{*}.$  Autrement dit, pour déterminer la probabilité de sélection d'une nouvelle unité, nous devons compter le nombre de fois que chaque unité présente dans l'échantillon a été sélectionnée parmi les sélections antérieures. Si la taille de la population est très grande, il nous suffit de générer des populations synthétiques de taille $T*n,$ où $T$ est suffisamment grand pour dominer la taille d'échantillon (p. ex. 20-100). Pour accroître encore davantage l'efficacité des calculs, nous pourrions aussi tirer $F>1$ fois une population de taille modérée, puis regrouper ces $F$ populations pour produire une population synthétique, $S_l.$ La taille de $S_l$ est alors $F*T*n.$

Notons que, sous notre méthode, il ne faut connaître que les poids finaux dans les échantillons en grappes à plusieurs degrés, puisque tous les degrés d'échantillonnage avec probabilités de sélection inégales sont corrigés par l'utilisation du modèle de l'urne de Pólya avec le BBPF pondéré. Cette caractéristique de la méthode proposée est particulièrement utile, car dans de nombreux jeux de données à grande diffusion, les composantes des probabilités de sélection (p. ex. probabilités de sélection au niveau de la grappe, poids de non-réponse) ne sont pas disponibles.

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