6. Études par simulation

Qi Dong, Michael R. Elliott et Trivellore E. Raghunathan

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À la présente section, nous décrivons deux études par simulation réalisées pour évaluer les propriétés de rééchantillonnage des estimateurs de population construits en utilisant la méthode non paramétrique qui produit des populations synthétiques en effectuant un ajustement pour tenir compte des caractéristiques du plan de sondage complexe. La première simulation porte sur un plan de sondage à un degré avec probabilités de sélection inégales dans lequel nous faisons varier le nombre de tirages BBPF pondérés pour chaque population synthétique, ainsi que le nombre de populations synthétiques pour évaluer l'effet sur l'inférence. La deuxième simulation a pour objectif de comparer les propriétés inférentielles à partir des données observées et à partir de la loi a posteriori obtenue d'après la population synthétique sous un plan de sondage stratifié à plusieurs degrés avec probabilités de sélection inégales, cette fois-ci en fixant la taille de l'échantillon a posteriori, tout en considérant la moyenne de population ainsi que les paramètres de régression de population comme les cibles des inférences.

6.1 Plan de sondage à un degré avec probabilités de sélection inégales

Nous avons généré les données pour la variable de résultat $Y$ dans une population de $N$ sujets provenant d'une loi Gamma modérément asymétrique, conditionnellement à la covariable $X$ qui suit une loi uniforme :

$$\begin{array}{c}{X}_i~\text{UNI}\left(0,05;0,65\right),i=1,\dots ,N\\ Y_i|X_i=x_i~\text{GAMMA}\left(10*x_i,1\right)\end{array}$$

Nous supposons que $X$ est entièrement observé pour la population, et que la probabilité de sélection $\pi$ est proportionnelle à $X,$ de sorte que ${\pi }_i\doteq n{x}_i/{\displaystyle {\sum }_i{x}_i}$ dans un plan de sondage sans remise à condition que $n<<N.$ La quantité à estimer est la moyenne de population $\overline{Y}=N^{-1}{\displaystyle {\sum }_{i=1}^N{y}_i}=$ 3,564. Notons que $\text{corr}\left(Y_i,X_i\right)=$ 0,6794, de sorte que les moyennes d'échantillon non pondérées présentent un biais positif, et que l'utilisation des poids de sondage $w_i=1/{\pi }_i$ est nécessaire pour obtenir des estimations sans biais de $\overline{Y}.$ Nous générons une population de taille $N=$ 1 000 à partir de laquelle nous tirons $n=100$ échantillons; nous estimons ensuite le biais, la variance empirique et la variance estimée, la longueur de l'intervalle de confiance à 95 % et la couverture au niveau de confiance nominal de 95 % au moyen de 200 échantillons indépendants tirés de la population. Nous faisons varier le nombre total de populations simulées $L$ qui prend les valeurs de 5, 20, 100 et 1 000, ainsi que le nombre $F$ de tirages BBPF de taille $N-n$ (de manière que $K=9$ ) qui prend les valeurs de 1, 20 et 100, dans un plan factoriel complet. Nous obtenons la variance, la longueur de l'intervalle et la couverture de l'intervalle au moyen de l'approximation normale; pour $L=$ 100 et 1 000, nous obtenons également la variance, la longueur de l'intervalle et la couverture de l'intervalle en utilisant les tirages directs à partir de la loi prédictive a posteriori, puisque nous disposons d'un nombre suffisant de tirages à partir de cette loi pour produire ces estimations.

Le tableau 6.1 donne les résultats de l'étude par simulation. Dans tous les cas, l'estimation ponctuelle ${\overline{Q}}_L$ de la moyenne de population est approximativement sans biais, ce qui témoigne de la capacité du BBPF pondéré à « défaire » les poids de sondage pour produire la population synthétique. Sous l'approximation normale, l'augmentation du nombre de populations synthétiques est associée à de plus petites variances et des intervalles plus étroits, comme il fallait s'y attendre sous un plus grand nombre de degrés de liberté, quoique la différence entre les résultats obtenus pour 20 et 100 populations soit minime, juste quand la loi $t_{20}$ commence à s'approcher d'une loi normale standard. Enfin, l'utilisation d'un seul tirage BBPF de taille $N-n$ semble donner lieu à une surestimation de la variance et à un surdénombrement, surtout pour les petites valeurs de $L$. Les valeurs de $L$ et de $F$ égales ou supérieures à 20 semblent donner des résultats raisonnables. L'utilisation des tirages directs pour $L=$ 100 et 1 000 produit des estimations de variance et d'intervalle de crédibilité qui sont fort semblables à celles données par l'approximation normale, les longueurs d'intervalle étant toutefois légèrement plus courtes et les couvertures un peu moins conservatrices.

6.2 Plan de sondage stratifié à plusieurs degrés avec probabilités de sélection inégales

Nous avons généré une population comprenant des strates et des grappes dans chaque strate à partir de la loi normale bivariée suivante :

$$\left(\begin{array}{c}{X}_{1ijk}\\ X_{2ijk}\end{array}\right)~N\left(\left(\begin{array}{c}500+4,5\text{*}i+u_{ij}\\ 500+4,5\text{*}i+u_{ij}\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}100& 50\\ 50& 100\end{array}\right)\right),$$

où

$i=1/150$ désigne l'effet de strate;

$u_{ij}~N\left(0,10\right)$ désigne l'effet de grappe aléatoire;

$a_i~\text{uniforme}\left(2,52\right)$ désigne le nombre de grappes dans la strate $i;$

$b_{ij}~\text{uniforme}\left(10,20\right)$ désigne le nombre d'unités dans la grappe $j$ de la strate $i.$

La population utilisée pour l'étude par simulation compte 61 324 sujets. Nous tirons un échantillon en grappes stratifié avec probabilités de sélection inégales. Plus précisément, nous sélectionnons deux grappes dans chaque strate avec probabilités proportionnelles à la taille de grappe (PPT) données par $b_{i·}={\displaystyle {\sum }_{j=1}^{a_i}{b}_{ij}}.$ Dans chaque grappe sélectionnée, nous sélectionnons environ un cinquième $(1/5)$ de la population. Donc, la probabilité que l'unité $ij$ soit sélectionnée est donnée par

$${\pi }_{ij}=\frac{2b_{i·}}{{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{a_i}{b}_{ij}}}\times \frac{\lfloor b_{ij}/5\rfloor }{b_{ij}}$$

pour tout élément $j$ dans la grappe $i$ avec les poids correspondants

$$w_{ij}=\frac{b_{ij}{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{a_i}{b}_{ij}}}{2b_{i·}\lfloor b_{ij}/5\rfloor }\text{.}$$

Puisque les nombres de grappes et d'unités sont aléatoires, la taille de l'échantillon complexe diffère légèrement d'une réplique à l'autre, la moyenne étant approximativement de 770.

Comme l'échantillon et la population sont de grande taille, nous nous concentrons sur l'inférence en utilisant les approximations $t$. Nous générons $L=$ 100 populations synthétiques en utilisant $F$ échantillons BBPF pondérés de taille $K=100n.$ Les quantités à estimer sont la moyenne marginale de population pour $x_1$

$${\overline{X}}_1=N^{-1}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{X}_{1i}}$$

et celle pour $x_2,$ obtenue de manière similaire, ainsi que les coefficients de régression de $x_1$ sur $x_2$, donnés par

${\overline{X}}_1=N^{-1}{\displaystyle \sum _{i=1}^N{X}_{1i}}$

Nous avons tiré 200 échantillons indépendants de la population et utilisé les données d'échantillon pour calculer directement les moyennes et les coefficients de régression linéaire pour l'échantillon pondéré, ainsi que les estimations correspondantes des variances et des intervalles de confiance au niveau nominal de 95 % en utilisant des approximations par développement en série de Taylor, et les avons comparées aux estimations équivalentes obtenues en utilisant les données synthétiques non paramétriques. Les résultats sont présentés au tableau 6.2. (Puisque les moyennes marginales ont la même valeur de superpopulation, nous combinons les résultats dans le tableau 6.2.) La figure 6.1 donne le diagramme de dispersion des paires de moyennes, d'ordonnées à l'origine et de pentes estimées d'après les échantillons réels et les populations synthétiques correspondantes, ainsi qu'une droite à 45 degrés. Les distributions d'échantillonnage des estimations d'après les échantillons réels et les populations synthétiques sont très proches. Les estimations ponctuelles et les erreurs-types des moyennes ainsi que des paramètres de régression sont très proches. Les taux de couverture des intervalles de confiance à 95 % sont très proches pour les trois statistiques, et sont proches des valeurs nominales.

Figure  6.1 Diagramme de dispersion des statistiques descriptives et analytiques pour les populations réelles et synthétiques

Description de la figure 6.1

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