La vraisemblance pénalisée de Firth pour les régressions à risques proportionnels en cas d’enquêtes complexes
Section 4. Résumé

Table des matières

La vraisemblance pénalisée de Firth est utile pour l’obtention d’estimations par le maximum de vraisemblance à partir d’une vraisemblance monotone dans des modèles de régression à risques proportionnels. Nous avons proposé une méthode de mise à l’échelle des poids et montré que la vraisemblance pénalisée de Firth utilisant des poids mis à l’échelle présente certaines propriétés souhaitables quand on étudie des enquêtes complexes. Au moyen d’une étude par simulations, on a montré que les biais estimés dans les estimations ponctuelles et les erreurs-types utilisant des poids mis à l’échelle sont inférieurs aux biais estimés quand les poids ne sont pas mis à l’échelle. Bien que la vraisemblance pénalisée de Firth produise de « bonnes » estimations sur la plupart des ensembles de données simulés, elle n’a pas produit de « bonnes » convergences pour certains ensembles de données. La vraisemblance pénalisée de Firth utilisant des poids mis à l’échelle est parvenue à corriger pour une vraisemblance monotone quand nous avons estimé les taux de risque de crise cardiaque à partir d’un ensemble de données de la NHEFS. Bien que les résultats numériques soient très encourageants, il faut approfondir les recherches pour calculer les distributions asymptotiques des estimateurs obtenus au moyen de la vraisemblance pénalisée de Firth.

Nous recommandons d’utiliser une vraisemblance non pénalisée quand la convergence ne pose pas problème. En revanche, la vraisemblance pénalisée de Firth utilisant des poids mis à l’échelle est préférable en cas de vraisemblance monotone dans l’ajustement des modèles de régression à risques proportionnels pour les enquêtes complexes.

Remerciements

Je remercie Ying So, Randy Tobias et Ed Huddleston du SAS Institute Inc. de l’aide précieuse qu’ils m’ont apportée dans la préparation de l’article. J’aimerais également remercier les deux examinateurs anonymes et le rédacteur adjoint pour leurs suggestions constructives.

Annexe 1

Convergence de l’estimateur par la vraisemblance pénalisée de Firth

Les estimateurs de la section 2 sont définis comme la solution à un système d’équations construites au moyen des fonctions de score des modèles de régression à risques proportionnels. Dans la présente annexe, nous montrons que, dans certaines conditions de régularité, ces estimateurs sont convergents par rapport au plan de sondage. Les propriétés des estimateurs qui sont des solutions à un ensemble d’équations d’estimation sont largement étudiées dans la littérature sur les enquêtes. Voir par exemple Binder (1983), Godambe et Thompson (1986) et Fuller (2009, section 1.3.4).

Toutefois, les équations d’estimation pour les modèles de régression à risques proportionnels sont plus complexes que les équations d’estimation pour les modèles linéaires généralisés, car les fonctions de score impliquent des sommes pondérées sur les unités échantillonnées. Binder (1992) et Lin (2000) ont montré que les estimateurs obtenus par la résolution d’équations d’estimation pour les modèles de régression à risques proportionnels sont convergents. Dans la présente annexe, nous adoptons des arguments semblables à ceux de Lin (2000) et d’Andersen et Gill (1982).

Il faut plusieurs hypothèses techniques pour démontrer que les estimations ponctuelles sont cohérentes. Nous avons besoin d’hypothèses sur les équations d’estimation, la population finie et le plan de sondage selon lesquelles :

les fonctions définissant les équations d’estimation doivent être lisses et convexes;
la population finie doit être telle que les moments des quantités de population qu’on utilise pour définir les équations d’estimation existent;
le plan de sondage doit être tel que les estimateurs de Narain-Horvitz-Thompson (NHT) (Rao, 2005) pour les totaux de population se comportent raisonnablement.

Toutes ces hypothèses sont courantes dans la littérature sur les enquêtes-échantillons comme dans Fuller (2009). Les fonctions de score pour les modèles de régression à risques proportionnels comportent des rapports de moyennes de fonctions exponentielles qui sont différenciables à l’infini.

Soit $U_{N}$ et $F_{N}$ qui désignent respectivement l’ensemble d’indices et les valeurs pour la $N^{e}$ population finie dans une séquence de populations indexées par $N,$ et soit $A_{N}$ un échantillon de taille $n$ tiré de $U_{N} .$ Afin d’étudier les propriétés des grands échantillons pour les estimateurs basés sur un échantillon, nous supposons des séquences de population et des échantillons tels que $N \to \infty$ et $(N - n) \to \infty,$ en gardant la fraction de sondage, $\frac{n}{N},$ fixe.

Supposons que $F_{N} = {(t_{i}, Δ_{i}, Z_{i} (\cdot))}_{i =1}^{N}$ est un échantillon aléatoire simple de taille $N$ de la distribution conjointe de $(T, Δ, Z (\cdot)),$ où $t$ est le temps de défaillance ou le temps de censure, s’il est inférieur; $Δ = 1$ si le temps de défaillance est inférieur au temps de censure et 0 sinon; et $Z (\cdot)$ est un vecteur de variables explicatives susceptibles de varier avec le temps.

Soit $β$ un ensemble de paramètres de régression pour la superpopulation qui est définie par la distribution conjointe de $(T, Δ, Z (\cdot)) .$ Soit $β_{N}$ un ensemble de paramètres de population finie obtenus par la résolution des équations d’estimation quand toutes les unités $N$ de la population sont observées, et soit ${\hat{β}}_{N}$ un estimateur de $β_{N}$ qui est obtenu par la résolution des équations d’estimation pondérées seulement au moyen des unités échantillonnées. Notre objectif est de montrer que ${\hat{β}}_{N}$ se rapproche de $β_{N}$ et que les deux se rapprochent de $β$ à mesure que la taille de l’échantillon et la taille de la population augmentent.

Examinons les équations d’estimation qui correspondent à la vraisemblance pénalisée de Firth décrite à la section 2. Par souci de simplicité, nous écrivons ces équations pour un cas sans événements liés. Afin de simplifier encore la notation, nous écrivons séparément chaque composante des équations d’estimation. Les paramètres de population finie, $β_{N},$ sont une solution à la fonction de score de la vraisemblance partielle pénalisée, $U_{N} (β) = {(U_{N, 1} (β), \dots, U_{N, P} (β))}^{'},$ où

$\begin{array}{l} U_{N, p} (β) & = N^{- 1} \sum_{i \in U_{N}} Δ_{i} [Z_{i} (t_{i}) - \frac{S_{p}^{(1)} (β, t_{i})}{S^{(0)} (β, t_{i})} + 0,5 tr (\begin{array}{l} {[N^{- 1} \sum_{i \in U_{N}} Δ_{i} {\frac{S^{(2)} (β, t_{i})}{S^{(0)} (β, t_{i})} - (\frac{S^{(1)} (β, t_{i})}{S^{(0)} (β, t_{i})}) {(\frac{S^{(1)} (β, t_{i})}{S^{(0)} (β, t_{i})})}^{'}}]}^{- 1} \\ {\begin{cases} (\frac{Q_{p}^{(2)} (β, t_{i})}{S^{(0)} (β, t_{i})} - \frac{Q_{p}^{(0)} (β, t_{i})}{S^{(0)} (β, t_{i})} \frac{S^{(2)} (β, t_{i})}{S^{(0)} (β, t_{i})}) \\ - (\frac{Q_{p}^{(1)} (β, t_{i})}{S^{(0)} (β, t_{i})} - \frac{Q_{p}^{(0)} (β, t_{i})}{S^{(0)} (β, t_{i})} \frac{S^{(1)} (β, t_{i})}{S^{(0)} (β, t_{i})}) {(\frac{S^{(1)} (β, t_{i})}{S^{(0)} (β, t_{i})})}^{'} \\ - (\frac{S^{(1)} (β, t_{i})}{S^{(0)} (β, t_{i})}) {(\frac{Q_{p}^{(1)} (β, t_{i})}{S^{(0)} (β, t_{i})} - \frac{Q_{p}^{(0)} (β, t_{i})}{S^{(0)} (β, t_{i})} \frac{S^{(1)} (β, t_{i})}{S^{(0)} (β, t_{i})})}^{'} \end{cases}} \end{array})] \end{array}$

où

$S^{(a)} (β, t) = N^{- 1} \sum_{i \in U_{N}} I (t_{i} \geq t) \exp (β^{'} Z_{i} (t)) {[Z_{i} (t)]}^{\otimes a}$

$Q_{p}^{(a)} (β, t) = N^{- 1} \sum_{i \in U_{N}} I (t_{i} \geq t) \exp (β^{'} Z_{i} (t)) Z_{i, p} (t) {[Z_{i} (t)]}^{\otimes a}$

et où $a = 0, 1, 2;$ $Z_{i} (t) = {(Z_{i, 1} (t), \dots, Z_{i, p} (t))}^{'};$ $S^{(1)} (β, t) = (S_{1}^{(1)} (β, t), \dots, S_{P}^{(1)} (β, t))^{'};$ $tr (\cdot)$ désigne la trace d’une matrice; $I (\cdot)$ désigne la fonction indicatrice; $p = 1, 2, \dots, P;$ et $P$ est le nombre de paramètres de régression. Notons que $S^{(a)} (β, t)$ et $Q_{p}^{(a)} (β, t)$ dépendent de $N,$ bien que la notation ne l’indique pas par souci de simplicité.

En définissant la fonction de score pour la vraisemblance pénalisée, nous supposons que la matrice d’information pour la population finie, $I_{N} (β, t),$ est toujours définie positive.

Il faut toutefois rappeler que dans une situation réaliste, toutes les unités de la population finie ne sont pas disponibles. Soit un échantillon $A_{N}$ sélectionné au moyen d’un plan de sondage probabiliste qui attribue une probabilité de sélection non nulle, $π_{i},$ à chaque unité de la population. Soit $w_{i} = π_{i}^{- 1}$ le poids de sondage. On obtient un estimateur basé sur un échantillon, ${\hat{β}}_{N},$ en résolvant les équations de score estimées par la vraisemblance partielle pénalisée. En supposant que $N$ est connu, on obtient comme estimateur basé sur un échantillon pour $U_{N, p} (β)$

${\hat{U}}_{N, p} (β) = N^{- 1} \sum_{i \in A_{N}} w_{i} Δ_{i} [Z_{i} (t_{i}) - \frac{{\hat{S}}_{p}^{(1)} (β, t_{i})}{{\hat{S}}^{(0)} (β, t_{i})} + 0,5 tr (\begin{array}{l} {[N^{- 1} \sum_{i \in A_{N}} w_{i} Δ_{i} {\frac{{\hat{S}}^{(2)} (β, t_{i})}{{\hat{S}}^{(0)} (β, t_{i})} - (\frac{{\hat{S}}^{(1)} (β, t_{i})}{{\hat{S}}^{(0)} (β, t_{i})}) {(\frac{{\hat{S}}^{(1)} (β, t_{i})}{{\hat{S}}^{(0)} (β, t_{i})})}^{'}}]}^{- 1} \\ {\begin{cases} (\frac{{\hat{Q}}_{p}^{(2)} (β, t_{i})}{{\hat{S}}^{(0)} (β, t_{i})} - \frac{{\hat{Q}}_{p}^{(0)} (β, t_{i})}{{\hat{S}}^{(0)} (β, t_{i})} \frac{{\hat{S}}^{(2)} (β, t_{i})}{{\hat{S}}^{(0)} (β, t_{i})}) \\ - (\frac{{\hat{Q}}_{p}^{(1)} (β, t_{i})}{{\hat{S}}^{(0)} (β, t_{i})} - \frac{{\hat{Q}}_{p}^{(0)} (β, t_{i})}{{\hat{S}}^{(0)} (β, t_{i})} \frac{{\hat{S}}^{(1)} (β, t_{i})}{{\hat{S}}^{(0)} (β, t_{i})}) {(\frac{{\hat{S}}^{(1)} (β, t_{i})}{{\hat{S}}^{(0)} (β, t_{i})})}^{'} \\ - (\frac{{\hat{S}}^{(1)} (β, t_{i})}{{\hat{S}}^{(0)} (β, t_{i})}) {(\frac{{\hat{Q}}_{p}^{(1)} (β, t_{i})}{{\hat{S}}^{(0)} (β, t_{i})} - \frac{{\hat{Q}}_{p}^{(0)} (β, t_{i})}{{\hat{S}}^{(0)} (β, t_{i})} \frac{{\hat{S}}^{(1)} (β, t_{i})}{{\hat{S}}^{(0)} (β, t_{i})})}^{'} \end{cases}} \end{array})]$

où

${\hat{S}}^{(a)} (β, t) = N^{- 1} \sum_{i \in A_{N}} w_{i} I (t_{i} \geq t) \exp (β^{'} Z_{i} (t)) {[Z_{i} (t)]}^{\otimes a}$

${\hat{Q}}_{p}^{(a)} (β, t) = N^{- 1} \sum_{i \in A_{N}} w_{i} I (t_{i} \geq t) \exp (β^{'} Z_{i} (t)) Z_{i, p} (t) {[Z_{i} (t)]}^{\otimes a}$

sont les estimateurs de NHT pour $S^{(a)} (β, t)$ et $Q_{p}^{(a)} (β, t),$ respectivement.

Parce que ${\hat{S}}^{(a)} (β, t)$ et ${\hat{Q}}_{p}^{(a)} (β, t)$ utilisent des sommes pondérées sur des unités échantillonnées, nous avons besoin de techniques définies dans Lin (2000) pour étudier les propriétés des grands échantillons de ces estimateurs. Définissons $G_{i} (t) = Δ_{i} I (t_{i} \leq t),$ $G (t) = N^{- 1} \sum_{i \in U_{N}} G_{i} (t)$ et $\hat{G} (t) = \sum_{i \in A_{N}} w_{i} G_{i} (t) .$ Nous pouvons alors écrire les fonctions de score de population finie au moyen de l’intégration stochastique,

$U_{N, p} (β) = N^{- 1} \sum_{i \in U_{N}} \int_{0}^{\infty} [Z_{i} (t_{i}) - \frac{S_{p}^{(1)} (β, t_{i})}{S^{(0)} (β, t_{i})} + 0,5 tr (\begin{array}{l} {[N^{- 1} \sum_{i \in A_{N}} \int_{0}^{\infty} {\frac{S^{(2)} (β, t_{i})}{S^{(0)} (β, t_{i})} - (\frac{S^{(1)} (β, t_{i})}{S^{(0)} (β, t_{i})}) {(\frac{S^{(1)} (β, t_{i})}{S^{(0)} (β, t_{i})})}^{'}} d G (t_{i})]}^{- 1} \\ {\begin{cases} (\frac{Q_{p}^{(2)} (β, t_{i})}{S^{(0)} (β, t_{i})} - \frac{Q_{p}^{(0)} (β, t_{i})}{S^{(0)} (β, t_{i})} \frac{S^{(2)} (β, t_{i})}{S^{(0)} (β, t_{i})}) \\ - (\frac{Q_{p}^{(1)} (β, t_{i})}{S^{(0)} (β, t_{i})} - \frac{Q_{p}^{(0)} (β, t_{i})}{S^{(0)} (β, t_{i})} \frac{S^{(1)} (β, t_{i})}{S^{(0)} (β, t_{i})}) {(\frac{S^{(1)} (β, t_{i})}{S^{(0)} (β, t_{i})})}^{'} \\ - (\frac{S^{(1)} (β, t_{i})}{S^{(0)} (β, t_{i})}) {(\frac{Q_{p}^{(1)} (β, t_{i})}{S^{(0)} (β, t_{i})} - \frac{Q_{p}^{(0)} (β, t_{i})}{S^{(0)} (β, t_{i})} \frac{S^{(1)} (β, t_{i})}{S^{(0)} (β, t_{i})})}^{'} \end{cases}} \end{array})] d G_{i} (t)$

et les fonctions de score basées sur l’échantillon sont

${\hat{U}}_{N, p} (β) = N^{- 1} \sum_{i \in U_{N}} \int_{0}^{\infty} I (i \in A_{n}) w_{i} [Z_{i} (t_{i}) - \frac{{\hat{S}}_{p}^{(1)} (β, t_{i})}{{\hat{S}}^{(0)} (β, t_{i})} + 0,5 tr (\begin{array}{l} {[N^{- 1} \sum_{i \in U_{N}} \int_{0}^{\infty} I (i \in A_{N}) w_{i} {\frac{{\hat{S}}^{(2)} (β, t_{i})}{{\hat{S}}^{(0)} (β, t_{i})} - (\frac{{\hat{S}}^{(1)} (β, t_{i})}{{\hat{S}}^{(0)} (β, t_{i})}) {(\frac{{\hat{S}}^{(1)} (β, t_{i})}{{\hat{S}}^{(0)} (β, t_{i})})}^{'}} d G_{i} (t)]}^{- 1} \\ {\begin{cases} (\frac{{\hat{Q}}_{p}^{(2)} (β, t_{i})}{{\hat{S}}^{(0)} (β, t_{i})} - \frac{{\hat{Q}}_{p}^{(0)} (β, t_{i})}{{\hat{S}}^{(0)} (β, t_{i})} \frac{{\hat{S}}^{(2)} (β, t_{i})}{{\hat{S}}^{(0)} (β, t_{i})}) \\ - (\frac{{\hat{Q}}_{p}^{(1)} (β, t_{i})}{{\hat{S}}^{(0)} (β, t_{i})} - \frac{{\hat{Q}}_{p}^{(0)} (β, t_{i})}{{\hat{S}}^{(0)} (β, t_{i})} \frac{{\hat{S}}^{(1)} (β, t_{i})}{{\hat{S}}^{(0)} (β, t_{i})}) {(\frac{{\hat{S}}^{(1)} (β, t_{i})}{{\hat{S}}^{(0)} (β, t_{i})})}^{'} \\ - (\frac{{\hat{S}}^{(1)} (β, t_{i})}{{\hat{S}}^{(0)} (β, t_{i})}) {(\frac{{\hat{Q}}_{p}^{(1)} (β, t_{i})}{{\hat{S}}^{(0)} (β, t_{i})} - \frac{{\hat{Q}}_{p}^{(0)} (β, t_{i})}{{\hat{S}}^{(0)} (β, t_{i})} \frac{{\hat{S}}^{(1)} (β, t_{i})}{{\hat{S}}^{(0)} (β, t_{i})})}^{'} \end{cases}} \end{array})] d G_{i} (t) .$

Notons que les quantités $S^{(a)}$ et $Q_{p}^{(a)}$ sont simplement des moyennes sur des quantités de population finie. Définissons les limites de ces moyennes comme suit :

$\begin{array}{l} s^{(a)} (β, t) & := \lim_{N \to \infty} S^{(a)} (β, t) \\ = \lim_{N \to \infty} N^{- 1} \sum_{i \in U_{N}} I (t_{i} \geq t) \exp (β^{'} Z_{i} (t)) {[Z_{i} (t)]}^{\otimes a} \\ q_{p}^{(a)} (β, t) & := Q_{p}^{(a)} (β, t) \\ = N^{- 1} \sum_{i \in U_{N}} I (t_{i} \geq t) \exp (β^{'} Z_{i} (t)) Z_{i, p} (t) {[Z_{i} (t)]}^{\otimes a} \\ g (t) & := \lim_{N \to \infty} N^{- 1} \sum_{i \in U_{N}} G_{i} (t) \\ α & := \lim_{N \to \infty} N^{- 1} \sum_{i \in U_{N}} \int_{0}^{\infty} Z_{i} (t) d G_{i} (t) . \end{array}$

Ainsi, la fonction de score de la population finie, $U_{N, p} (β),$ converge vers la fonction de score de la superpopulation $u_{N, p} (β),$ où

$u_{N, p} (β) = α - \int_{0}^{\infty} \frac{s_{p}^{(1)} (β, t)}{s^{(0)} (β, t)} d g (t) + 0,5 tr (\begin{array}{l} \int_{0}^{\infty} {[\int_{0}^{\infty} {\frac{s^{(2)} (β, t)}{s^{(0)} (β, t)} - (\frac{s^{(1)} (β, t)}{s^{(0)} (β, t)}) {(\frac{s^{(1)} (β, t)}{s^{(0)} (β, t)})}^{'}} d g (t)]}^{- 1} \\ {\begin{cases} {(\frac{q_{p}^{(2)} (β, t)}{s^{(0)} (β, t)} - \frac{q_{p}^{(0)} (β, t)}{s^{(0)} (β, t)} \frac{s^{(2)} (β, t)}{s^{(0)} (β, t)})}_{_{_{}}}^{^{^{}}} \\ - (\frac{q_{p}^{(1)} (β, t)}{s^{(0)} (β, t)} - \frac{q_{q}^{p} (β, t)}{s^{(0)} (β, t)} \frac{s^{(1)} (β, t)}{s^{(0)} (β, t)}) {(\frac{s^{(1)} (β, t)}{s^{(0)} (β, t)})}^{'} \\ - (\frac{s^{(1)} (β, t)}{s^{(0)} (β, t)}) {(\frac{q_{p}^{(1)} (β, t)}{s^{(0)} (β, t)} - \frac{q_{p}^{(0)} (β, t)}{s^{(0)} (β, t)} \frac{s^{(1)} (β, t)}{s^{(0)} (β, t)})}^{'} \end{cases}} d g (t) \end{array}) .$

Supposons maintenant que les quantités de population, $Z_{i},$ qui servent à définir les fonctions des score ont des moments finis et que la séquence des plans de sondage est telle que toutes les fonctions lisses des estimateurs de NHT convergent. Parce que $U_{N} (β)$ est une fonction lisse des totaux de population, et que chaque total est estimé au moyen d’un estimateur de NHT, ${\hat{U}}_{N} (β),$ est convergent par rapport au plan de sondage pour $U_{N} (β) .$ Par conséquent, $(U_{N} (β) - {\hat{U}}_{N} (β)) | F_{N} = o (1) .$ Ainsi, en utilisant des arguments semblables à ceux de Lin (2000) et d’Andersen et de Gill (1982), on peut montrer que $β_{N}$ et ${\hat{β}}_{N}$ convergent vers la même limite.

Parce que $n / N$ est fixe, $\sum_{A_{N}} w_{i}$ est l’estimateur de NHT pour $N,$ et que $\hat{U} (β)$ est un estimateur convergent (pas nécessairement sans biais) de 0, $\hat{U} (β)$ et $(n / N) \hat{U} (β)$ convergent vers la même limite avec un ordre de convergence identique. On peut facilement montrer que $(n / N) \hat{U} (β)$ et $(n / \sum_{A_{N}} w_{i}) \hat{U} (β),$ les équations d’estimation qui utilisent les poids mis à l’échelle, ont une espérance identique.

Annexe 2

Programme SAS pour l’obtention d’estimations par la vraisemblance pénalisée de Firth

Les instructions SAS à la fin de la section sont ajustées à un modèle de régression à risques proportionnels utilisant des poids mis à l’échelle dans une vraisemblance pénalisée de Firth. L’instruction PROC invoque la procédure et l’option VARMETHOD = JK lance une requête d’estimation de la variance par la méthode du jackknife. On peut aussi spécifier VARMETHOD = TAYLOR, VARMETHOD = BRR ou VARMETHOD = BOOT pour lancer une requête de méthode d’estimation de la variance par linéarisation en séries de Taylor, par répliques répétées équilibrées ou par rééchantillonnage bootstrap, respectivement. La sous-option DETAILS de l’option VARMETHOD = JK imprime les estimations de chaque échantillon répété ainsi que l’état de convergence. L’instruction WEIGHT spécifie les poids d’échantillonnage, l’instruction STRATA spécifie les strates et l’instruction CLUSTER spécifie les UPE. L’instruction MODEL spécifie le modèle d’analyse. L’option FIRTH dans l’instruction MODEL lance une requête de vraisemblance pénalisée de Firth. Les deux instructions HAZARDRATIO lancent des requêtes de rapports des risques pour le cholestérol sanguin et le tabagisme, respectivement. L’instruction ODS OUTPUT stocke les estimations par répliques et l’état de convergence de chaque réplique dans l’ensemble de données SAS RepEstimatesFirth. Cet ensemble de données est utile aux fins de vérification de l’état de convergence de chaque échantillon répété.

Début du texte de la boîte

proc surveyphreg data = NHEFS varmethod=jk (details);

class

Gender HighBloodChol Race Smoker;

weight

ObservationWeight;

strata

Stratum;

cluster

PSU;

model

EventTime*HeartAttack(2) = Income HighBloodChol Smoker Race Gender Race*Gender / firth;

hazardratio

HighBloodChol;

hazardratio

Smoker;

ods output

repestimates=RepEtimatesFirth;

run;

Fin du texte de la boîte

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Wolter, K.M. (2007). Introduction to Variance Estimation. 2^nd Ed. New York: Springer.

ISSN : 1712-5685

Politique de rédaction

Techniques d’enquête publie des articles sur les divers aspects des méthodes statistiques qui intéressent un organisme statistique comme, par exemple, les problèmes de conception découlant de contraintes d’ordre pratique, l’utilisation de différentes sources de données et de méthodes de collecte, les erreurs dans les enquêtes, l’évaluation des enquêtes, la recherche sur les méthodes d’enquête, l’analyse des séries chronologiques, la désaisonnalisation, les études démographiques, l’intégration de données statistiques, les méthodes d’estimation et d’analyse de données et le développement de systèmes généralisés. Une importance particulière est accordée à l’élaboration et à l’évaluation de méthodes qui ont été utilisées pour la collecte de données ou appliquées à des données réelles. Tous les articles seront soumis à une critique, mais les auteurs demeurent responsables du contenu de leur texte et les opinions émises dans la revue ne sont pas nécessairement celles du comité de rédaction ni de Statistique Canada.

Présentation de textes pour la revue

Techniques d’enquête est publiée en version électronique deux fois l’an. Les auteurs désirant faire paraître un article sont invités à le faire parvenir en français ou en anglais en format électronique et préférablement en Word au rédacteur en chef, (statcan.smj-rte.statcan@canada.ca, Statistique Canada, 150 Promenade du Pré Tunney, Ottawa, (Ontario), Canada, K1A 0T6). Pour les instructions sur le format, veuillez consulter les directives présentées dans la revue ou sur le site web (www.statcan.gc.ca/Techniquesdenquete).

Note de reconnaissance

Le succès du système statistique du Canada repose sur un partenariat bien établi entre Statistique Canada et la population, les entreprises, les administrations canadiennes et les autres organismes. Sans cette collaboration et cette bonne volonté, il serait impossible de produire des statistiques précises et actuelles.

Normes de service à la clientèle

Statistique Canada s'engage à fournir à ses clients des services rapides, fiables et courtois. À cet égard, notre organisme s'est doté de normes de service à la clientèle qui doivent être observées par les employés lorsqu'ils offrent des services à la clientèle.

Droit d'auteur

Publication autorisée par le ministre responsable de Statistique Canada.

L'utilisation de la présente publication est assujettie aux modalités de l'Entente de licence ouverte de Statistique Canada.

N° 12-001-X au catalogue

Périodicité : semi-annuel

Ottawa

Date de modification :: 2020-12-15

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La vraisemblance pénalisée de Firth pour les régressions à risques proportionnels en cas d’enquêtes complexes
Section 4. Résumé

Remerciements

Annexe 1

Convergence de l’estimateur par la vraisemblance pénalisée de Firth

Annexe 2

Programme SAS pour l’obtention d’estimations par la vraisemblance pénalisée de Firth

Bibliographie

La vraisemblance pénalisée de Firth pour les régressions à risques proportionnels en cas d’enquêtes complexes Section 4. Résumé

Remerciements

Annexe 1

Convergence de l’estimateur par la vraisemblance pénalisée de Firth

Annexe 2

Programme SAS pour l’obtention d’estimations par la vraisemblance pénalisée de Firth

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La vraisemblance pénalisée de Firth pour les régressions à risques proportionnels en cas d’enquêtes complexes
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