La vraisemblance pénalisée de Firth pour les régressions à risques proportionnels en cas d’enquêtes complexes
Section 3. Applications sur des enquêtes complexes

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Souvent, les données d’enquêtes complexes contiennent des poids, des strates et des grappes inégaux. Il est recommandé d’utiliser les poids et d’autres caractéristiques du plan à l’étape de l’analyse. Les données pondérées fournissent une meilleure représentation de la population étudiée que les données non pondérées. Dans la présente section, nous comparons les poids mis à l’échelle et non mis à l’échelle pour estimer les coefficients de régression à risques proportionnels au moyen d’une étude par simulations, et nous appliquons la vraisemblance pénalisée de Firth utilisant des poids mis à l’échelle pour estimer les durées de survie à partir d’un ensemble de données de la NHEFS.

3.1  Étude par simulations

Nous avons réalisé une petite étude par simulations pour comparer les biais dans les estimations des paramètres et les erreurs-types avec et sans mise à l’échelle des poids au moyen de la probabilité pénalisée de Firth. Nous avons utilisé deux méthodes d’échantillonnage pour sélectionner des échantillons à partir d’une population finie fixe : un échantillonnage aléatoire simple (EAS) sans remise dans lequel un poids égal est attribué à chaque unité d’observation, d’une part, et un échantillon avec probabilité proportionnelle à la taille (PPT) sans remise dans lequel le poids de sondage pour une unité d’observation dépend de la valeur de la mesure de taille associée à la fonction de risque pour cette unité, d’autre part. Aux fins de l’inférence de la population finie, nous traitons les paramètres de régression à risques proportionnels estimés dans la population finie comme les « vraies » valeurs des paramètres. Les biais sont mesurés à partir de ces valeurs vraies.

Des populations finies de taille 10 000 sont générées comme suit :

• ${\text{Z}}_1\mathrm{,}{\text{Z}}_2\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\text{Z}}_{10}~\text{Bernoulli}\left(\text{0,75}\right),$
• $h\mathrm{<mo>=</mo>}\exp \left(-\text{0,69}{Z}_1-\text{0,69}{Z}_2-\cdots -\text{0,69}{Z}_{10}\right),$
• $u~\text{uniform}\left(0,1\right),$
• $t\mathrm{<mo>=</mo>}\log \left(u\right)/h,$
• $c~\text{Bernoulli}\left(v\right),$
• $m~\text{uniform}\left(10h\mathrm{,}10h+\text{0,1}\right)$

où $h$ est la fonction de risque, $t$ est la durée de survie, $c$ est un indicateur de censure et $m$ est une mesure de taille pour chaque unité. Six populations finies sont générées au moyen de différentes valeurs de censure $(\nu \mathrm{<mo>=</mo>}$ 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,8; 0,9). Voir Bender, Augustin et Blettner (2005) à propos des méthodes de génération de durées de survie. On génère dix variables explicatives $\left({\text{Z}}_1\mathrm{,}{\text{Z}}_2\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\text{Z}}_{10}\right)$ au moyen de distributions de Bernoulli pour créer des vraisemblances monotones, surtout quand la taille de l’échantillon est petite et que le taux de censure est élevé.

On sélectionne les échantillons dans chaque population finie au moyen de deux méthodes d’échantillonnage : un échantillonnage aléatoire simple sans remise et des échantillons avec probabilité proportionnelle à la taille sans remise, où la variable $m$ est utilisée comme mesure de la taille. Quatre tailles d’échantillon sont utilisées pour chaque méthode d’échantillonnage : 50, 100, 500 et 1 000. Les poids de sondage de toutes les unités pour l’EAS dépendent uniquement de la taille de l’échantillon, alors que le poids de sondage d’une unité pour l’échantillonnage avec PPT dépend à la fois de la taille de l’échantillon et de la valeur observée de la variable $m$ pour cette unité correspondante. Pour que la distribution des observations censurées soit identique dans les données échantillonnées et dans la population, on sélectionne les échantillons indépendamment des unités censurées et non censurées de la population.

Enfin, les paramètres de régression du modèle de régression à risques proportionnels

$$\lambda \left(t\mathrm{,}Z\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_0\left(t\right)\exp \left({\beta }_1{Z}_1+{\beta }_2{Z}_2+\cdots +{\beta }_{10}{Z}_{10}\right)$$

sont estimés à partir de chaque ensemble de données échantillonnées, où ${\lambda }_0\left(t\right)$ est le risque de référence, $t$ est la durée de survie et $c$ est l’indicateur censuré. Les paramètres de régression sont estimés par maximalisation de la vraisemblance pénalisée de Firth pondérée. Notons que la vraisemblance non pénalisée ne converge pas dans la plupart des cas en raison de la monotonie de la vraisemblance dans les données simulées. Quand la vraisemblance n’est pas monotone, nous avons constaté que les estimations ponctuelles obtenues au moyen de la vraisemblance pénalisée sont très proches des estimations ponctuelles obtenues au moyen de la vraisemblance non pénalisée. Heinze et Schemper (2001) ont fait état de résultats semblables en cas de données non pondérées.

Nous comparons les biais relatifs des estimations ponctuelles et des erreurs-types à l’aide de la méthode du jackknife pour les poids mis à l’échelle et non mis à l’échelle. Les biais relatifs (BR) sont définis ci-dessous (Sitter, 1992).

Soit ${\widehat{\beta }}_s$ l’estimation ponctuelle et ${\widehat{v}}_s$ l’estimation de la variance pour une composante de $\beta$ tirée de l’ensemble de données $s.$ Définissons ce qui suit :

Biais relatif pour les estimations ponctuelles, $\widehat{\beta },$

$$\text{BR}\left(\widehat{\beta }\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{S}^{-1}{\displaystyle \sum _{s\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^S}\frac{\left|\left({\widehat{\beta }}_s-{\beta }_T\right)\right|}{\left|{\beta }_T\right|}.$$

Biais relatif pour les estimations de la variance, $\widehat{v}$

$$\text{BR}\left(\widehat{v}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{S}^{-1}{\displaystyle \sum _{s\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^S}\frac{\left|\left({\widehat{v}}_s-{\text{EQM}}_T\right)\right|}{{\text{EQM}}_T}$$

où la vraie EQM est

$${\text{EQM}}_T\left(\widehat{\beta }\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{S}^{-1}{\displaystyle \sum _s}{\left({\widehat{\beta }}_s-{\beta }_T\right)}^2$$

et ${\beta }_T$ est la valeur « vraie » du paramètre obtenue par l’ajustement du modèle de régression à risques proportionnels utilisant toutes les unités de la population finie. Le rapport des BR est défini comme étant le rapport entre le BR utilisant des poids non mis à l’échelle et le BR utilisant des poids mis à l’échelle.

La médiane des rapports des BR sur plus de 5 000 répétitions est présentée dans la section. Nous indiquons la médiane en raison de certains « mauvais » échantillons dans lesquels les convergences sont douteuses, y compris en cas de correction de Firth. Ces « mauvais » échantillons produisent un petit nombre d’estimations comportant de très grands biais. En raison de ces biais importants, la moyenne du rapport des BR est une statistique plus instable que la médiane. Sans « mauvaises » répliques, la moyenne et les médianes sont très proches. Nous avons aussi constaté que la log-vraisemblance pénalisée qui utilise des poids non mis à l’échelle produit davantage de ces « fausses » convergences.

Les résultats de toutes les variables explicatives ${\text{Z}}_1\mathrm{,}{\text{Z}}_2\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\text{Z}}_{10}$ sont semblables. Pour simplifier la lecture, nous présentons les résultats de seulement deux variables explicatives, ${\text{Z}}_3$ et ${\text{Z}}_8.$

Les rapports des BR dans les estimations des paramètres avec poids non mis à l’échelle et mis à l’échelle pour les variables ${\text{Z}}_3$ et ${\text{Z}}_8$ sont présentés dans les figures 3.1, 3.2, 3.3 et 3.4. En cas d’échantillons de petite taille et de grand nombre d’observations censurées, les BR utilisant des poids mis à l’échelle sont nettement plus petits que les BR utilisant des poids non mis à l’échelle. En cas de grandes tailles d’échantillon, les BR des deux sortes de poids sont semblables principalement parce que l’option Firth n’est pas nécessaire, puisque la convergence ne pose pas problème en cas de grands ensembles de données.

Les rapports des biais relatifs dans les erreurs-types avec poids non mis à l’échelle et mis à l’échelle pour les variables $Z_3$ et $Z_8$ sont présentés dans les figures 3.5, 3.6, 3.7 et 3.8. Les BR des erreurs-types suivent la même tendance que les BR des estimations ponctuelles. Les premiers sont toutefois plus élevés que les BR des estimations ponctuelles. En cas d’échantillons de petite taille et de grand nombre d’observations censurées, les BR utilisant des poids mis à l’échelle sont nettement plus petits que les BR utilisant des poids non mis à l’échelle. En cas de grandes tailles d’échantillon, les BR avec poids mis à l’échelle et non mis à l’échelle sont semblables principalement parce que l’option Firth n’est pas nécessaire, puisque la convergence ne pose pas problème en cas de grands ensembles de données.

Le tableau 3.1 présente le premier quartile, la médiane et le troisième quartile pour le rapport des BR dans les estimations ponctuelles et les erreurs-types en cas de taille d’échantillon de 50. Le tableau donne les résultats pour la variable $Z_3$ en cas de censure de 10 % et de 90 %. Nous avons observé que pour toutes les variables, les premier et troisième quartiles pour le rapport des BR ne contiennent pas 1 quand la taille de l’échantillon est petite et que le pourcentage de censure est élevé. Toutefois, comme prévu, en cas de grands échantillons et de petit nombre d’observations censurées, la différence entre les BR avec poids mis à l’échelle et non mis à l’échelle est faible.

3.2  Application sur les données de la NHEFS

Nous avons étudié la durée avant la survenue d’une crise cardiaque et son lien avec le cholestérol sanguin et le tabagisme au moyen d’un ensemble de données de la NHEFS.

La NHEFS est une enquête longitudinale nationale aux États-Unis qui sert à délimiter les relations entre les facteurs cliniques, nutritionnels et comportementaux, à déterminer les utilisations de l’hôpital, et à surveiller l’évolution des facteurs de risque pour une cohorte initiale qui représente la population NHANES I (National Health and Nutrition Examination Survey I). Une cohorte de 14 407 personnes a été sélectionnée pour la NHEFS. Les données sur le statut vital et le traçage, les données d’entrevue, les données sur les séjours dans les établissements de soins de santé et les données sur la mortalité de 1987 sont accessibles au public. Pour en savoir plus sur l’enquête et les ensembles de données utilisés dans la présente section, consultez le site Web des Centers for Disease Control and Prevention (https://www.cdc.gov/).

Nous avons utilisé 4 673 observations tirées des données des entrevues publiques de 1987 de la NHEFS pour étudier l’occurrence de la première crise cardiaque dans la population de l’enquête en 1987 et son lien avec le cholestérol sanguin et le tabagisme. Les variables suivantes ont été employées :

• Stratum, identification de la strate;
• ObservationWeight, poids d’échantillonnage associé à chaque unité d’observation;
• PSU, identification de l’unité primaire d’échantillonnage;
• Age, variable temps-événement, définie comme suit :
  • l’âge du sujet quand la première crise cardiaque a été déclarée pour les sujets ayant déclaré une crise cardiaque;
  • l’âge du sujet indiqué lors de l’entrevue pour les sujets qui n’ont jamais déclaré de crise cardiaque;
• HeartAttack, indicateur de crise cardiaque (1 = crise cardiaque déclarée);
• Income, revenu du ménage normalisé à une moyenne nulle;
• HighBloodChol, indique si un sujet a un taux de cholestérol sanguin élevé ou bas;
• Smoker, habitude de fumer du sujet (1 = fumeur actuel, 2 = ancien fumeur, -1 = non-fumeur);
• Race, race du sujet (1 = noire, 2 = blanche, 3 = autre);
• Gender, genre du sujet.

On utilise la procédure SURVEYPHREG dans SAS/STAT (Mukhopadhyay, 2010) pour ajuster un modèle de régression à risques proportionnels pour l’âge selon le revenu, le cholestérol sanguin, l’habitude de fumer, la race, le genre et l’interaction entre race et genre. La crise cardiaque sert d’indicateur censuré. Les poids d’observation varient de 1 164 à 121 040 avec une moyenne de 16 036,51, une médiane de 12 321 et un coefficient de variation de 74,35. Les sujets sont divisés en 644 grappes et 35 strates.

Dans la présente section, on utilise PROC SURVEYPHREG au lieu de PROC PHREG parce que la NHEFS utilise un plan de sondage complexe comportant une stratification, une corrélation intra-grappe et des poids inégaux. PROC SURVEYPHREG prend en charge les instructions STRATA, CLUSTER et WEIGHT pour tenir compte respectivement de la stratification, de la corrélation intra-grappe et des poids inégaux. De plus, PROC SURVEYPHREG prend en charge la linéarisation en séries de Taylor et les estimations de la variance par la méthode du jackknife pour les données d’enquête (Mukhopadhyay, 2010). Aux fins de l’étude, nous avons choisi l’estimation de la variance par la méthode du jackknife. Les instructions SAS ajustées au modèle sont présentées à l’annexe 2.

Les 4 673 sujets de l’échantillon représentent près de 74,9 millions de personnes dans la population étudiée de 1987. Parmi les sujets, 213 ont déclaré au moins une crise cardiaque, et les 4 460 autres sujets sont considérés comme censurés. Les 213 observations d’événements dans l’échantillon représentent environ 3,2 millions d’unités de population, et les 4 460 observations censurées dans l’échantillon représentent environ 71,7 millions d’unités de population. 95,44 % des observations dans l’échantillon n’ont pas déclaré de crise cardiaque, ce qui correspond à 95,68 % d’individus dans la population (tableau 3.2) qui n’ont pas déclaré de crise cardiaque.

Sans la pénalité de Firth, l’optimisation de Newton-Raphson converge en satisfaisant le critère de convergence du gradient relative (GCONV = 1E $–$ 8), mais les coefficients des variables Smoker et Race ne convergent pas. Les coefficients pour Smoker = 2 sont 7,47, 10,87 et 11,83 et ceux pour Race = 1 sont 7,55, 10,95 et 11,17 dans les trois dernières itérations, respectivement. Ce phénomène est très courant en cas de vraisemblance monotone (voir le tableau 1.1). Sur 644 échantillons répétés (= 644 UPE), on observe une vraisemblance monotone dans 542 répliques. La vraisemblance pénalisée de Firth est une bonne solution de rechange en cas de vraisemblances monotones.

Nous utilisons l’option FIRTH dans PROC SURVEYPHREG (voir « The SURVEYPHREG Procedure » dans SAS Institute Inc. (2018)) pour maximiser la vraisemblance pénalisée de Firth. L’option FIRTH dans PROC SURVEYPHREG utilise des poids mis à l’échelle. L’optimisation de la vraisemblance pénalisée converge avec GCONV = 1E $–$ 8, ainsi qu’avec une convergence raisonnable dans tous les coefficients. La convergence est également atteinte dans les 644 échantillons répétés avec la pénalité de Firth.

Le tableau 3.3 présente les rapports des risques estimés ainsi que leurs intervalles de confiance de Wald de 95 % pour les taux de cholestérol sanguin et le tabagisme. Dans la population étudiée de 1987, le risque estimé de crise cardiaque chez un sujet ayant un taux de cholestérol sanguin bas est de 0,6 fois le risque estimé de crise cardiaque chez un sujet ayant un taux élevé de cholestérol sanguin. Étant donné que l’intervalle de confiance de 95 % ne contient pas 1, on peut raisonnablement conclure que le risque de crise cardiaque pour un sujet ayant un taux de cholestérol sanguin bas est significativement moins élevé que le risque de crise cardiaque pour un sujet au taux de cholestérol sanguin élevé après ajustement du tabagisme, de la race et d’autres variables explicatives dans la population étudiée de 1987.

Les rapports des risques estimés pour les non-fumeurs, les fumeurs actuels et les anciens fumeurs sont respectivement de 0,59, 0,64 et 1,1. Le risque estimé de crise cardiaque pour les non-fumeurs est inférieur au risque estimé pour les fumeurs actuels ou les anciens fumeurs. Nous ne possédons toutefois pas de données probantes suffisantes pour conclure que les rapports des risques associés au tabagisme sont considérablement différents à 95 % après correction pour tenir compte du cholestérol sanguin, de la race et d’autres agents régulateurs dans la population étudiée en 1987.

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