Ajustement de pondération hiérarchique bayésienne et inférence d’enquête
Section 1. Introduction

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1.1  Contexte

En recherche dans le domaine des enquêtes, les méthodes par plan et les méthodes par modèle sont depuis longtemps mises en contraste (Little, 2004). Les premières tiennent automatiquement compte du plan de sondage et les secondes peuvent donner lieu à une inférence robuste dans une estimation de petit échantillon. Rao (2011) présente son appréciation des méthodes fréquentistes et bayésiennes dans la pratique de l’échantillonnage d’enquête. Dans les méthodes classiques par plan, nous recourons à la pondération pour aligner l’échantillon sur la population. On trouvera dans Chen, Elliott, Haziza, Yang, Ghosh, Little, Sedransk et Thompson (2017) un examen de divers estimateurs pondérés d’une moyenne de population. Il reste que, en temps normal, la pondération classique d’enquête fait appel à de nombreux choix définis par l’utilisateur, de sorte que le processus de pondération peut se révéler difficile à codifier dans les enquêtes de la vie réelle (Gelman, 2007). La méthode bayésienne pour l’inférence de population finie (Ghosh et Meeden, 1997) permet d’intégrer l’information antérieure s’il y a lieu, mais des erreurs de spécification de modèle sont possibles.

Dans cet article, nous combinons la prédiction bayésienne et la pondération dans une approche unifiée pour l’inférence d’enquête en appliquant des modèles extensibles et robustes de régression bayésienne pour prendre en compte des caractéristiques complexes de plan de sondage dans un cadre de régression multiniveau et de poststratification (RMP, Gelman et Little (1997); Park, Gelman et Bafumi (2005); Ghitza et Gelman (2013); Si, Pillai et Gelman (2015)). La méthode RMP est adaptée à des mécanismes complexes d’échantillonnage et de réponse et vient améliorer l’estimation sur petits domaines (Fay et Herriot, 1979; Rao et Molina, 2015). Nous traitons avec différentes questions complexes liées aux applications réelles et à des niveaux bien plus fins d’inférence de sous-domaine. Notre méthode permet une inférence efficace et valide de population finie, plus particulièrement pour des sous-groupes; elle construit des poids basés sur un modèle après lissage.

Le présent article apporte une double contribution : 1) en innovant en méthodologie bayésienne, nous développons un nouveau cadre structuré a priori pour le traitement des termes d’interaction d’ordre supérieur; 2) pour améliorer la recherche et l’exécution d’enquête, nous combinons la prédiction bayésienne et la pondération en un mode unique d’une approche unifiée pour l’inférence d’enquête en tenant compte des caractéristiques du plan de sondage dans la modélisation bayésienne. Nous généralisons la méthode de régression multiniveau et de poststratification pour une inférence de population finie et construisons une pondération stable et calée par modèle pour résoudre les problèmes de la pondération classique. Nous employons le paquet rstanarm en R pour que les méthodes proposées entrent dans le domaine public et nous préconisons l’adoption de méthodes par modèle dans la recherche et l’exécution d’enquête. Aspect plus important encore, nous innovons de manière à employer le cadre RMP en ajustement de pondération d’enquête et en intégration de données, par exemple, en vue d’une inférence avec des enquêtes non probabilistes. Les méthodes que nous proposons donnent un important outil d’ordre pratique pour la conception et la pondération d’échantillons d’enquête (Valliant, Dever et Kreuter, 2018).

1.2  Cadre

Pour une population finie de $N$  unités, nous désignons la variable d’intérêt par $y\mathrm{<mo>=</mo>}\left(y_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{y}_N\right)$ et la variable indicatrice d’inclusion par $I\mathrm{<mo>=</mo>}\left(I_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{I}_N\right),$ où $I_i\mathrm{<mo>=</mo>}1$ si l’unité $i$ est incluse dans l’échantillon et $I_i\mathrm{<mo>=</mo>}0$ dans les autres cas. Ici, inclusion signifie sélection et réponse. Le cadre général d’inférence considère la codistribution de $I$ et $y.$ Dans une inférence par plan, nous regardons la distribution de $I$ et traitons $y$ comme fixe. Dans un échantillonnage probabiliste, l’inférence par modèle peut être fondée sur la seule distribution de $y,$ car les variables qui influent sur les mécanismes d’inclusion sont comprises dans le modèle (Royall, 1968), c’est-à-dire dans le mécanisme d’inclusion ignorable lorsque la distribution de $I$ étant donné $y$ est indépendante de la distribution de $y$ (Rubin, 1976, 1983).

Pour tenir compte des facteurs influant sur l’inclusion, la pondération classique par plan ajustée pour les probabilités inégales d’échantillonnage, avec ajustements subséquents à la pondération pour tenir compte des problèmes de couverture et de la non-réponse lors de la collecte ou du nettoyage des données. La pondération classique est donc le produit de facteurs d’ajustement multiples : probabilité inverse de sélection, score inverse de propension de réponse, poststratification (aussi appelée calage ou étalonnage; Holt et Smith (1979)). Chacun de ces ajustements peut être approché en cas d’estimation de la probabilité de sélection, de la probabilité de réponse ou des totaux de population à partir des données. Par-delà les questions d’approximation et même si le modèle d’inclusion est parfaitement connu, des valeurs extrêmes de pondération causeront une haute variabilité et donc des problèmes d’inférence, surtout lorsque les poids sont en faible corrélation avec la variable de résultat d’enquête (Rao, 1966a, b; Hájek, 1971; Särndal, Swensson et Wretman, 1992). Quand le mode de pondération fait intervenir une poststratification ou une correction de non-réponse  – où les poids sont eux-mêmes des variables aléatoires  – , l’estimation de la variance ne sera pas la même que dans les cas où la pondération par plan est simplement fixe. Il ne va pas de soi de dégager par l’analyse un estimateur de variance avec un ajustement de pondération à plusieurs degrés ou un plan complexe de sondage.

Dans la pratique, la construction d’une pondération d’enquête exige des décisions quelque peu arbitraires en ce qui concerne la sélection des variables et des interactions, le regroupement de cellules de pondération et l’élagage des poids. On ne voit pas toujours clairement s’il convient d’intégrer de l’information auxiliaire et comment le faire (Groves et Couper, 1995). Dans l’examen de la question du lissage et de l’élagage dans les études consacrées à la pondération d’enquête (voir, par exemple, Potter, 1988, 1990; Elliott et Little, 2000; Elliott, 2007; Xia et Elliott, 2016), on s’est attaché à l’estimation d’un total ou d’une moyenne de population finie et on s’est moins intéressé aux estimations de sous-domaine. Beaumont (2008) propose d’opérer la régression des poids sur les variables d’enquête et de se servir des valeurs prédites comme poids lissés. Cette orientation est inspirante, mais tangentielle à l’objectif d’une inférence aux bonnes propriétés recherchées pour la variable d’intérêt de l’enquête par opposition à la pondération. En empruntant de l’information aux résultats d’enquête, on peut accroître l’efficacité et faire appel à un cadre général.

Gelman (2007) recommande des modèles de régression avec comme covariables des variables influant sur la sélection et la réponse, dont des variables de stratification, des grappes et de l’information auxiliaire. Toutes ces approches peuvent être sensibles à la spécification a priori pour une estimation stable. C’est là la contrepartie par modèle aux décisions nécessaires au lissage ou à l’élagage d’une pondération classique d’enquête. On a proposé des techniques souples de prédiction comme les fonctions spline, les modèles de régression à pénalité et les modèles à arborescence aux fins de l’estimation d’enquête assistée par modèle (Särndal et coll., 1992; Wu et Sitter, 2001; Breidt et Opsomer, 2017; McConville et Toth, 2018).

Les modes d’ajustement de pondération par modèle ou assistés par modèle pour une estimation de total de population finie ont été mis en comparaison par Henry et Valliant (2012). Les méthodes de pondération par modèle dans une perspective de superpopulation (Valliant, Dorfman et Royall, 2000) recourent aux prédictions de modèles de régression pour obtenir une pondération de cas où les prédictions reposent sur des modèles de régression linéaire hiérarchique avec diverses corrections de biais (Chambers, Dorfman et Wehrly, 1993; Firth et Bennett, 1998). À partir de l’estimation de total de population finie, les méthodes assistées par modèle tirent une pondération de cas principalement d’un calage sur variables d’étalonnage (Kott, 2009) par l’estimateur de régression généralisé (GREG, Deville et Särndal (1992)). Il reste que la pondération de cas tirée de prédictions de régression peut être hautement variable et même négative et risque de dégrader certaines estimations de domaine. Les méthodes par modèle jouent un rôle primordial dans l’estimation sur de petits domaines, mais s’exposent aux erreurs de spécification et doivent être développées plus avant lorsque les domaines sont nombreux et que le mécanisme d’inclusion n’est pas simplement aléatoire.

Pour se garder des erreurs de spécification de modèle, Little (1983) recommande de modéliser les différences de répartition des résultats entre des classes définies par des probabilités différentielles d’inclusion. Si et coll. (2015) construisent des cellules de poststratification fondées sur les valeurs uniques de probabilité d’inclusion et édifient des modèles hiérarchiques pour lisser les estimations des cellules, comme le préconise Little (1991, 1993).

Nous proposons d’employer des modèles hiérarchiques bayésiens tenant compte du plan de sondage pour produire une pondération pouvant servir à une inférence fondée sur le plan de sondage. L’inférence est bien calée et valide et offre de bonnes propriétés fréquentistes (Little, 2011). Dans le cas des grands échantillons, elle sera à mettre en parallèle avec l’inférence par plan. Dans le cas des petits, le lissage par modèle hiérarchique stabilisera l’estimation de domaine et produira un ajustement de pondération robuste.

Nous utilisons les variables intrinsèques servant à la construction d’une pondération par plan, à la correction de non-réponse et au calage en supposant qu’elles sont discontinues et nous construisons des cellules de poststratification en tableau croisé. Nous tirons les poids d’une régression des résultats d’enquête par rapport aux variables de pondération étant donné la poststratification. L’inclusion de la variable de résultat dans la pondération et la poststratification permet d’éviter les erreurs de spécification de modèle et est de nature à accroître l’efficacité (Fuller, 2009). Les estimations de modèle multiniveau rétrécissent les estimations des cellules à la dimension des prédictions venant du modèle de régression. Le cadre RMP tient compte des caractéristiques de plan de sondage dans le paradigme bayésien et est alors bien armé pour traiter les caractéristiques complexes de plan d’échantillonnage. Notre proposition se distingue de la pondération par modèle dont parlent les études spécialisées en employant la structure des cellules de poststratification et en améliorant le tout par lissage, ce qui permet d’éviter les valeurs négatives de pondération.

Si et coll. (2015) intègrent la pondération au cadre RMP et accroissent la souplesse et l’efficacité par rapport à un traitement en pseudo vraisemblance (Pfeffermann, 1993). Nous allons plus loin ici en prenant pour point de départ les variables servant à la pondération et en construisant une pondération par modèle comme sous-produit de la régression multiniveau et de la poststratification. Nous concevons une nouvelle spécification antérieure en régularisation pour pouvoir traiter ce qui peut être une abondance de cellules de poststratification. La construction d’une distribution a priori permet de choisir des variables et de conserver la structure hiérarchique pour les effets principaux et les termes d’interaction d’ordre supérieur de variables catégoriques. En d’autres termes, si une variable n’est pas prédictive, les interactions d’ordre supérieur avec cette variable ne devraient pas l’être non plus, ce qui facilitera l’interprétation du modèle. McConville et Toth (2018) emploient des méthodes à arborescence pour sélectionner automatiquement des poststrates fondées sur des variables auxiliaires en corrélation possible avec les résultats d’enquête. La distribution a priori structurée que nous proposons joue un même rôle avec l’algorithme récursif de partition en facilitant la sélection de poststrates, mais en améliorant en même temps l’efficacité par un regroupement partiel. Nous utilisons les poids lissés et des estimations plus stables que l’estimateur de régression à arborescence; le cadre bayésien propage toutes les sources d’incertitude là où McConville et Toth (2019) écartent la variance pour l’arborescence et se servent de l’erreur quadratique moyenne pour approcher cette variance.

Pour le calcul, nous avons employé le paquet rstanarm en R (Goodrich et Gabry, 2017). Une inférence pleinement bayésienne est réalisable par Stan (Stan Development Team, 2018, 2017), plateforme qui utilise un échantillonnage de Monte Carlo hamiltonien avec segments de chemin adaptés (Hoffman et Gelman, 2014). Stan favorise des approches robustes par modèle en allégeant la charge de calcul que comportent la construction et l’essai de nouveaux modèles. Le paquet rstanarm permet une modélisation hiérarchique bayésienne et une inférence pondérée efficaces. Les codes appartiennent au domaine public et sont reproductibles. Notre logiciel perfectionné de calcul procure une plateforme accessible et est de nature à favoriser l’adoption d’un cadre unifié d’inférence d’enquête.

À la section 2, nous posons le problème motivant de la pondération servant aux enquêtes permanentes en sciences sociales. Nous examinons la méthode en détail à la section 3. Nous décrivons à la section 4 l’évaluation statistique d’une inférence à prédiction et à pondération par modèle et démontrons les gains d’efficacité à en attendre par rapport à la pondération classique. À la section 5, nous appliquons notre proposition à une enquête de la vie réelle. À la section 6 enfin, nous résumons les éléments d’amélioration et analysons ce qui devrait suivre.

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