Nouvelle méthode d’imputation hot deck double pour données manquantes bornées
Section 2. Hot deck double avec tirage de résidus proportionnés et appariement qui tient compte de bornes

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Supposons que les données sont composées d’un vecteur de variable explicative $X_i$ entièrement observé et de la variable réponse $Y_i$ pour $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots ,n,$ pour lequel certaines des valeurs $Y_i$ sont manquantes (c’est-à-dire données manquantes partielles). Quelles que soient les données manquantes, on suppose que $Y_i$ est individuellement bornée et que les valeurs des bornes sont données par

$$C_{i\mathrm{,}L}\le Y_i\le C_{i\mathrm{,}U}(2.1)$$

où $C_{i\mathrm{,}U}$ et $C_{i\mathrm{,}L}$ sont les bornes supérieures et inférieures de $Y_i,$ $i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots ,n_0\mathrm{,}{n}_0+\mathrm{1,}\dots ,n$ et les premières valeurs $n_0$ $Y_i$ sont observées et les valeurs restantes $\left(n-n_0\right)$ $Y_i$ sont manquantes.

D’après Rubin (1987), nous générons les coefficients de régression ${\beta }^{*}$ et la variance ${\sigma }^{*2}$ à partir des distributions a posteriori données par

$${\sigma }^{*2}~{\widehat{\sigma }}_{\text{MCO}}^2\left(n_{\text{obs}}-q\right)/{\chi }_{n_{\text{obs}}-1}^2\text{}\mathrm{,}{\beta }^{*}~N\left({\widehat{\beta }}_{\text{MCO}}\mathrm{,}{\sigma }^{*2}{\left(X^{T}X\right)}^{-1}\right)(2.2)$$

où $X$ est les covariables entièrement observées $q$ et ${\widehat{\beta }}_{\text{MCO}}$ et ${\widehat{\sigma }}_{\text{MCO}}^2$ sont les estimations par les moindres carrés ordinaires (MCO) des coefficients de régression et de la variance, respectivement, à partir du modèle de régression adapté aux observations. Nous obtenons ensuite les moyennes prédictives notées ${\widehat{Y}}_i^{\text{obs}}$ pour les valeurs observées de $Y_i$ et ${\widehat{Y}}_j^{\text{manq}}$ pour les valeurs manquantes de $Y_j.$ Ensuite, chaque ${\widehat{Y}}_i^{\text{obs}}$ ou ${\widehat{Y}}_j^{\text{manq}}$ est situé dans l’un des trois intervalles suivants $S^k$ où $k\mathrm{<mo>=</mo>}-\mathrm{,}\mathrm{0,}+:$

$$S^{-}\mathrm{<mo>=</mo>}\left(-\infty \mathrm{,}{C}_{iL}\right)\mathrm{,}{S}^0\mathrm{<mo>=</mo>}\left(C_{iL}\mathrm{,}{C}_{iU}\right)\mathrm{,}{S}^{+}\mathrm{<mo>=</mo>}\left(C_{iU}\mathrm{,}\infty \right)\mathrm{.}$$

Pour la valeur observée $Y_i$ (c’est-à-dire $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots ,n_0),$ nous définissons les résidus proportionnés supérieurs et inférieurs ${\tilde{r}}_{i\mathrm{,}U}$ et ${\tilde{r}}_{i\mathrm{,}L}\text{}:$

${\tilde{r}}_{i\mathrm{,}U}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{Y_i-{\widehat{Y}}_i^{\text{obs}}}{C_{iU}-{\widehat{Y}}_i^{\text{obs}}}\mathrm{<mi>\; </mi>}$  et  ${\tilde{r}}_{i\mathrm{,}L}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{Y_i-{\widehat{Y}}_i^{\text{obs}}}{C_{iL}-{\widehat{Y}}_i^{\text{obs}}}(2.3)$

où nous supposons qu’il n’y a pas de valeur $\widehat{Y}$ exactement égale à sa borne supérieure ou inférieure.

Les valeurs ${\tilde{r}}_{i\mathrm{,}U}$ et ${\tilde{r}}_{i\mathrm{,}L}$ de l’équation (2.3) sont ensuite divisées en trois ensembles en fonction de l’intervalle $S^k$ auquel appartient ${\widehat{Y}}^{\text{obs}}.$ Pour $k\mathrm{<mo>=</mo>}-\mathrm{,}\mathrm{0,}+,$

$R_U^k\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{{\tilde{r}}_{i\mathrm{,}U}\mathrm{<mo>;</mo>}{\widehat{Y}}_i^{\text{obs}}\in S^k\right\}$  et  $R_L^k\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{{\tilde{r}}_{i\mathrm{,}L}\mathrm{<mo>;</mo>}{\widehat{Y}}_i^{\text{obs}}\in S^k\right\}\mathrm{.}$

Enfin, nous imputons la valeur manquante $Y_j$ pour $j\mathrm{<mo>=</mo>}{n}_0+\mathrm{1,}\dots ,n$ au moyen de

$Y_{j\mathrm{,}U}^{*}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{Y}}_j^{\text{manq}}+{\tilde{r}}_{j\mathrm{,}U}^{*}\left(C_{j\mathrm{,}U}-{\widehat{Y}}_j^{\text{manq}}\right)$  ou  $Y_{j\mathrm{,}L}^{*}\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{Y}}_j^{\text{manq}}+{\tilde{r}}_{j\mathrm{,}L}^{*}\left(C_{j\mathrm{,}L}-{\widehat{Y}}_j^{\text{manq}}\right).(2.4)$

Afin de sélectionner ${\tilde{r}}_{j\mathrm{,}U}^{*}$ ou ${\tilde{r}}_{j\mathrm{,}L}^{*}$ dans (2.4), nous utilisons maintenant une méthode hot deck qui considère des valeurs similaires comme leurs variables candidates (c’est-à-dire comme les donneurs possibles). L’imputation hot deck est une méthode de traitement des données manquantes dans laquelle chaque valeur manquante est remplacée par une réponse observée sélectionnée aléatoirement à partir d’un donneur contenant des unités similaires (Andridge et Little, 2010). Nous utilisons le scénario d’imputation hot deck ci-dessous.

1. [Premier hot deck] Si ${\widehat{Y}}_j^{\text{manq}}\in S^k$ pour $k\mathrm{<mo>=</mo>}-\mathrm{,}\mathrm{0,}+$ et ${\widehat{Y}}_j^{\text{manq}}$ est plus proche de $C_{jU}$ que $C_{jL}$ , alors nous sélectionnons l’ensemble de résidu proportionné supérieur correspondant $R_U^k$ comme ensemble de donneurs possibles pour l’échantillonnage ${\tilde{r}}_{jU}^{*}.$ De même, si ${\widehat{Y}}_j^{\text{manq}}$ est plus près de $C_{jL},$ nous sélectionnons $R_L^k$ pour l’échantillonnage de ${\tilde{r}}_{jL}^{*}.$
2. [Deuxième hot deck] Nous construisons les donneurs possibles à partir de $R_U^k$ ou $R_L^k$ sélectionnés dans le premier hot deck. Les donneurs possibles pour l’échantillonnage de ${\tilde{r}}_{jU}^{*}$ sont des valeurs ${\tilde{r}}_{i\mathrm{,}U}$ pour lesquelles $C_{iU}-{\widehat{Y}}_i^{\text{obs}}$ est proche de $C_{jU}-{\widehat{Y}}_j^{\text{manq}}$ pour $R_U^k.$ Dans le même ordre d’idées, les donneurs possibles des valeurs ${\tilde{r}}_{i\mathrm{,}L}$ pour lesquelles $C_{iL}-{\widehat{Y}}_i^{\text{obs}}$ proche de $C_{jL}-{\widehat{Y}}_j^{\text{manq}}$ pour $R_L^k.$
3. [Imputation] Ensuite on échantillonne aléatoirement ${\tilde{r}}_{i\mathrm{,}U}$ ou ${\tilde{r}}_{i\mathrm{,}L}$ à partir des donneurs possibles correspondants pour imputer la valeur manquante $Y_j$ avec $Y_{j\mathrm{,}U}^{*}$ ou $Y_{j\mathrm{,}L}^{*},$ respectivement, et les ${\tilde{r}}_{i\mathrm{,}U}$ et ${\tilde{r}}_{i\mathrm{,}L}$ sélectionnés pour $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots ,n_0$ sont notés par ${\tilde{r}}_{j\mathrm{,}U}^{*}$ ou ${\tilde{r}}_{j\mathrm{,}L}^{*}$ pour $j\mathrm{<mo>=</mo>}{n}_0+\mathrm{1,}\dots ,n.$ Ici, les cas avec $Y_{j\mathrm{,}U}^{*}\le C_{j\mathrm{,}L}$ et/ou $Y_{j\mathrm{,}L}^{*}\ge C_{j\mathrm{,}U}$ sont exclus de l’ensemble de donneurs possibles. Cela est rare, mais possible.

Théorème 1 Les valeurs $Y_{j\mathrm{,}U}^{*}$  et $Y_{j\mathrm{,}L}^{*}$  satisfont toujours leurs conditions de borne.

$C_{j\mathrm{,}L}\le Y_{j\mathrm{,}U}^{*}\le C_{j\mathrm{,}U}$   et   $C_{j\mathrm{,}L}\le Y_{j\mathrm{,}L}^{*}\le C_{j\mathrm{,}U}.$

La démonstration se trouve en annexe.

Selon le théorème 1, les conditions de borne de $Y_j$ pour $j\mathrm{<mo>=</mo>}{n}_0+\mathrm{1,}\dots ,n$ sont toujours satisfaites, car le TRP-AB impute la valeur manquante $Y_j$ avec $Y_{j\mathrm{,}U}^{*}$ ou $Y_{j\mathrm{,}L}^{*}.$ Nous pouvons supposer qu’il n’y a qu’une valeur de borne supérieure telle que $C_{i\mathrm{,}L}\mathrm{<mo>=</mo>}-\infty$ pour $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots ,n.$ Alors, le premier hot deck n’est pas nécessaire, car $R_U^k$ est automatiquement sélectionné et $Y_{j\mathrm{,}U}^{*}\ge C_{j\mathrm{,}L}\mathrm{<mo>=</mo>}-\infty .$

Corollaire 1.1 La méthode de TRP-AB est réduite à la méthode d’appariement d’information de borne de Kwon et Park (2015) s’il n’y a qu’une borne supérieure ou inférieure.

Pour examiner les procédures de hot deck double utilisées dans le TRP-AB, nous examinons trois variantes du TRP-AB. La première variante est une méthode de tirage de résidu proportionné (TRP) consistant à retirer les deux étapes hot decks du TRP-AB et la deuxième élimine la première procédure de hot deck notée STRP. Ainsi, dans le TRP, nous échantillonnons au hasard à partir de tous les éléments se trouvant dans $R_U^k$ et $R_L^k.$ Dans STRP, l’ensemble de donneurs possibles est fondé sur la distance minimale entre l’une des bornes et la moyenne prédictive. Parmi les donneurs possibles pour ${\tilde{r}}_{j\mathrm{,}U}^{*}$ et ${\tilde{r}}_{j\mathrm{,}L}^{*},$ nous sélectionnons et construisons des donneurs finaux en nous fondant uniquement sur l’ordre de distance, sans distinction entre les bornes supérieures et inférieures. La troisième variante, notée ${\text{STRP}}_2,$ élimine aussi la première étape hot deck comme dans STRP et modifie en outre la méthode d’appariement dans le deuxième hot deck. Le donneur possible dans ${\text{STRP}}_2$ consiste en ${\tilde{r}}_{i\mathrm{,}U}$ et ${\tilde{r}}_{i\mathrm{,}L}$ dont la moyenne prédite ${\widehat{Y}}_i^{\text{obs}}$ est proche de ${\widehat{Y}}_j^{\text{manq}}.$

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