Tenir compte des effets de l’intervieweur et du plan de sondage dans la planification des tailles d’échantillon
Section 4. Conclusions

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L’utilisation d’un effet de plan aux fins de sélection d’une taille d’échantillon est une méthode dont on se sert couramment pour tenir compte de la perte d’efficacité qu’un plan de sondage complexe peut entraîner. Toutefois, un effet de l’intervieweur dans les enquêtes en personne peut augmenter l’effet de plan. Cela peut conduire à des conclusions erronées au sujet de l’effet que l’échantillonnage complexe a sur l’efficacité d’une stratégie d’échantillonnage. Ces conclusions erronées peuvent entraîner à leur tour une mauvaise attribution des ressources. La taille d’échantillon prévue pourrait être trop élevée, si elle est fondée sur un effet de plan surestimé. C’est pourquoi nous proposons de tenir compte de l’effet de plan et de l’effet de l’intervieweur simultanément au moment de planifier la taille de l’échantillon. L’effet d’enquête, que nous élaborons à la section 2, tient compte à la fois de la variance des intervieweurs et des UPE pour évaluer l’efficacité d’un plan d’enquête. À partir de l’effet d’enquête, nous introduisons un effet de plan corrigé, qui utilise comme plan de référence un échantillon aléatoire simple avec effet de l’intervieweur. Il en résulte que l’effet de plan corrigé n’est plus confondu avec l’effet de l’intervieweur et qu’il peut donc servir à mieux fonder la décision pour la taille des échantillons en fonction de l’effet du plan de sondage sur la précision des estimations d’enquête.

Dans le cas de l’ESS6, nos constatations empiriques de la section 3.2 montrent que les effets de plan élevés sont liés à des effets de l’intervieweur élevés. Les effets de plan corrigés moyens que nous observons donnent à penser que le plan de sondage influence la variance d’un estimateur à un degré moindre que les intervieweurs dans de nombreux pays de l’ESS6. La capacité d’estimer l’effet de plan corrigé, par exemple à partir des données historiques qui serviraient d’indication dans la planification d’enquête, dépend principalement de la structure UPE-intervieweur et de la répartition des charges de travail des intervieweurs et de la taille des grappes. Nous constatons qu’un plan d’enquête partiellement interpénétré, c’est-à-dire à un niveau régional, peut suffire pour distinguer la variance de l’UPE et celle de l’intervieweur. Dans notre étude par simulations, un nombre moyen de 1,5 UPE par intervieweur ou d’intervieweur par UPE était suffisant pour l’estimation des composantes de la variance du modèle de mesure $\left(M_2\right).$ Pour les données d’enquête réelles, c’est-à-dire catégoriques, ce niveau d’interpénétration pourrait ne pas être assez élevé, mais un nombre élevé d’UPE, d’intervieweurs et un échantillon de grande taille pourraient contrebalancer la faible interpénétration. Concernant les applications pratiques, nous recommandons de tester par simulations si le modèle de mesure supposé peut être estimé avec la structure UPE-intervieweur donnée, comme nous l’avons fait à la section 3.1.

Si l’on utilise l’effet d’enquête et l’effet de plan corrigé aux fins de planification d’une taille d’échantillon, il peut être utile de travailler avec les bornes supérieures et inférieures de ces statistiques. À la section 2, nous calculons ces bornes, mais en nous fondant sur des hypothèses quelque peu irréalistes sur la distribution des poids d’enquête, des charges de travail des intervieweurs et des tailles des UPE. Toutefois, s’il est possible de formuler des hypothèses réalistes sur la concentration des poids d’enquête, les charges de travail des intervieweurs et la taille des UPE, nous proposons alors d’utiliser une optimisation linéaire  $–$ comme cela est montré en annexe  $–$ pour calculer des bornes beaucoup plus pertinentes en pratique, susceptibles de donner de précieuses orientations aux personnes planifiant des enquêtes. En général, nous recommandons d’avoir des distributions peu concentrées des charges de travail des intervieweurs et des tailles de grappes d’UPE afin d’accroître la précision des estimations d’enquête. Par conséquent, les charges de travail des intervieweurs et les tailles des grappes d’UPE devraient être aussi égales que possible pour tout nombre donné d’intervieweurs et d’UPE.

Les modèles de mesure présentés à la section 2 sont sans doute simplistes. Cela les rend applicables à la plupart des plans d’enquête. Les seuls renseignements, à part les données d’enquête, utilisés dans le calcul des estimations du tableau 3.3 étaient les indicateurs d’UPE et d’intervieweurs. On pourrait toutefois intégrer certains aspects des mesures d’enquête à un modèle de mesure pratique, comme la stratification qui, en général, accroît l’efficacité d’une stratégie d’estimation (Särndal et coll., 1992, section 3.7). Notre analyse a négligé cette possibilité, bien que de nombreux pays de l’ESS6 aient utilisé un plan stratifié pour leur échantillon d’UPE. Gabler, Häder et Lynn (2006) ont proposé un effet de plan pour les stratégies d’estimation qui combine différents plans de sondage pour les domaines d’échantillonnage. On pourrait adapter cette méthode pour ajouter un effet de stratification à la variance de l’UPE. En outre, il serait plausible de supposer que les intervieweurs diffèrent quant au degré d’homogénéité qu’ils ajoutent à leurs mesures. On pourrait alors inclure cette hétérogénéité des intervieweurs dans un modèle de mesure en permettant à des groupes d’intervieweurs d’avoir des distributions différentes de ${\Im }_i,$ c’est-à-dire des valeurs de ${\sigma }_I^2$ (West et Elliott, 2014). Il faudrait néanmoins une procédure de classification des intervieweurs. Il serait alors préférable de la fonder principalement sur les données de l’enquête plutôt que sur des renseignements concernant les intervieweurs, qui peuvent différer d’une enquête à l’autre.

Une application future du cadre de l’effet d’enquête présenté ici consisterait à trouver une affectation budgétaire optimale pour ce qui est du nombre d’UPE et d’intervieweurs, pour une taille d’échantillon efficace donnée. Cette optimisation nécessite un modèle de coût pour le déploiement des intervieweurs dans un ensemble possible d’UPE. Les instituts chargés du travail sur le terrain pourraient éventuellement fournir les renseignements nécessaires au calcul d’un tel modèle pour un pays donné. Cette méthode pourrait aider les responsables de la planification d’enquête à accroître l’efficacité des enquêtes en personne, ce qui est de plus en plus important, car les enquêtes fondées sur des échantillons probabilistes sont soumises à des pressions en raison des solutions de rechange peu coûteuses consistant à recruter des répondants à partir de panels élargis en ligne.

De futures recherches pourraient s’intéresser aussi à l’élaboration d’un effet d’enquête pour d’autres estimateurs que la moyenne pondérée de l’échantillon, notamment pour des estimateurs qu’on peut décrire comme des fonctions de totaux estimés, qui comprennent l’estimateur par les moindres carrés ordinaires pour les coefficients de régression (Särndal et coll., 1992, section 5.10). On devrait pouvoir calculer des effets d’enquête, selon le cadre montré à la section 2, qui permettent une factorisation semblable à l’effet d’enquête présenté dans l’article.

Annexe

En annexe, nous présenterons une courte notation de plusieurs sommes, où, par exemple, ${\displaystyle {\sum }_{qik}{y}_{qik}}$ sera l’abréviation de

$${\displaystyle \sum _{q\in \mathcal{K}}{\displaystyle \sum _{i\in \mathcal{R}}{\displaystyle \sum _{k\in s_{qi}}{y}_{qik}}}}.$$

Résultats 1

$${\text{eff}}_{20}^{*}\left(w\right)\le \frac{n{{\displaystyle \sum }}_{qik}{w}_{qik}^2}{{\left({{\displaystyle \sum }}_{qik}{w}_{qik}\right)}^2}\left(1+{\rho }_I\left[\frac{n}{R}-1\right]+{\rho }_C\left[\frac{n}{K}-1\right]\right).$$

Démonstration : Nous devons montrer que

$$\frac{{{\displaystyle \sum }}_i{\left({{\displaystyle \sum }}_{qk}{w}_{qik}\right)}^2}{{{\displaystyle \sum }}_{qik}{w}_{qik}^2}\le \frac{n}{R}(\text{A}\text{.1})$$

et

$$\frac{{{\displaystyle \sum }}_i{\left({{\displaystyle \sum }}_{qk}{w}_{qik}\right)}^2}{{{\displaystyle \sum }}_{qik}{w}_{qik}^2}\le \frac{n}{K}(\text{A}\text{.2})$$

se vérifie, si $n_i=\frac{n}{R}$ et $n_q=\frac{n}{K},$ pour tous les $i=1,\dots ,R$ et $q=1,\dots ,K.$

Comme le montrent Gabler et coll. (1999), si $a_{qik}=1$ pour tous les $q\in \mathcal{K},i\in \mathcal{R},k\in s_{qi},$ au moyen de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, nous savons que

$$\begin{array}{ll}{\left({\displaystyle \sum _{qk}{w}_{qik}{a}_{qik}}\right)}^2=\hfill & {\left({\displaystyle \sum _{qk}{w}_{qik}}\right)}^2\le n_i{\displaystyle \sum _{qk}{w}_{qik}^2}={\displaystyle \sum _{qk}{a}_{qik}^2}{\displaystyle \sum _{qk}{w}_{qik}^2}\hfill \\ \hfill & \frac{{\displaystyle {\sum }_i{\left({\displaystyle {\sum }_{qk}{w}_{qik}}\right)}^2}}{{\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_{qk}{w}_{qik}^2}}}\le \frac{{\displaystyle {\sum }_i{n}_i{\displaystyle {\sum }_{qk}{w}_{qik}^2}}}{{\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_{qk}{w}_{qik}^2}}}.\hfill \end{array}$$

Si nous avons $n_i=\frac{n}{R}$ pour tous les $i=1,\dots ,R,$ alors

$$\frac{{{\displaystyle \sum }}_i{\left({{\displaystyle \sum }}_{qk}{w}_{qik}\right)}^2}{{{\displaystyle \sum }}_{qik}{w}_{qik}^2}\le \frac{n}{R}.$$

La démonstration de l’inégalité (A.2) est analogue à celle qui précède, ce qui complète la démonstration du résultat 1.

Bornes supérieures pour ${\overline{m}}_I\left(w\right),$ ${\overline{m}}_C\left(w\right)$ et $ef{f}_w\left(w\right)$

Pour des valeurs données $n_I^{\top }$ et $n_C^{\top }$ et $w_k\in \left[a,b\right]$ avec $a,b\in {ℝ}_{+}$ pour tous les $k\in s,$ et ${\displaystyle {\sum }_k{w}_k=n}$ nous pouvons construire une borne supérieure pour ${\overline{m}}_I\left(w\right)$ et ${\overline{m}}_C\left(w\right).$

Nous savons que

$$\begin{array}{r}\hfill \frac{{\displaystyle {\sum }_i{\left({\displaystyle {\sum }_{qk}{w}_{qik}}\right)}^2}}{{\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_{qk}{w}_{qik}^2}}}\le \frac{{\displaystyle {\sum }_i{n}_i{\displaystyle {\sum }_{qk}{w}_{qik}^2}}}{{\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_{qk}{w}_{qik}^2}}}\le \frac{{\displaystyle {\sum }_i{n}_i{\displaystyle {\sum }_{qk}{w}_{qik}^2}}}{n}.\end{array}(\text{A}\text{.3})$$

Nous devons maintenant trouver une valeur suffisamment élevée de ${\displaystyle {\sum }_i{n}_i{\displaystyle {\sum }_{qk}{w}_{qik}^2}}.$ Pour cela, nous définissons $x_i={\displaystyle {\sum }_{qk}{w}_{qik}^2}$ et $x={(x_1,\dots ,x_I)}^{\top }.$ Par conséquent, nous devons régler le problème suivant :

$$\begin{array}{l}\underset{x\in {ℝ}^R}{\max }{n}_I^{\top }x\hfill \\ \text{s}\text{.c}\text{.}\hfill \\ x_i\ge a^2{n}_i\forall i\in \mathcal{R}\hfill \\ x_i\le b^2{n}_i\forall i\in \mathcal{R}\hfill \\ {\displaystyle \sum _i{x}_i\ge n}\hfill \\ {\displaystyle \sum _i{x}_i\le f_{sqm}\left(a,b,n\right)},\hfill \end{array}(\text{A}\text{.4})$$

où

$$f_{sqm}\left(a,b,n\right)=b^2\lfloor \frac{n-nb}{a-b}\rfloor +\left(n-nb\right)-\lfloor \frac{n-nb}{a-b}\rfloor \left(a-b\right)+b+a^2\left(n-\lfloor \frac{n-nb}{a-b}\rfloor -1\right),$$

où $\lfloor \rfloor$ signifie arrondi au nombre entier inférieur le plus proche. On peut résoudre le problème formulé dans l’équation (A.4) au moyen d’un résolveur pour programmes linéaires, par exemple la fonction solveLP du module R (Henningsen, 2012). La fonction $f_{sqm}$ donne un maximum de ${\displaystyle {\sum }_k{w}_k^2}$ étant donné que les bornes supérieure et inférieure des poids sont $a$ et $b$ et que les poids sont mis à l’échelle à $n,$ c’est-à-dire ${\displaystyle {\sum }_k{w}_k=n}.$ On maximise la somme des carrés en donnant aux plus de poids possible leur valeur la plus élevée $b$ sous la condition que chaque poids ait au moins une valeur de $a$ et que ${\displaystyle {\sum }_k{w}_k=n}.$ On peut ensuite résoudre le problème au moyen d’un algorithme du simplexe. On peut déterminer une borne supérieure pour ${\overline{m}}_C$ de la même façon. Si l’on change le problème pour une minimisation, on peut trouver une borne inférieure pour ${\text{eff}}_{20}.$ Il n’est toutefois pas garanti que l’optimisation séparée de ${\overline{m}}_C$ et ${\overline{m}}_I$ produise des valeurs de $x$ permettant qu’une valeur de $w$ maximise (ou minimise) conjointement ${\overline{m}}_C$ et ${\overline{m}}_I.$ Toutefois, si $x_C$ et $x_I$ sont les vecteurs optimisant ${\overline{m}}_C$ et ${\overline{m}}_I$ respectivement, il devrait être possible de trouver une valeur possible pour $w,$ par exemple au moyen d’un ajustement proportionnel itératif.

Pour ${\text{eff}}_w\left(w\right)$ nous obtenons selon les mêmes hypothèses que précédemment

$$\begin{array}{r}\hfill 1\le {\text{eff}}_w\left(w\right)=\frac{{{\displaystyle \sum }}_{k\in s}{w}_k^2}{n}\le \frac{f_{sqx}\left(a,b,n\right)}{n}.(\text{A}\text{.5})\end{array}$$

Résultat 2

$$\begin{array}{c}\frac{n}{{\rho }_I\left(n-R\right)\left(n-R+1\right)+n}\le {\text{eff}}_I\le \frac{R}{R+\left(n-R\right){\rho }_I}.\end{array}$$

Démonstration : On peut montrer la borne supérieure du résultat 2 en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, qui nous donne

$$\begin{array}{ll}R{\displaystyle \sum _i{n}_i^2}\hfill & \ge {\left({\displaystyle \sum _i{n}_i}\right)}^2\hfill \\ {\displaystyle \sum _i{n}_i^2}\hfill & \ge \frac{n^2}{R}.\hfill \end{array}(\text{A}\text{.6})$$

Avec un peu d’algèbre, nous pouvons formuler la borne supérieure de ${\text{eff}}_I.$

Pour démontrer la borne inférieure du résultat 2, nous résolvons le problème suivant :

$$\begin{array}{l}\underset{n_I\in {\mathbb{N}}_{>0}^R}{\text{max}}{n}_I^{\top }{n}_I\hfill \\ \text{s}\text{.c}\text{.}\hfill \\ {\displaystyle \sum _i{n}_i=n.}\hfill \end{array}(\text{A}\text{.7})$$

On peut trouver une solution au problème formulé dans (A.7) en considérant que si nous avons $n_i-1\ge 1$ et $n_i\le n_j,$ alors par conséquent, pour $n_j={\text{max}}_{i\in \mathcal{R}}{n}_i$ nous pouvons augmenter ${\displaystyle {\sum }_i^R{n}_i^2}$ si nous réduisons tout $n_i>1i\ne j$ de un et ajoutons un à $n_j.$ Ainsi, si $n_i=1$ pour tous les $i\ne j\in \mathcal{R}$ et $n_j=n-R+1$ alors ${\displaystyle {\sum }_i{n}_i^2}$ est à son maximum, avec ${\displaystyle {\sum }_i{n}_i^2=\left(R-1\right)+{\left(n-R+1\right)}^2}.$

Résultat 4

Démonstration : Compte tenu du résultat 2, pour prouver le deuxième membre du résultat 4, nous devons montrer que

$${\text{eff}}_{2*0}^{*}\left(w\right)\le \frac{n{{\displaystyle \sum }}_{qik}{w}_{qik}^2}{{\left({{\displaystyle \sum }}_{qik}{w}_{qik}\right)}^2}\left(1+{\rho }_I\left[\frac{n}{R}-1\right]+{\rho }_C\left[\frac{n}{K}-1\right]+{\rho }_{IC}\left[\frac{n}{RK}-1\right]\right).(\text{A}\text{.8})$$

Pour prouver l’inégalité (A.8), il nous suffit de montrer que

$$\frac{{{\displaystyle \sum }}_{qi}{\left({{\displaystyle \sum }}_k{w}_{qik}\right)}^2}{{{\displaystyle \sum }}_{qik}{w}_{qik}^2}\le \frac{n}{RK}.$$

Le reste découle des preuves d’inégalités (A.1) et (A.2). Par conséquent, il suffit de montrer que

$${\left({\displaystyle \sum _k{w}_{qik}}\right)}^2={\left({\displaystyle \sum _k{w}_{qik}{a}_{qik}}\right)}^2\le n_{qi}{\displaystyle \sum _k{w}_{qik}^2}={\displaystyle \sum _k{a}_{qik}^2{\displaystyle \sum _k{w}_{qik}^2}},$$

si $a_{qik}=1$ pour toutes les valeurs $q\in \mathcal{K},i\in \mathcal{R},k\in s_{qi},$ ce qui découle également de l’inégalité de Cauchy-Schwarz. L’inégalité (A.8) suit alors si $n_{qi}=\frac{n}{RK}$ pour $i=1,\dots ,R$ et $q=1,\dots ,K.$

Le premier membre du résultat 4 suit la démonstration du résultat 6 dans Gabler et Lahiri (2009) et du résultat 2.

Variables de l’ESS6 utilisées aux fins d’évaluation empirique

La définition de ces variables, y compris le texte de la question, se trouve dans l’ESS (2013).

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