Tenir compte des effets de l’intervieweur et du plan de sondage dans la planification des tailles d’échantillon
Section 2. Effets de l’intervieweur et de plan

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Nous définissons un échantillon comme un ensemble de $n$ répondants distincts, que nous notons $s=\left\{1,\dots ,n\right\},$ avec $n\in \mathbb{N}.$ Pour le répondant $k^{\text{e}}$ notre variable d’intérêt $y$ est une variable à valeur réelle, où $y_k$ est l’observation de cette variable pour le répondant $k^{\text{e}}$ dans notre échantillon $s.$ Les données observées sont données par $y={\left(y_1,\dots ,y_n\right)}^{\top }.$ Nous associons les poids d’enquête à chaque répondant de l’échantillon, donnés par $w={\left(w_1,\dots ,w_n\right)}^{\top },$ où $w_k$ est le poids du répondant $k^{\text{e}}$ et $w_k>0,$ pour tous les $k\in s.$

Nous considérons la moyenne pondérée de l’échantillon $y$ comme notre estimateur, qui s’écrit

$$\overline{y}\left(w\right)=\frac{w^{\top }y}{w^{\top }{\mathbb{I}}_n}=\frac{{{\displaystyle \sum }}_{k\in s}{w}_k{y}_k}{{{\displaystyle \sum }}_{k\in s}{w}_k},(2.1)$$

où ${\mathbb{I}}_n$ est un vecteur-colonne de un de longueur $n.$ Nous nous intéressons à un estimateur d’intérêt, $\overline{y}\left(w\right),$ qui est l’estimateur le plus couramment choisi pour décrire les effets de l’intervieweur et du plan (Kish, 1965, section 8.1, Kish, 1962; Särndal, Swensson et Wretman, 1992, page 53). Ce choix nous permet d’utiliser un cadre établi (Gabler et coll., 1999) et de produire des formules reconnaissables par les lecteurs connaissant quelque peu le sujet. Cependant, les effets de plan d’autres estimateurs ont été étudiés, notamment par Lohr (2014), qui calcule les effets de plan pour les estimateurs des coefficients de régression, et par Fischer, West, Elliott et Kreuter (2018), qui décrivent l’incidence des effets de l’intervieweur sur l’estimation des coefficients de régression.

Dans ce qui suit, la variance de $\overline{y}\left(w\right)$ est dérivée selon différents modèles de mesure pour $y.$ Les différents modèles servent à faire la distinction entre les plans d’échantillonnage complexes et simples, ainsi qu’à distinguer les situations comportant un effet de l’intervieweur et celles n’en comportant pas. Notons que la variance fondée sur un modèle de l’estimateur $\overline{y}\left(w\right),$ que nous utilisons, n’est généralement pas identique aux variances fondées sur le plan de sondage, c’est-à-dire la variance de $\overline{y}\left(w\right)$ selon un plan de sondage donné (Särndal et coll., 1992, page 492). Les variances fondées sur un plan peuvent être très complexes et donc difficiles à afficher de façon accessible, surtout en cas d’échantillonnage à plusieurs degrés. L’approche fondée sur un modèle réduit la complexité tout en conservant la propriété essentielle des plans de sondage complexes que nous étudions, l’effet de grappe d’un échantillonnage à plusieurs degrés. Il permet également d’intégrer facilement l’effet de grappe et de l’intervieweur dans un même cadre.

2.1  Échantillonnage aléatoire simple sans effet de l’intervieweur

Pour modéliser un échantillonnage aléatoire simple en l’absence d’effet de l’intervieweur, c’est-à-dire sans corrélation intra-UPE et intra-intervieweur, nous supposons le modèle de mesure suivant $\left(M_0\right)$

$$y_k={\mu }_k+{\mathfrak{e}}_k,\left(M_0\right)$$

où ${\mu }_k$ est la valeur de $y$ pour le répondant $k^{\text{e}}$ et ${\mathfrak{e}}_k$ est l’erreur de mesure. Les erreurs de mesure ${\mathfrak{e}}_k$ pour tous les $k\in s$ sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (iid) avec une structure variance-covariance de

$${\text{Cov}}_{M_0}\left(e_k,e_l\right)=\{\begin{array}{ll}{\sigma }^2,\hfill & \text{si }k=l\hfill \\ 0,\hfill & \text{sinon }\hfill \end{array},(2.2)$$

où $\sigma$ est un paramètre de valeur réelle supérieur à zéro. Selon le modèle $\left(M_0\right),$ la variance de $\overline{y}\left({\mathbb{I}}_n\right)$ est obtenue par $V_{M_0}\left(\overline{y}\left({\mathbb{I}}_n\right)\right)={\sigma }^2/n.$ Cette variance peut être interprétée comme la variance de la moyenne non pondérée de l’échantillon selon un échantillonnage aléatoire simple avec remise (Särndal et coll., 1992, page 73). L’échantillonnage aléatoire simple avec estimateur $\overline{y}\left({\mathbb{I}}_n\right)$ sert habituellement de stratégie d’estimation de référence, qui est comparée avec des plans de sondage et des estimateurs plus complexes.

2.2  Échantillonnage aléatoire simple avec effet de l’intervieweur

Ensuite, nous introduisons la variance de l’intervieweur dans notre modèle de mesure pour $y.$ Chaque répondant est interviewé par un intervieweur seulement. On a $R\in {\mathbb{N}}_{>0}$ intervieweurs réalisant les interviews de tous les répondants $n.$ Nous désignons par $s_i\subset s$ l’ensemble de tous les répondants qui sont interviewés par l’intervieweur $i^{\text{e}}$ et $\mathcal{R}=\left\{1,\dots ,R\right\}$ l’ensemble de tous les intervieweurs. La charge de travail de l’intervieweur $i^{\text{e}}$ est donnée par $n_i,$ $n_I={\left(n_1,\dots ,n_R\right)}^{\top }$ est le vecteur des charges de travail des intervieweurs et ${\displaystyle {\sum }_{i=1}^R{n}_i=n}.$ Selon le modèle de mesure $\left(M_1\right),$ qui suit les explications de Särndal et coll. (1992), à la page 623, les valeurs observées de $y$ pour $k\in s_i$ sont décrites sous la forme

$$y_{ik}={\mu }_k+{\Im }_i+{\mathfrak{e}}_{ik},\left(M_1\right)$$

${\Im }_i$ étant l’effet de l’intervieweur associé à toutes les mesures effectuées pour les répondants $k\in s_i.$ ${\mathfrak{e}}_{ik}$ représentant l’erreur aléatoire attribuable à des sources autres que l’intervieweur. Tous les ${\mathfrak{e}}_{ik}$ pour $i\in \mathcal{R}$ et $k\in s$ sont des variables iid avec une moyenne nulle et une variance ${\sigma }_e^2.$ ${\Im }_1,\dots ,{\Im }_R$ sont des variables aléatoires iid avec moyenne nulle et une variance ${\sigma }_I^2,$ que nous appelons variance de l’intervieweur, et elles sont indépendantes de ${\mathfrak{e}}_{ik}$ pour tous les $i\in \mathcal{R}$ et $k\in s.$ Särndal et coll. (1992) interprètent le modèle $\left(M_1\right)$ comme une attribution aléatoire des intervieweurs à une partition prédéfinie de l’échantillon $s$ dans $R$ sous-ensembles disjoints $s_i,$ $i=1,\dots ,R.$ Ces sous-ensembles pourraient correspondre aux différentes régions géographiques où l’enquête est menée et auxquelles les intervieweurs sont alloués aléatoirement. En pratique, dans de nombreuses enquêtes, les organismes travaillant sur le terrain affectent les intervieweurs à des régions géographiques en fonction de leur expérience et de leur proximité. Comme ce processus n’est pas nécessairement observable par le chercheur estimant l’effet de plan, nous supposons une répartition aléatoire des intervieweurs dans les UPE. Cela peut être perçu comme le recrutement d’intervieweurs à partir d’un bassin infini, ou très grand, d’intervieweurs possibles.

Si nous définissons la partie aléatoire dans $y_{ik}$ comme étant ${\epsilon }_{ik}={\Im }_i+{\mathfrak{e}}_{ik},$ alors la structure variance-covariance de $y_{ik}$ selon le modèle $\left(M_1\right)$ est donnée par

$${\text{Cov}}_{M_1}\left({\epsilon }_{ik},{\epsilon }_{jl}\right)=\{\begin{array}{ll}{\sigma }^2,\hfill & \text{si }i=j,k=l\hfill \\ {\rho }_I{\sigma }^2,\hfill & \text{si }i=j,k\ne l\hfill \\ 0,\hfill & \text{sinon }\hfill \end{array},(2.3)$$

où ${\sigma }_I^2+{\sigma }_e^2={\sigma }^2$ et ${\rho }_I=\frac{{\sigma }_I^2}{{\sigma }^2}$ est la corrélation entre deux observations différentes de $y$ faites par un même intervieweur. Pour calculer la variance de $\overline{y}\left(w\right)$ selon le modèle $\left(M_1\right),$ nous déterminons d’abord la variance de ${\displaystyle {\sum }_{i\in \mathcal{R}}{\displaystyle {\sum }_{k\in s_i}{w}_{ik}{y}_{ik}}},$ où $w_{ik}$ et $y_{ik}$ sont le poids d’enquête et l’observation pour le répondant $k\in s_i,$ respectivement. Nous obtenons ainsi

$$\begin{array}{ll}{\text{Var}}_{M_1}\left({\displaystyle \sum _{i\in \mathcal{R}}{\displaystyle \sum _{k\in s_i}{w}_{ik}{y}_{ik}}}\right)\hfill & ={\sigma }^2\left({\displaystyle \sum _{i\in \mathcal{R}}{\displaystyle \sum _{k\in s_i}{w}_{ik}^2}}+{\rho }_I{\displaystyle \sum _{i\in \mathcal{R}}{\displaystyle \sum _{k\in s_i}{\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}l\in s_i\\ l\ne k\end{array}}{w}_{ik}{w}_{il}}}}\right)\hfill \\ \hfill & ={\sigma }^2\left({\displaystyle \sum _{i\in \mathcal{R}}{\displaystyle \sum _{k\in s_i}{w}_{ik}^2}}+{\rho }_I\left[{\displaystyle \sum _{i\in \mathcal{R}}}{\left({\displaystyle \sum }_{k\in s_i}{w}_{ik}\right)}^2-{\displaystyle \sum _{i\in \mathcal{R}}}{\displaystyle \sum }_{k\in s_i}{w}_{ik}^2\right]\right)\hfill \\ \hfill & ={\sigma }^2{\displaystyle \sum _{i\in \mathcal{R}}{\displaystyle \sum _{k\in s_i}{w}_{ik}^2}}\left(1+{\rho }_I\left[\frac{{{\displaystyle \sum }}_{i\in \mathcal{R}}{\left({{\displaystyle \sum }}_{k\in s_i}{w}_{ik}\right)}^2}{{{\displaystyle \sum }}_{i\in \mathcal{R}}{{\displaystyle \sum }}_{k\in s_i}{w}_{ik}^2}-1\right]\right),\hfill \end{array}$$

et il s’ensuit que

$${\text{Var}}_{M_1}\left(\overline{y}\left(w\right)\right)=\frac{{\sigma }^2{{\displaystyle \sum }}_{i\in \mathcal{R}}{{\displaystyle \sum }}_{k\in s_i}{w}_{ik}^2}{{\left({{\displaystyle \sum }}_{i\in \mathcal{R}}{{\displaystyle \sum }}_{k\in s_i}{w}_{ik}\right)}^2}\left(1+{\rho }_I\left[\frac{{{\displaystyle \sum }}_{i\in \mathcal{R}}{\left({{\displaystyle \sum }}_{k\in s_i}{w}_{ik}\right)}^2}{{{\displaystyle \sum }}_{i\in \mathcal{R}}{{\displaystyle \sum }}_{k\in s_i}{w}_{ik}^2}-1\right]\right).(2.4)$$

2.3  Échantillonnage à plusieurs degrés avec effet de l’intervieweur

Nous examinons un plan de sondage à deux degrés, où premièrement on sélectionne les UPE, puis deuxièmement les répondants à partir des UPE échantillonnées. Les UPE sont les unités de corrélation intra-grappe et nous traiterons les termes de grappe et d’UPE comme étant interchangeables. L’échantillon des UPE est noté $\mathcal{K}=\left\{1,\dots ,K\right\},$ avec $K>1.$ Chaque répondant appartient à une UPE seulement. Soit $s_q\subset s$ l’ensemble de tous les répondants appartenant à l’UPE $q^{\text{e}},$ $n_q$ le nombre de répondants observés dans l’UPE $q^{\text{e}},$ $n_C={\left(n_1,\dots ,n_K\right)}^{\top }$ le vecteur des tailles de grappes, et ${\displaystyle {\sum }_{q\in \mathcal{K}}{n}_q=n}.$ Encore une fois, chaque répondant est interviewé par un seul intervieweur. Les intervieweurs peuvent travailler dans plusieurs UPE et les UPE peuvent recevoir la visite de plusieurs intervieweurs. Bien que les intervieweurs puissent concentrer leur travail dans une région en particulier, généralement, les régions se composent de plusieurs UPE et les intervieweurs ne travaillent pas exclusivement dans une seule UPE. Cette situation se retrouve souvent dans les enquêtes en personne réalisées en Europe, comme dans l’ESS ou l’EVS. Le tableau 3.1 de la section 3.1 donne un aperçu du degré d’interpénétration entre les UPE et les intervieweurs dans les pays qui utilisent un plan de sondage à plusieurs degrés dans l’ESS6. L’interaction entre les UPE et l’intervieweur est observable dans toutes les éditions de l’ESS pour les pays utilisant un plan de sondage à plusieurs degrés.

Nous introduisons maintenant le modèle de mesure $\left(M_2\right),$ qui comprend à la fois la variance de grappe et de l’intervieweur dans les valeurs observées de $y.$ Pour $k\in s_{qi}=s_q\cap s_i$ nous modélisons les observations de $y$ sous la forme

$$y_{qik}={\mu }_k+{ℭ}_q+{\Im }_i+{\mathfrak{e}}_{qik},\left(M_2\right)$$

avec la valeur ${ℭ}_q$ définie comme étant une variable aléatoire de moyenne nulle et de variance ${\sigma }_C^2,$ que nous appelons variance de l’UPE, commune à tous les répondants de l’UPE $q.$ ${ℭ}_1,\dots ,{ℭ}_K$ sont des variables aléatoires iid et sont indépendantes de ${\mathfrak{e}}_{qik}$ et ${\Im }_i$ pour tous les $i\in \mathcal{R},$ $q\in \mathcal{K},$ et $k\in s_{qi}.$ ${ℭ}_q$ introduit un certain degré de similitude entre les répondants d’une même UPE. Cela permet un effet aléatoire permanent de l’UPE sur la mesure de $y$ pour le répondant $k^{\text{e}},$ ce qui le fait s’écarter de ${\mu }_k$ (Chambers et Skinner, 2003, page 201).

Pour établir l’effet de l’échantillonnage et des intervieweurs sur $\overline{y}\left(w\right),$ nous définissons la partie aléatoire de $y_{qik}$ comme étant ${\epsilon }_{qik}={ℭ}_q+{\Im }_i+{\mathfrak{e}}_{qik},$ qui a la structure de variance-covariance suivante

$${\text{Cov}}_{M_2}\left({\epsilon }_{qik},{\epsilon }_{pjl}\right)=\{\begin{array}{ll}{\sigma }^2,\hfill & \text{si }q=p,i=j,k=l\hfill \\ {\rho }_C{\sigma }^2,\hfill & \text{si }q=p,i\ne j,k\ne l\hfill \\ {\rho }_I{\sigma }^2,\hfill & \text{si }q\ne p,i=j,k\ne l\hfill \\ \left({\rho }_I+{\rho }_C\right){\sigma }^2,\hfill & \text{si }q=p,i=j,k\ne l\hfill \\ 0,\hfill & \text{sinon }\hfill \end{array},(2.5)$$

où ${\sigma }_C^2+{\sigma }_I^2+{\sigma }_e^2={\sigma }^2$ et ${\rho }_C=\frac{{\sigma }_C^2}{{\sigma }^2}$ est la corrélation entre l’observation de la même UPE. La structure de variance-covariance de ${\epsilon }_{qik}$ signifie que les mesures de $y$ sont corrélées si elles sont effectuées dans la même UPE ou le même intervieweur. De plus, les mesures de $y$ sont plus homogènes si elles sont réalisées par un même intervieweur dans une même UPE. Le modèle $\left(M_2\right)$ représente une généralisation du modèle $M_4$ de Gabler et Lahiri (2009), en supprimant la restriction selon laquelle aucun intervieweur ne travaille dans plus d’une UPE.

La variance de $\overline{y}\left(w\right)$ selon le modèle $\left(M_2\right)$ est donnée par

$$\begin{array}{ll}{\text{Var}}_{M_2}\left(\overline{y}\left(w\right)\right)\hfill & =\frac{{\sigma }^2{{\displaystyle \sum }}_{q\in \mathcal{K}}{{\displaystyle \sum }}_{i\in \mathcal{R}}{{\displaystyle \sum }}_{k\in s_{qi}}{w}_{qik}^2}{{\left({{\displaystyle \sum }}_{q\in \mathcal{K}}{{\displaystyle \sum }}_{i\in \mathcal{R}}{{\displaystyle \sum }}_{k\in s_{qi}}{w}_{qik}\right)}^2}\hfill \\ \hfill & \left(1+{\rho }_I\left[ {\overline{m}}_I\left(w\right)-1\right]+{\rho }_C\left[{\overline{m}}_C\left(w\right)-1\right]\right),(2.6)\hfill \end{array}$$

où $w_{qik}$ et $y_{qik}$ sont le poids d’enquête et l’observation pour le répondant $k\in s_{qi},$ respectivement et

$${\overline{m}}_I\left(w\right)=\frac{{{\displaystyle \sum }}_{i\in \mathcal{R}}{\left({{\displaystyle \sum }}_{q\in \mathcal{K}}{{\displaystyle \sum }}_{k\in s_{qi}}{w}_{qik}\right)}^2}{{{\displaystyle \sum }}_{q\in \mathcal{K}}{{\displaystyle \sum }}_{i\in \mathcal{R}}{{\displaystyle \sum }}_{k\in s_{qi}}{w}_{qik}^2}\text{et}{\overline{m}}_C\left(w\right)=\frac{{{\displaystyle \sum }}_{q\in \mathcal{K}}{\left({{\displaystyle \sum }}_{i\in \mathcal{R}}{{\displaystyle \sum }}_{k\in s_{qi}}{w}_{qik}\right)}^2}{{{\displaystyle \sum }}_{q\in \mathcal{K}}{{\displaystyle \sum }}_{i\in \mathcal{R}}{{\displaystyle \sum }}_{k\in s_{qi}}{w}_{qik}^2}.$$

Nous pouvons modifier le modèle $\left(M_2\right)$ pour permettre un effet d’interaction entre l’intervieweur et l’UPE, ce qui signifie que la covariance entre les observations faites par un même intervieweur dans une même UPE n’est pas égale à la somme de la covariance intra-intervieweur et intra-UPE. Nous appelons ce modèle de mesure $\left(M_{2*}\right)$ et pour $k\in s_{qi}$ l’observation de $y$ est modélisée comme suit

$$y_{qik}={\mu }_k+{ℭ}_q+{\Im }_i+{\mathfrak{O}}_{qi}+{\mathfrak{e}}_{qik},\left(M_{2*}\right)$$

avec ${\mathfrak{O}}_{qi}$ comme variable aléatoire de moyenne nulle et de variance ${\sigma }_{IC}^2$ commune à tous les répondants de l’UPE $q$ qui ont été interviewés par l’intervieweur $i.$ Toutes les valeurs ${\mathfrak{O}}_{qi}$ pour $q\in \mathcal{K}$ et $i\in \mathcal{R}$ sont des variables aléatoires iid et sont indépendantes de ${\mathfrak{e}}_{qik},$ ${\Im }_i,$ ${ℭ}_q$ pour tous les $q\in \mathcal{K},$ $i\in \mathcal{R},$ et $k\in s_{qi}.$ L’effet aléatoire ${\mathfrak{O}}_{qi}$ introduit une corrélation supplémentaire entre les observations réalisées par un même intervieweur au sein d’une même UPE, ce qui ne peut pas être expliqué par les variances distinctes de l’UPE et de l’intervieweur.

Pour $k\ne l$ et ${\epsilon }_{qik}={ℭ}_q+{\Im }_i+{\mathfrak{O}}_{qi}+{\mathfrak{e}}_{qik}$ nous avons selon le modèle $\left(M_{2*}\right)$ ${\text{Cov}}_{M_{2*}}\left({\epsilon }_{qik},{\epsilon }_{qil}\right)=\left({\rho }_I+{\rho }_C+{\rho }_{IC}\right){\sigma }^2.$ Par conséquent, nous pouvons écrire la variance de $\overline{y}\left(w\right)$ selon le modèle $\left(M_{2*}\right)$ comme suit

$$\begin{array}{ll}{\text{Var}}_{M_2}\left(\overline{y}\left(w\right)\right)\hfill & =\frac{{\sigma }^2{{\displaystyle \sum }}_{q\in \mathcal{K}}{{\displaystyle \sum }}_{i\in \mathcal{R}}{{\displaystyle \sum }}_{k\in s_{qi}}{w}_{qik}^2}{{\left({{\displaystyle \sum }}_{q\in \mathcal{K}}{{\displaystyle \sum }}_{i\in \mathcal{R}}{{\displaystyle \sum }}_{k\in s_{qi}}{w}_{qik}\right)}^2}\hfill \\ \hfill & \left(1+{\rho }_I\left[{\overline{m}}_I\left(w\right)-1\right]+{\rho }_C\left[{\overline{m}}_C\left(w\right)-1\right]+{\rho }_{IC}\left[{\overline{m}}_{IC}\left(w\right)-1\right]\right),(2.7)\hfill \end{array}$$

où

$${\overline{m}}_{IC}\left(w\right)=\frac{{{\displaystyle \sum }}_{q\in \mathcal{K}}{{\displaystyle \sum }}_{i\in \mathcal{R}}{\left({{\displaystyle \sum }}_{k\in s_{qi}}{w}_{qik}\right)}^2}{{{\displaystyle \sum }}_{q\in \mathcal{K}}{{\displaystyle \sum }}_{i\in \mathcal{R}}{{\displaystyle \sum }}_{k\in s_{qi}}{w}_{qik}^2}.$$

2.4  Effet d’enquête

Après avoir établi la variance de $\overline{y}\left(w\right)$ selon différents modèles de mesure, nous pouvons définir l’effet associé à l’échantillonnage complexe et aux intervieweurs. Nous l’appellerons effet d’enquête, que nous définissons comme suit :

$${\text{eff}}_{ab}\left(w\right)=\frac{{\text{Var}}_{M_a}\left(\overline{y}\left(w\right)\right)}{{\text{Var}}_{M_b}\left(\overline{y}\left(w\right)\right)},(2.8)$$

où $M_a$ est le modèle de mesure supposé pour notre enquête d’intérêt et $M_b$ est le modèle de référence. Nous parlerons d’effet d’enquête pour distinguer ${\text{eff}}_{ab}\left(w\right)$ de l’effet de plan et de l’intervieweur, car ${\text{eff}}_{ab}\left(w\right)$ englobe les deux effets. Les autres sources de variance, décrites dans le cadre de l’EET, ne sont pas prises en compte. Par conséquent, nous désignerons par plan d’enquête la combinaison d’un plan de sondage et d’un plan de travail d’intervieweur.

L’effet d’enquête associé au modèle de mesure $\left(M_2\right)$ est donné par

$$\begin{array}{ll}{\text{eff}}_{20}\left(w\right)\hfill & =\frac{{\text{Var}}_{M_2}\left({\overline{y}}_w\right)}{{\text{Var}}_{M_0}\left(\overline{y}\right)}\hfill \\ \hfill & ={\text{eff}}_w\left(w\right)\left(1+{\rho }_I\left[{\overline{m}}_I\left(w\right)-1\right]+{\rho }_C\left[ {\overline{m}}_C\left(w\right)-1\right]\right),(2.9)\hfill \end{array}$$

où

$${\text{eff}}_w\left(w\right)=\frac{n{{\displaystyle \sum }}_{k\in s}{w}_k^2}{{\left({{\displaystyle \sum }}_{k\in s}{w}_k\right)}^2}\ge 1.$$

Le facteur ${\text{eff}}_w\left(w\right)$ ne dépend pas du modèle de mesure et peut être interprété comme une mesure de la variance des poids $w.$ Si nous écrivons la variance des poids comme étant ${\sigma }_w^2=1/n{\displaystyle {\sum }_{k\in s}{w}_k^2-{\overline{w}}^2},$ avec $\overline{w}=1/n{\displaystyle {\sum }_{k\in s}{w}_k},$ cette relation devient plus claire, puisque ${\text{eff}}_w\left(w\right)={\text{CV}}_w^2+1,$ avec ${\text{CV}}_w={\sigma }_w/\overline{w}$ comme coefficient de variation des poids d’enquête. Si les poids sont tous égaux, alors ${\text{CV}}_w=0$ et ${\text{eff}}_w\left(w\right)$ devient 1. Les termes ${\overline{m}}_I\left(w\right)$ et ${\overline{m}}_C\left(w\right)$ peuvent être considérés comme des mesures de la charge de travail moyenne des intervieweurs et de la taille de l’UPE, respectivement. Si tous les poids sont égaux, ${\overline{m}}_I\left(w\right)$ a la valeur ${\overline{m}}_I\left({\mathbb{I}}_n\right)={\displaystyle {\sum }_{i\in \mathcal{R}}{n}_i^2}/n.$ De plus, si tous les intervieweurs ont exactement la même charge de travail, c’est-à-dire $n_i=n/R$ pour $i=1,\dots ,R,$ nous avons ${\overline{m}}_I\left({\mathbb{I}}_n\right)=n/K.$ ${\overline{m}}_C\left(w\right)$ a des propriétés semblables.

À la suite de Gabler et coll. (1999) et de Gabler et Lahiri (2009) nous pouvons donner la borne supérieure suivante pour l’effet d’enquête.

Résultat 1.

$${\text{eff}}_{20}^{*}\left(w\right)\le {\text{eff}}_w\left(w\right){\text{eff}}_{20}^{*}\left({\mathbb{I}}_n\right),$$

où ${\text{eff}}_{20}^{*}$ est l’effet d’enquête sous la condition que $n_i=n/R$ pour toutes les valeurs $i\in \mathcal{R}$ et $n_q=n/K$ pour toutes les valeurs $q\in \mathcal{K}.$ La borne supérieure de ${\text{eff}}_{20}^{*}\left(w\right),$ donnée dans le résultat 1, découle de ${\overline{m}}_I\left(w\right)\le n/R$ si $n_i=n/R$ pour tous les $i\in \mathcal{R}$ (Gabler et coll., 1999). La démonstration se trouve dans l’annexe. Pour ${\overline{m}}_C\left(w\right)$ un résultat analogue se vérifie. Notons qu’en général, nous n’avons pas

$${\text{eff}}_{20}\left(w\right)\ge {\text{eff}}_{20}\left({\mathbb{I}}_n\right)=1+{\rho }_I\left[{\displaystyle \sum }_{i\in \mathcal{R}}\frac{n_i^2}{n}-1\right]+{\rho }_C\left[{\displaystyle \sum }_{q\in \mathcal{K}}\frac{n_q^2}{n}-1\right].(2.10)$$

Autrement dit, nous ne pouvons pas dire que l’effet d’enquête est supérieur ou égal à l’effet d’enquête d’un plan de sondage de pondération égale. Si les poids ont la même distribution de fréquence relative entre tous les ensembles $s_{qi}$ l’inégalité (2.10) se vérifie (Gabler et Lahiri, 2009), c’est-à-dire que nous obtenons

$$n_{qig}=\frac{n_{qi}}{n}{n}_g,g=1,\dots ,G,(2.11)$$

où $G$ est le nombre de valeurs uniques dans $w,$ $n_g$ la fréquence de la valeur de pondération $g^{\text{e}}$ et $n_{qig}$ la fréquence de la valeur de pondération $g^{\text{e}}$ pour les répondants interviewés par l’intervieweur $i^{\text{e}}$ dans l’UPE $q^{\text{e}}.$

Nous pouvons toutefois donner une borne inférieure à ${\text{eff}}_{20}\left(w\right).$ En utilisant le même argument que Gabler et Lahiri (2009) dans la démonstration de leur résultat 6, nous obtenons

$${\text{eff}}_{20}\left(w\right)\ge \left(1+{\rho }_I\left[\frac{n}{R}-1\right]+{\rho }_C\left[\frac{n}{K}-1\right]\right).(2.12)$$

Avec le deuxième membre de l’inégalité (2.12), nous avons un minimum facilement calculable de ${\text{eff}}_{20}\left(w\right)$ qui ne dépend ni des poids, ni de la répartition des charges de travail des intervieweurs, ni des tailles d’UPE. Cela donne de précieux éléments d’orientation à l’étape de la planification d’un plan d’enquête, car l’effet d’enquête prévu devrait être au moins aussi élevé que ${\text{eff}}_{20}^{*}\left({\mathbb{I}}_n\right).$ L’utilité pratique de la borne supérieure dans le résultat 1 est quelque peu limitée par des hypothèses fortes sur $n_I$ et $n_C.$ Plus les valeurs de $n_I$ et $n_C$ s’écartent de la distribution en un point des charges de travail d’intervieweur et de tailles d’UPE, moins cette borne devrait servir d’indication. Pour donner aux personnes planifiant une enquête une statistique moins complexe aux fins de prévision de la valeur de ${\overline{m}}_I\left(w\right),$ Lynn et Gabler (2004) ont proposé d’utiliser

$${\overline{m}}_I^{\prime }\left(w\right)= \frac{H_{n_I}}{H_w},(2.13)$$

comme prédicteur de ${\overline{m}}_I\left(w\right),$ où $H_{n_I}={\displaystyle {\sum }_{i\in \mathcal{R}}{\left(n_i/n\right)}^2}$ est l’indice de Herfindahl pour la charge de travail des intervieweurs, une mesure de la concentration, avec $1/R\le H_{n_I}\le 1$ (Fahrmeir, Heumann, Künstler, Pigeot et Tutz, 1997, page 83). $H_{n_I}=1$ correspond à $R=1$ et $H_{n_I}=1/R$ correspond à $n_i=n/R$ pour toutes les valeurs $i\in \mathcal{R}.$ $H_w={\displaystyle {\sum }_{k\in s}{\left(w_k/{\displaystyle {\sum }_{k\in s}{w}_k}\right)}^2}$ est l’indice de Herfindahl pour les poids. Si l’équation (2.11) se vérifie, nous avons ${\overline{m}}_I\left(w\right)={\overline{m}}_I^{\prime }\left(w\right),$ mais, la plupart des enquêtes, cela ne sera pas vrai. C’est pourquoi Lynn et Gabler (2004) proposent d’examiner $\text{Cov}\left(w_{qik},n_i\right),$ la covariance entre les poids et les charges de travail des intervieweurs. Plus $\text{Cov}\left(w_{qik},n_i\right)$ est proche de zéro, plus la distance entre ${\overline{m}}_I\left(w\right)$ et ${\overline{m}}_I^{\prime }\left(w\right)$ est petite. Il devrait être plus facile de planifier une enquête avec des valeurs supposées pour $H_{n_I}$ et $H_w$ qu’avec des valeurs exactes de $n_I$ et $w.$ Pour trouver des valeurs raisonnables de $H_{n_I}$ et $H_w,$ on pourrait s’appuyer sur la comparaison de ces valeurs provenant d’enquêtes ayant des plans d’enquête semblables. Dans l’équation (2.11), les résultats sont analogues pour ${\overline{m}}_C\left(w\right).$

Notons que nous pouvons aussi écrire ${\text{eff}}_w\left(w\right)$ comme suit

$${\text{eff}}_w\left(w\right)=H_{w}n.(2.14)$$

L’expression de ${\text{eff}}_w\left(w\right)$ dans l’équation (2.14) pourrait également être utile à l’étape de planification d’une enquête, car elle montre qu’on peut la planifier avec une certaine concentration des poids, plutôt que des valeurs spécifiques de $w.$

Il est difficile d’établir une borne supérieure proche générale pour ${\text{eff}}_{20}\left(w\right)$ en l’absence de restrictions sur les valeurs de $n_I,$ $n_C$ et $w.$ Toutefois, les poids d’enquête sont habituellement mis à l’échelle de l’échantillon ou de la taille de la population, et il n’est pas rare qu’ils soient bornés. Par exemple, l’ESS fournit à ses utilisateurs des poids supérieurs à zéro et plus petits ou égaux à 4 et les met à l’échelle de la taille de l’échantillon (ESS, 2014c, 2014b). Si $a\le w_k\le b$ pour tous les $k\in s$ avec $b<\infty$ et $a>0,$ alors avec une valeur donnée de $n_I$ (ou $n_C)$ on peut trouver les bornes supérieures de ${\overline{m}}_I(w)$ (ou ${\overline{m}}_C(w))$ en résolvant un problème d’optimisation linéaire. On peut déduire une borne supérieure pour ${\text{eff}}_w(w)$ à partir des valeurs données de $a$ et $b,$ comme le montre l’équation (A.5) en annexe.

La borne supérieure obtenue de ${\text{eff}}_{20}\left(w\right)$ correspondra aux distributions de poids avec une concentration très élevée, c’est-à-dire un nombre maximal des poids les plus élevés possible. Cependant, on pourrait trouver des bornes plus pertinentes en pratique en ajustant les contraintes du problème d’optimisation linéaire, à partir de la distribution des poids des enquêtes ayant des plans de sondage comparables. (Voir la formulation de ce programme linéaire en annexe.)

2.5  Effet de plan corrigé

Maintenant que nous avons établi l’effet d’enquête d’un plan d’enquête, nous proposons un nouveau type d’effet d’enquête que nous nommons effet de plan corrigé. Cette statistique vise à quantifier l’effet marginal d’un plan d’enquête complexe en présence d’un effet de l’intervieweur. Pour cela, nous définissons l’effet suivant

$$\begin{array}{ll}{\text{eff}}_{21}\left(w\right)\hfill & =\frac{{\text{Var}}_{M_2}\left({\overline{y}}_w\right)}{{\text{Var}}_{M_1}\left(\overline{y}\right)}\hfill \\ \hfill & ={\text{eff}}_w\left(w\right){\text{eff}}_I\left(1+{\rho }_I\left[{\overline{m}}_I\left(w\right)-1\right]+{\rho }_C\left[{\overline{m}}_C\left(w\right)-1\right]\right),(2.15)\hfill \end{array}$$

où

$${\text{eff}}_I=\frac{n}{n+{\rho }_I\left({{\displaystyle \sum }}_{i\in \mathcal{R}}{n}_i^2-n\right)}.$$

Le modèle de référence $\left(M_1\right)$ dans ${\text{eff}}_{21}\left(w\right)$ modélise un échantillon aléatoire simple avec un effet de l’intervieweur. Le facteur ${\text{eff}}_I$ indique à quel point l’effet de plan corrigé est proche de l’effet d’enquête. Pour ${\text{eff}}_I=1$ l’effet de plan corrigé et l’effet d’enquête sont égaux et plus ${\text{eff}}_I$ est proche de zéro, plus les deux effets sont éloignés. Par conséquent, nous pouvons utiliser ${\text{eff}}_I$ pour construire une mesure de la contribution de l’effet de l’intervieweur à l’effet d’enquête ${\text{eff}}_{20}.$ Pour cela, nous établissons d’abord les bornes suivantes pour ${\text{eff}}_I,$ qui sont données dans le résultat 2.

Résultat 2.

$$\begin{array}{c}\frac{1}{n}\le \frac{n}{{\rho }_I\left(n-R\right)\left(n-R+1\right)+n}\le {\text{eff}}_I\le \frac{R}{R+\left(n-R\right){\rho }_I}\le 1.\end{array}$$

La démonstration du résultat 2 se trouve en annexe.

Nous définissons maintenant une mesure de la contribution de l’effet de l’intervieweur à l’effet d’enquête ${\text{inv}}_I$ comme suit :

$$\begin{array}{ll}{\text{inv}}_I:\hfill & \left[\frac{1}{n},1\right]\mapsto \left[0,1\right],\hfill \\ {\text{inv}}_I\left(a\right):=\hfill & \frac{n\left(1-a\right)}{n-1}\text{pour}\left[\frac{1}{n}\le a\le 1\right].\hfill \end{array}(2.16)$$

Pour toute valeur donnée de la charge de travail des intervieweurs $n_I,$ la mesure ${\text{inv}}_I\left({\text{eff}}_I\right)$ augmente strictement quand ${\text{eff}}_I$ diminue. Le maximum de ${\text{inv}}_I\left({\text{eff}}_I\right)$ se produit quand $R=1$ et ${\rho }_I=1,$ qui se produit si l’on a un seul intervieweur produisant toujours la même mesure. Le minimum de ${\text{inv}}_I\left({\text{eff}}_I\right)$ se produit quand ${\rho }_I=0$ pour toute valeur donnée de $n_I.$ Si la concentration de la distribution de la charge de travail entre intervieweurs augmente et que ${\rho }_I$ reste fixe, ${\text{inv}}_I\left({\text{eff}}_I\right)$ augmente également. Cette relation apparaît plus clairement si nous écrivons

$${\text{eff}}_I=\frac{1}{1+{\rho }_I\left(H_{n_I}n-1\right)}.(2.17)$$

Par ailleurs, on pourrait aussi se servir du coefficient de variation pour les charges de travail des intervieweurs ${\text{CV}}_{n_I}=R{\sigma }_{n_I}/n,$ avec ${\sigma }_{n_I}^2=1/R{\displaystyle {\sum }_{i\in \mathcal{R}}{n}_i^2-{\left(n/R\right)}^2},$ pour décrire ${\text{eff}}_I,$ étant donné que $H_{n_I}=\left(1+{\text{CV}}_{n_I}^2\right)/R$ (Lynn et Gabler, 2004). Notons que pour ${\sigma }_{n_I}^2=0$ nous avons ${\text{eff}}_I=R/\left(R+\left(n-R\right){\rho }_I\right).$

Au moyen des résultats 1 et 2, ainsi que de l’inégalité (2.12), nous pouvons donner les bornes suivantes à l’effet de plan corrigé.

Résultat 3.

$$\begin{array}{c}\frac{n}{{\rho }_I\left(n-R\right)\left(n-R+1\right)+n}{\text{eff}}_{20}^{*}\left({\mathbb{I}}_n\right)\le {\text{eff}}_{21}^{*}\left(w\right)\le {\text{eff}}_w\left(w\right)\frac{R}{R+\left(n-R\right){\rho }_I}{\text{eff}}_{20}^{*}\left({\mathbb{I}}_n\right),\end{array}$$

où ${\text{eff}}_{21}^{*}$ est l’effet de plan corrigé en cas de charges de travail d’intervieweurs égales et de tailles d’UPE égales. Les bornes de ${\text{eff}}_{21}^{*},$ données dans le résultat 3, ne dépendent pas de $n_I,$ mais il faut noter que dans la borne inférieure de ${\text{eff}}_{21}^{*}\left(w\right),$ ${\text{eff}}_I$ prend sa valeur de concentration maximale dans $n_I,$ tandis que ${\text{eff}}_{20}^{*}\left({\mathbb{I}}_n\right)$ correspond à la concentration minimale de $n_I.$ Comme ${\text{eff}}_I$ ne dépend pas de $w,$ on peut trouver une borne supérieure (ou inférieure) de ${\text{eff}}_{21}\left(w\right)$ en obtenant les bornes supérieures (ou inférieures) de ${\overline{m}}_I\left(w\right),$ ${\overline{m}}_C\left(w\right)$ et ${\text{eff}}_w\left(w\right),$ comme cela est décrit en annexe.

Enfin, nous introduisons un effet de plan corrigé qui suppose le modèle de mesure $\left(M_{2*}\right),$ donné par

$$\begin{array}{ll}{\text{eff}}_{2*1}\left(w\right)\hfill & =\frac{{\text{Var}}_{M_{2*}}\left({\overline{y}}_w\right)}{{\text{Var}}_{M_1}\left(\overline{y}\right)}\hfill \\ \hfill & ={\text{eff}}_w\left(w\right){\text{eff}}_I\left(1+{\rho }_I\left[{\overline{m}}_I\left(w\right)-1\right]+{\rho }_C\left[{\overline{m}}_C\left(w\right)-1\right]+{\rho }_{IC}\left[{\overline{m}}_{IC}\left(w\right)-1\right]\right).(2.18)\hfill \end{array}$$

Comme dans le résultat 3, nous pouvons établir les bornes suivantes de ${\text{eff}}_{2*1}\left(w\right).$

Résultat 4.

$$\begin{array}{c}\frac{n}{{\rho }_I\left(n-R\right)\left(n-R+1\right)+n}{\text{eff}}_{2*0}^{*}\left({\mathbb{I}}_n\right)\le {\text{eff}}_{2*1}^{*}\left(w\right)\le {\text{eff}}_w\left(w\right)\frac{R}{R+\left(n-R\right){\rho }_I}{\text{eff}}_{2*0}^{*}\left({\mathbb{I}}_n\right).\end{array}$$

Ici ${\text{eff}}_{2*1}^{*}$ correspond au cas où $n_{qi},$ le nombre de répondants qui appartiennent à l’UPE $q^{\text{e}}$ et qui sont interviewés par l’intervieweur $i^{\text{e}},$ est une constante, c’est-à-dire $n_{qi}=n/\left(RK\right)$ pour toutes les valeurs $i\in \mathcal{R}$ et $q\in \mathcal{K}.$ Cela implique également que pour ${\text{eff}}_{2*1}$ nous ayons $n_i=n/R$ et $n_q=n/K.$ La démonstration du résultat 4 se trouve en annexe. En utilisant le modèle $\left(M_{2*}\right)$ au lieu de $\left(M_2\right),$ on obtient plus de souplesse pour ajuster le modèle de mesure aux données observées. La question de savoir si cela est nécessaire est traitée dans la section 3.2, où les différents modèles de mesure sont mis à l’essai l’un par rapport à l’autre pour les données de l’ESS6.

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