Nouveau mode d’estimation d’un modèle logistique cumulatif avec des données d’enquêtes à plans complexes
Section 3. Discussion

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S’il y a plus d’une variable explicative dans le modèle logistique cumulatif, chacune doit être testée comme $meds$ l’a été à la section précédente. Il s’agit d’ajouter une variable de classe analogue dans chaque cas. On peut effectuer un test F général pour vérifier si chaque variable de classe n’est pas significative (au niveau 0,05, disons). Une meilleure approche avec des données d’enquêtes à plans complexes consisterait à suivre Korn et Graubard (1990) et à employer le test $t$ simple ajusté de Bonferroni. Pour une signification au niveau 0,05, nous calculerons les valeurs $t$ pour chaque composante testée de chaque variable de classe ajoutée (il y en a trois au tableau 2.3), puis nous comparerons la valeur $p$ de la plus petite à 0,05/le nombre de composantes testées.

Un avantage avec l’approche sensible au plan basée sur un modèle dans l’ajustement d’un modèle logistique cumulatif simple par rapport à une approche en pseudo-maximum de vraisemblance ne ressort pas avec nos données de la NSDUH. Quand l’hypothèse du parallélisme ne se vérifie pas et qu’un modèle élargi est ajusté, la satisfaction de la première « équation » en (1.4) nous assure que

${\displaystyle {\sum }_{k\in S}{w}_k{y}_{lk}={\displaystyle {\sum }_{k\in S}{w}_k\frac{\exp \left(a_l+x_{k}b\right)}{1+{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{L-1}\exp \left(a_j+x_{k}b\right)}}}}$ pour $l=1,\dots ,L-1.(3.1)$

Quand $x_k$ même est une variable catégorique à plusieurs niveaux (une seule composante de $x_k=\left(x_{k1},\dots ,x_{kQ}\right)$ est 1 et les autres composantes sont 0), l’équation (3.1) garantit que la moyenne pondérée de $y_{lk}$ pour chaque catégorie $x$ (composante de $x_k)$ et le niveau cumulatif $l$ est égale à la valeur prédite que décrit l’équation

$${\widehat{y}}_{lk}=\exp \left(a_l+x_k^{T}b\right)/\left[1+{\displaystyle \sum _{j=1}^{L-1}\exp \left(a_j+x_k^{T}b\right)}\right],$$

ce qui a tout d’une propriété raisonnable. L’équation (1.4) est simplement une extension de la propriété à un $x_k$ plus général.

Dans l’exemple de la NSDUH, on pouvait voir, sans que la portée soit générale, qu’il était légèrement plus efficace d’utiliser l’approche sensible au plan que l’approche en pseudo-maximum de vraisemblance. C’est ce qu’on peut constater en comparant les valeurs $t$ de $meds$ (inverses des coefficients de variation estimés respectifs) aux tableaux 2.1 et 2.2. Si nous faisons abstraction des poids d’analyse, des strates et des grappes (en fixant les poids et les strates à 1 et en traitant chaque répondant comme une unité primaire d’échantillonnage), le résultat s’inverse, comme on pouvait s’y attendre. Le point à faire valoir ici est qu’une approche en pseudo-maximum de vraisemblance sur données d’enquêtes à plans complexes est véritablement « pseudo » (dans le cas qui nous occupe, c’est probablement vrai en raison de l’incidence des poids sur les estimations).

Enfin, le jeu de données que nous avons créé retranchait les observations répondantes avec des valeurs manquantes pour les variables dépendante et meds. Lorsqu’on ajuste le modèle élargi, cela n’est valide (les estimations résultantes sont asymptotiquement non biaisées dans ce cas) que si un répondant du champ d’enquête − un adolescent traité pour dépression l’année précédente − est retranché entièrement au hasard. Dans l’ajustement du modèle standard, la probabilité d’être retranché est fonction seulement du fait que l’adolescent dans l’enquête ait pris des médicaments contre la dépression l’année précédente, et de rien d’autre. On userait alors de prudence en ajoutant au modèle des variables qui ne sont jamais manquantes, même quand elles ne sont pas significatives. Si nous ajoutons des variables de classe pour l’âge, le sexe, la race-ethnicité, l’appartenance urbaine et le revenu familial (toutes font l’objet d’une imputation si elles manquent dans le cadre de la NSDUH) à notre modèle logistique cumulatif simple, aucune n’est significative au niveau 0,05. Les principaux résultats ne changent pas outre mesure (l’estimation de $\beta$ monte d’environ 0,45 à 0,50) bien que la valeur $t$ de meds soit moindre dans l’approche sensible au plan $\left(b_{meds}=\text{0,4948};t_{meds}=\text{5,49}\right)$ que dans l’approche en pseudo-maximum de vraisemblance $\left(b_{meds}=\text{0,4987};t_{meds}=\text{5,52}\right).$

Annexe

/* PML est un jeu de données pour des adolescents ayant répondu à la NSDUH dans les années d’enquête 2006 à 2010 et déclaré avoir été traités contre la dépression et avoir pris des médicaments contre cette maladie. Les variables sont les suivantes :

Y = 1, traitement extrêmement utile; Y = 2, traitement largement utile; Y = 3, traitement utile dans une certaine mesure; Y = 4, traitement un peu utile; Y = 5, traitement inutile;
meds = 1 en cas d’administration de médicaments contre la dépression, 0 dans les autres cas;
VESTR, strate de variance;
VEPSU, unité primaire d’échantillonnage de variance;
IDNUM, numéro d’identification du répondant;
ANALWT, poids d’analyse.

Ce jeu de données sert à l’estimation en pseudo-maximum de vraisemblance du modèle logistique cumulatif simple et à la création du jeu de données DS_SIMPLE, qui permet d’estimer ce même modèle logistique cumulatif simple avec une approche sensible au plan. On l’emploie pour créer le jeu de données DS_GENERAL pour une estimation sensible au plan du modèle logistique cumulatif général. */

DATA DS_SIMPLE; SET PML; BY VESTR VEPSU IDNUM;
D = 0;
C = 1; IF Y < 2 THEN D = 1; OUTPUT;
C = 2; IF Y < 3 THEN D = 1; OUTPUT;
C = 3; IF Y < 4 THEN D = 1; OUTPUT;
C = 4; IF Y < 5 THEN D = 1; OUTPUT;

DATA DS_GENERAL; SET DS_SIMPLE;
M = 4;
IF C = 1 AND MEDS = 1 THEN M = 1;
IF C = 2 AND MEDS = 1 THEN M = 2;
IF C = 3 AND MEDS = 1 THEN M = 3;

/*PROC ci-après sert à produire le tableau 2.1*/

PROC SURVEYLOGISTIC DATA = PML; CLUSTER VEPSU;
MODEL Y = MEDS;
STRATA VESTR; WEIGHT ANALWT; RUN;

/*PROC ci-après sert à produire le tableau 2.2*/

PROC SURVEYLOGISTIC DATA = DS_SIMPLE; CLASS C;
CLUSTER VEPSU;
MODEL D(EVENT = '1') = C MEDS;
STRATA VESTR; WEIGHT ANALWT; RUN;

/*PROC ci-après sert à produire les tableaux 2.3 et 2.4*/

PROC SURVEYLOGISTIC DATA =DS_GENERAL; CLASS M C;
CLUSTER VEPSU;
MODEL D(EVENT = '1') = C MEDS M;
STRATA VESTR; WEIGHT ANALWT; RUN;

Bibliographie

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Godambe, V.P., et Thompson, M.E. (1986). Parameters of superpopulation and survey population: Their relationships and estimation. Revue Internationale de Statistique, 54(2). 127-138.

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