Nouveau mode d’estimation d’un modèle logistique cumulatif avec des données d’enquêtes à plans complexes
Section 1. Introduction : Ajustement d’un modèle de régression avec des données d’enquêtes à plans complexes

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Notre propos est de présenter un nouveau mode d’estimation d’un modèle logistique cumulatif (aussi appelé modèle logistique ordinal ou modèle de régression ordinale), soit un modèle de régression avec une variable dépendante catégorique comptant plus de deux catégories ordonnées, sur des données d’enquêtes à plans complexes. Les méthodes standard d’estimation ne peuvent s’appliquer avec la plupart des logiciels « basés sur le plan » classiques, comme SAS (SAS Institute Inc., 2015), sauf si l’« hypothèse de parallélisme » se vérifie comme nous le verrons.

Ce sont Fuller (1975) pour la régression linéaire et Binder (1983) plus généralement qui ont introduit le cadre standard « fondé sur le plan » pour ajuster un modèle de régression à des données d’enquête. Un tel cadre traite la population finie comme la réalisation d’essais indépendants d’une population conceptuelle. En principe, il serait possible de calculer un estimateur de régression en maximum de vraisemblance à partir des valeurs d’une population finie. Avec le cadre Fuller/Binder, le but est d’estimer à partir de données d’enquête l’estimateur conceptuel du maximum de vraisemblance ou sa limite quand la population croît arbitrairement. C’est ce que Skinner (1989) appelle l’approche par « pseudo-maximum de vraisemblance ».

Kott (2018) décrit une nouvelle méthode basée sur un modèle pour estimer des modèles de régression avec des données d’enquêtes à plans complexes qu’on peut qualifier d’estimation par modèle robuste « sensible au plan ». À la suite de Kott (2007), nous définissons le modèle standard de cette approche de la manière suivante :

$y_k=f\left(x_k^T\beta \right)+{\epsilon }_k,$ où $E\left({\epsilon }_k|x_k\right)=0.(1.1)$

Sous un aspect très général, le modèle standard impose une restriction clé dans l’équation (1.1): $E\left({\epsilon }_k\right)=0,$ quelle que soit la valeur de $x_k.$ L’hypothèse peut ne pas se vérifier et le modèle standard pourrait ne pas convenir à la population analysée.

Dans le modèle élargi, $E\left({\epsilon }_k|x_k\right)=0$ à l’équation (1.1) est remplacé par $E\left(x_k{\epsilon }_k\right)=0.$ À la différence du modèle standard, le modèle élargi robuste plus général échoue rarement.

Avec une population indépendante et identiquement distribuée (iid) $U$ de $N$ éléments, on voit d’emblée que

$$p\lim \left\{N^{-1}{\displaystyle {\sum }_U\left[y_k-f\left(x_k^T\beta \right)\right]}{x}_k\right\}=0$$

sous le modèle élargi. Avec un échantillon complexe $S$ à poids $\left\{w_k\right\},$ dont chacun est (presque) égal à l’inverse de la probabilité de sélection de l’élément correspondant,

$$p\lim \left\{N^{-1}{\displaystyle {\sum }_S{w}_k\left[y_k-f\left(x_k^T\beta \right)\right]}{x}_k\right\}=0(1.2)$$

sous des conditions légères sur le plan de sondage. Le « presque » entre parenthèses doit être ajouté lorsque les poids comprennent des corrections pour non-réponse totale ou erreurs de couverture dans la base de sondage dont l’analyste suppose qu’on a tenu compte d’une manière asymptotiquement non biaisée. Les corrections de poids par calage à des fins d’efficacité statistique sont une autre raison d’ajouter ce « presque ».

Que l’analyste suppose que le modèle standard ou le modèle élargi vaut pour la population, résoudre pour $b$ dans l’équation d’estimation pondérée (Godambe et Thompson, 1986)

$${\displaystyle {\sum }_S{w}_k\left[y_k-f\left(x_k^{T}b\right)\right]}{x}_k=0(1.3)$$

procure un estimateur cohérent pour $\beta$ sous des conditions légères.

L’équation d’estimation en pseudo-maximum de vraisemblance dans Binder est

$${\displaystyle {\sum }_S{w}_k\frac{f^{\prime }\left(x_k^{T}b\right)}{v_k}\left[y_k-f\left(x_k^{T}b\right)\right]}{x}_k=0,$$

où $v_k=E\left({\epsilon }_k^2|x_k\right).$ Pour une régression logistique, de Poisson ou linéaire par les moindres carrés ordinaires (MCO), $f^{\prime }\left(x_k^T\beta \right)/v_k=1.$ Cette égalité pourrait néanmoins ne pas se vérifier dans le cas d’une régression linéaire par les moindres carrés généraux (MCG), et ce, même lorsque les éléments ne sont pas corrélés. Elle peut aussi ne pas tenir pour un modèle de régression logistique cumulative.

Celui-ci est un modèle de régression logistique multinomiale pour $L$ catégories dans un ordre naturel (toujours, souvent, parfois, jamais, etc.). L’appartenance à la première catégorie, à la première ou deuxième et à la première, deuxième ou troisième, etc., suivrait par hypothèse dans chaque cas un modèle logistique.

Le modèle logistique cumulatif général est (si on sépare l’ordonnée à l’origine du reste des covariables)

$E\left(y_{lk}|x_k\right)=\frac{\exp \left({\alpha }_l+x_k^T{\beta }_l\right)}{1+\exp \left({\alpha }_l+x_k^T{\beta }_l\right)}$ pour $l=1,\dots ,L-1,$

où $y_{lk}=1$ quand $k$ appartient à une des premières catégories $l$ (la valeur est 0 dans les autres cas). L’hypothèse du parallélisme est que ${\beta }_l=\beta$ pour toutes les valeurs entières de $l$ inférieures à $L,$ chacune des valeurs en question ayant sa propre ordonnées à l’origine $\left({\alpha }_l\right).$ Avec l’hypothèse du parallélisme, le modèle logistique cumulatif est souvent ce qu’on appelle un modèle à cotes proportionnelles. Nous emploierons le terme « modèle logistique cumulatif simple », bien qu’on parle couramment du modèle logistique cumulatif (ou du modèle logistique ordinal).

On peut trouver les $a_l$ et $b_l$ qui satisfont l’équation d’estimation :

${\displaystyle {\sum }_{k\in S}{w}_k\left[y_{lk}-\frac{\exp \left(a_l+x_k^T{b}_l\right)}{1+\exp \left(a_l+x_k^T{b}_l\right)}\right]}\left[\begin{array}{c}1\\ x_k\end{array}\right]=0$ pour $l=1,\dots ,L-1(1.4)$

pour estimer le modèle logistique cumulatif général. Ce n’est pas là l’équation d’estimation en pseudo-maximum de vraisemblance dans la routine surveylogistic de SAS/STAT 14.1 (An (2002, page 7) examine l’équation d’estimation en pseudo-maximum de vraisemblance multivariée ajustée par cette procédure) dans la routine logistic de SUDAAN 11 (Research Triangle Institute, 2012) ou dans la routine gologit2 de STATA (Williams, 2005) pour le modèle logistique cumulatif simple. Seule la routine de STATA permet la variation de $b_l.$

Avec $L$ catégories nominales et des données d’enquêtes à plans complexes, SAS et SUDAAN peuvent ajuster le modèle logistique multinomial général,

$E\left(y_{lk}|x_k\right)=\frac{\exp \left({\alpha }_l+x_k^T{\beta }_l\right)}{1+{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{L-1}\exp \left({\alpha }_j+x_k^T{\beta }_j\right)}}$ pour $l=1,\dots ,L-1,$

avec $y_{lk}=1,$ où $k$ est dans la $l^{\text{e}}$ catégorie, 0 sinon. Ce n’est pas là la même chose que le modèle logistique cumulatif général que ces mêmes programmes ne peuvent estimer avec des données d’enquêtes à plans complexes.

Dans la suite du texte, nous présentons un modeste exemple de modèle logistique cumulatif simple. Avec des données d’enquêtes à plans complexes, nous ajustons le modèle tant par la technique de pseudo-maximum de vraisemblance que par l’équation (1.4). Dans ce dernier cas, nous créons un jeu de données avec $L-1$ observations pour chaque répondant $k$ (à noter que $y_{1k},\dots ,y_{L-1k}$ sont dans la même unité primaire d’échantillonnage). Nous suivons Kott (2018) et appelons ce mode d’ajustement la technique « sensible au plan », bien que, strictement parlant, il soit basé sur un modèle. L’approche par pseudo-maximum de vraisemblance est également sensible aux poids de sondage et aux autres aspects du plan de sondage.

L’article teste ensuite l’hypothèse du parallélisme. Un exemple simple sera présenté à la section 2 et une discussion conclura l’article à la section 3.

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