Nouveau mode d’estimation d’un modèle logistique cumulatif avec des données d’enquêtes à plans complexes
Section 2. Un exemple simple

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La National Survey on Drug Use and Health (NSDUH) est une enquête annuelle auprès de la population civile hors établissement âgée de 12 ans et plus aux États-Unis. À l’aide des données de 2006 à 2010 de la NSDUH, nous nous attachons à une question d’enquête posée à des adolescents (de 12 à 17 ans) ayant reçu un traitement contre la dépression dans la dernière année :

Dans les 12 derniers mois, à quel point le traitement ou le counselling vous a-t-il aidé ?

Les réponses viables étaient pas du tout (l), un peu (2), dans une certaine mesure (3), beaucoup (4) et extrêmement (5).

Nous avons écarté les réponses manquantes ou non valides tant à cette question qu’à la question de savoir si le répondant avait reçu ou non un traitement contre la dépression la dernière année. Nous reviendrons sur cette pratique à la section « Discussion ».

En nous servant de SAS, nous avons estimé le modèle logistique cumulatif simple qui suit :

$E\left(y_{lk}|x_k\right)=\frac{\exp \left({\alpha }_l+med{s}_k\beta \right)}{1+\exp \left({\alpha }_l+med{s}_k\beta \right)}$ pour $l=1,\dots ,L-1,(2.1)$

où $meds=1$ quand le répondant $k$ avait des médicaments contre la dépression (la valeur est 0 dans les autres cas) avec l’approche en pseudo-maximum de vraisemblance et avec la technique sensible au plan. Dans le cas de l’estimation en pseudo-maximum de vraisemblance, nous avons inversé l’ordre des réponses avec $y_{1k}=1$ où $k$ a répondu que le traitement (ou le counselling) l’avait extrêmement aidé, avec $y_{2k}=1$ où $k$ a répondu que le traitement l’avait extrêmement ou beaucoup aidé, avec $y_{3k}=1$ où $k$ a répondu que le traitement l’avait aidé plus qu’un peu, et avec $y_{4k}=1$ où $k$ a répondu que le traitement l’avait aidé au moins un peu. Il y avait enfin $y_{5k}=1-y_{4k}=1$ où $k$ a répondu que le traitement ne l’avait pas aidé du tout. Dans SAS, cela veut dire que la variable dépendante $\text{Y}$ était égale à 1 en cas d’aide extrême, à 2 en cas d’aide importante, etc., jusqu’à 5 en cas d’aide tout à fait inefficace.

Pour la technique srensible au plan, nous avons créé quatre observations à partir de $k$ dans un nouveau jeu de données. Avec la $i^{\text{e}}$ observation notée $\text{C}=i$ dans SAS, variable (catégorique) de classe ajoutée à l’énoncé du modèle, nous avons créé une variable dépendante (D) égale à $y_{ik}$ à l’équation (2.1). Nous devions ajouter EVENT = « 1 » après D dans l’énoncé du modèle, parce que nous modélisons quand $\text{D}=1.$

Le code SAS des deux techniques d’estimation figure en annexe. Le jeu de données NSDUH que nous avons utilisé comptait 60 strates de variance avec deux unités primaires d’échantillonnage (UPE) de variance dans chacune et des poids d’analyse fondés sur les probabilités de sélection et la réponse des unités.

Nous présentons respectivement aux tableaux 2.1 et 2.2 les estimations des paramètres obtenues avec SAS avec les approches en pseudo-maximum de vraisemblance et sensible au plan. Au tableau 2.1, l’Ordonnée à l’origine  $=i$ est l’estimation en pseudo-maximum de vraisemblance de ${\alpha }_{ik}$ à l’équation (2.1). La somme de l’Ordonnée à l’origine et $\text{C}=i$ au tableau 2.2 est l’estimation sensible au plan pour ${\alpha }_{ik}$ quand $i=1,2$ ou 3. L’estimation sensible au plan pour ${\alpha }_{4k}$ est l’ordonnée à l’origine au tableau 2.2, moins la somme $\text{[C}=1]+[\text{C}=2]+[\text{C}=3].$ Enfin (et plus simplement), meds dans les deux tableaux estime $\beta \text{.}$

Dans tous les cas, les estimations d’un même paramètre sont proches dans les deux tableaux. La hausse en pourcentage de chaque niveau de satisfaction à l’égard du traitement par administration de médicaments contre la dépression (estimation pour $\beta )$ est en gros de 45 % (dans notre examen des résultats des régressions logistiques, nous traitons les différences de cotes logarithmiques comme égales aux différences en pourcentage des cotes, bien que ce ne soit qu’approximativement vrai). La quasi-égalité fait voir que l’hypothèse de parallélisme n’est pas violée par nos données NSDUH.

On peut directement vérifier l’hypothèse du parallélisme en ajoutant une variable de classe M au jeu de données sensible au plan avec :

$$\begin{array}{l}\text{M} = 1\text{ si C} = 1\text{ et }meds=1,\hfill \\ \text{M} = 2\text{ si C} = 2\text{ et} meds=1,\hfill \\ \text{M} = 3\text{ si C} = 3\text{ et} meds=1,\text{et}\hfill \\ \text{M} = 4\text{ dans les autres cas}.\hfill \end{array}$$

Si elle est ajoutée à l’énoncé du modèle dans SAS, la variable de classe M appréhende les différences d’incidence de l’administration de médicaments contre la dépression dans la dernière année sur les niveaux de satisfaction à l’égard du traitement. Ainsi, la hausse des cotes estimée en pourcentage d’une satisfaction extrême est, selon le tableau 2.3 de 0,3816 (à partir de $meds),$ plus 0,0717 (à partir de M = 1) ou de 45,33 %. Les autres hausses en pourcentage sont moindres, mais aucune n’est statistiquement différente des autres. Nous le constatons par la valeur F extrêmement faible de M au tableau 2.4. Ajoutons qu’aucune des valeurs $t$ pour un M au tableau 2.3 n’est significative même au niveau 0,5 (10 fois la valeur standard de 0,05).

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