Une note sur les intervalles de couverture de Wilson pour les proportions estimées sur des échantillons complexes
Section 4. Certaines conclusions

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L’équivalence asymptotique d’un intervalle de couverture fondé sur une transformation logistique et de l’intervalle de Wilson reposant sur la théorie constitue la principale contribution du présent article. Même si, dans le cadre asymptotique, $P\left(1-P\right)$ est fixé et positif quand $n*$ devient grand, en pratique, c’est la taille de $p\left(1-p\right)n*$ qui importe lorsque l’on compare les intervalles de type Wilson à ceux fondés sur la transformation logistique. Il faut pour cela que $P\left(1-P\right)$ ne soit pas trop petit.

Brown et coll. (2001) montrent empiriquement que, sous échantillonnage aléatoire simple (avec $n=50),$ les intervalles de couverture calculés en partant de la transformation logistique ont tendance à être plus grands que les intervalles de Wilson correspondants pour les petites valeurs de $P\left(1-P\right).$ Kott et Liu (2009) font la même constatation pour des intervalles unilatéraux fondés sur des échantillons complexes, ce qui appuie la notion qu’il s’agit d’un meilleur choix.

L’équivalence asymptotique de l’intervalle par transformation logistique et de l’intervalle de Wilson explique la supériorité empirique du premier signalée dans la littérature (par exemple, Brown et coll., 2001) comparativement à un intervalle analogue construit en utilisant une transformation arcsinus. Comme arcsin$\left(p\right)$ possède une variance constante en grand échantillon sous échantillonnage aléatoire simple, peu importe la valeur vraie de $P$ (à condition que $P\left(1-P\right)>0),$ d’aucuns espéraient que la transformation arcsinus soit un moyen idéal de construire les intervalles.

Les intervalles de couverture unilatéraux pour $P$ calculés en utilisant un développement d’Edgeworth sur $p-P$ décrits dans Kott et Liu (2009) sont meilleurs qu’un intervalle de Wilson, mais, autant que je sache, ils n’ont encore été incorporés dans aucun progiciel. Cette méthode produit l’intervalle bilatéral qui suit :

$$\begin{array}{l}p+\frac{1-2p}{\tilde{n}}\left(\frac{1}{6}+\frac{z_{1-\alpha /2}^2}{3}\right)-z_{1-\alpha /2}{\left(\mathrm{var}\left(p\right)+{\left[\frac{1-2p}{\tilde{n}}\left(\frac{1}{6}+\frac{z_{1-\alpha /2}^2}{3}\right)\right]}^2\right)}^{1/2}\text{}\le P\hfill \\ \le p+\frac{1-2p}{\tilde{n}}\left(\frac{1}{6}+\frac{z_{1-\alpha /2}^2}{3}\right)+z_{1-\alpha /2}{\left(\mathrm{var}\left(p\right)+{\left[\frac{1-2p}{\tilde{n}}\left(\frac{1}{6}+\frac{z_{1-\alpha /2}^2}{3}\right)\right]}^2\right)}^{1/2}\text{},\hfill \end{array}$$

où $\tilde{n}=\left[\left(1-2p\right)\mathrm{var}\left(p\right)\right]/\mathrm{cov}\left[\mathrm{var}\left(p\right),p\right],$ et $\mathrm{cov}\left[\mathrm{var}\left(p\right),p\right],$ un estimateur convergent de $\text{Cov}\left[\mathrm{var}\left(p\right),p\right],$ existe et est égal à un estimateur convergent du troisième moment de $p.$ Notons que $\mathrm{cov}\left[\mathrm{var}\left(p\right),p\right]$ n’existe pas pour les plans ne comportant que deux unités primaires d’échantillonnage par strate. En outre, il ne s’agit pas d’un estimateur convergent pour le troisième moment de $p$ quand il importe de faire une correction pour population finie.

Observons que $\tilde{n}$ remplace de nouveau $n*.$ De plus, $1/6+z_{1-\alpha /2}/3$ remplace $z_{1-\alpha /2}/2,$ ce qui signifie que le centre sera souvent plus proche de $p$ quand on utilise cet intervalle plutôt que celui de Wilson. Les bonnes propriétés de couverture de cet intervalle disparaissent, comme dans le cas de l’intervalle de Wilson, quand le coefficient d’asymétrie de $p\left({\text{E}\left[{\left(p-P\right)}^3\right]/\left[\text{Var}\left(p\right)\right]}^{3/2}\right)$ devient trop grand en valeur absolue, quoiqu’il faille encore déterminer le seuil de grandeur excessive.

Enfin, SAS/STAT (SAS Institute Inc., 2010) offre un intervalle de couverture de Wilson pour les proportions estimées dans sa procédure SURVEYFREQ. La méthode d’ajustement de la taille effective d’échantillon de la procédure, que l’on peut  $–$ et doit  $–$ désactiver, n’est pas reliée au $\tilde{n}$ discuté ici. Elle est plutôt fondée sur un ajustement $t$ ponctuel qui, malheureusement, n’est pas relié à la variance de la variance du dénominateur du pivot de Wilson.

Remerciements

L’auteur remercie Per Gösta Andersson de lui avoir fait découvrir ce domaine de recherche et un examinateur anonyme d’avoir corrigé les erreurs dans une version antérieure du manuscrit. Les erreurs qui persistent sont imputables à l’auteur.

Bibliographie

Brown, L.D., Cai, T. et Dasgupta, A. (2001). Interval estimation for a binomial proportion. Statistical Science, 16, 101-133.

Kott, P.S., et Carr, D.A. (1997). Developing an estimation strategy for a pesticide data program. Journal of Official Statistics, 13, 367-383.

Kott, P.S., et Liu, Y.K. (2009). One-sided coverage intervals for a proportion estimated from a stratified simple random sample. International Statistical Review/Revue Internationale de Statistique, 77, 251-265.

Kott, P.S., Andersson, P.G. et Nerman, O. (2001). Two-sided coverage intervals for small proportion based on survey data. Présenté à la Federal Committee on Statistical Methodology Research Conference, Washington, DC. http://fcsm.sites.usa.gov/files/2014/05/2001FCSM_Kott.pdf.

SAS Institute Inc. (2010). SAS/STAT^® 9.22 User’s Guide. Cary, NC: SAS Institute Inc. http://support.sas.com/documentation/cdl/en/statug/63962/HTML/default/viewer.htm#statug_surveyfreq_a0000000252.htm.

WesVar (2007). WesVar^® 4.3 Users’ Guide, B28-B29.

Wilson, E.B. (1927). Probable inference, the law of succession, and statistical inference. Journal of the American Statistical Association, 22, 209-212.

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