Une note sur les intervalles de couverture de Wilson pour les proportions estimées sur des échantillons complexes
Section 2. L’extension

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Il n’est pas difficile de généraliser les intervalles de couverture de Wilson (également appelés « intervalles de score ») à des données d’enquêtes complexes. Consulter, par exemple, Kott et Carr (1997). Comme pour l’intervalle de Wilson proprement dit, on résout simplement l’équation qui suit pour la proportion vraie $P:$

$$\frac{{\left(p-P\right)}^2}{\left[\frac{P(1-P)}{n*}\right]}\le z_{1-\alpha /2}^2,(2.1)$$

où $p$ est un estimateur convergent de $P$ sous la théorie de l’échantillonnage probabiliste, et $z_{1-\alpha /2}$ est le score $z$ normal pour $\left(1-\alpha /2\right),$ sachant que l’objectif est de produire un intervalle de couverture à $\left(1-\alpha \right)\%$ $(\alpha$ est souvent fixé à 0,05). L’élément manquant dans l’équation (2.1) est $n*,$ communément appelé « taille effective d’échantillon », qui, dans la formulation classique de Wilson, est la taille d’échantillon $n.$ Dans notre contexte plus général, $n*=p\left(1-p\right)/\mathrm{var}\left(p\right),$ où $\mathrm{var}\left(p\right)$ est un estimateur convergent de la variance de $p,\text{Var}\left(p\right).$

Afin de calculer $n*,$ il faut que les termes $p\left(1-p\right)$ et $\text{var}\left(p\right)$ soient tous deux positifs. En outre, supposons que $1/n*=O_P\left(1/n^a\right)$ pour une certaine valeur positive $a\le 1,$ $p-P=O_P\left(1/\sqrt{n*}\right),$ $0<\text{Var}\left(p\right)=O\left(1/n*\right),$ et $\mathrm{var}\left(p\right)/\text{Var}\left(p\right)$ est d’ordre $1+O_P\left(1/\sqrt{n*}\right).$ Notons que les trois dernières contraintes sont toujours vérifiées sous échantillonnage aléatoire simple avec remise à condition que $P\left(1-P\right)\ge B>0.$

En laissant tomber les termes $O_P\left(1/{\left[n*\right]}^{3/2}\right),$ mais en permettant que $p\left(1-p\right)$ soit petit (effectivement $o_p(1)),$ on peut calculer cet intervalle de type Wilson pour $P$ en partant de l’équation (2.1):

$$\begin{array}{l}p+\frac{1-2p}{n*}\frac{z_{1-\alpha /2}^2}{2}-z_{1-\alpha /2}{\left(\frac{p\left(1-p\right)}{n*}+\frac{z_{1-\alpha /2}^2}{4{\left(n*\right)}^2}\right)}^{1/2}\le P\hfill \\ \le p+\frac{1-2p}{n*}\frac{z_{1-\alpha /2}^2}{2}+z_{1-\alpha /2}{\left(\frac{p\left(1-p\right)}{n*}+\frac{z_{1-\alpha /2}^2}{4{\left(n*\right)}^2}\right)}^{1/2}.(2.2)\hfill \end{array}$$

Nous pouvons l’appeler « intervalle de couverture de Wilson sous échantillonnage complexe ». WesVar (2007) calcule une variante de cet intervalle en n’écartant pas les termes $O_P\left({1/\left[n*\right]}^{3/2}\right).$ Ils le sont ici parce que d’autres termes de cette taille seront abandonnés plus loin dans la présente note.

S’il est raisonnable de laisser tomber les termes $O_P\left({1/\left[n*\right]}^{3/2}\right)$ pour obtenir l’équation (2.2), on peut également ignorer sans risque la différence entre $1/n$ et $1/\left(n-1\right).$ Sous échantillonnage aléatoire simple sans remise, $n*=n/\left(1-f\right)\left(\text{ou}\left(n-1\right)/\left(1-f\right)\right)$ où $f$ est la fraction d’échantillonnage. Quand $f$ est très petite, on peut omettre la distinction entre l’échantillonnage avec et sans remise.

Observons que, sous échantillonnage aléatoire simple avec remise, le dénominateur du pivot qui figure dans le premier membre de l’équation (2.1) n’a pas de variance du tout. En revanche, le dénominateur du pivot de Wald classique, $\mathrm{var}\left(p\right)=p\left(1-p\right)/\left(n-1\right),$ peut avoir une variance considérable, surtout quand $p$ ou $1-p$ est petit. C’est la raison pour laquelle les intervalles de Wilson donnent de meilleurs résultats sous échantillonnage aléatoire simple, avec ou sans remise.

Cette supériorité s’observe aussi dans le cas de l’échantillonnage complexe (voir, par exemple, Kott, Andersson et Nerman, 2001), où le dénominateur du pivot est

$$\begin{array}{ll}\frac{P\left(1-P\right)}{n*}=\text{var}\left(p\right)\frac{P\left(1-P\right)}{p\left(1-p\right)}\hfill & =\text{var}\left(p\right)\left[1-\frac{\left(p-P\right)-\left(p^2-P^2\right)}{p\left(1-p\right)}\right]\hfill \\ \hfill & =\text{var}\left(p\right)\left[1-\frac{\left(p-P\right)-\left(p-P\right)\left(p+P\right)}{p\left(1-p\right)}\right]\hfill \\ \hfill & =\text{var}\left(p\right)-\frac{1-2P}{n*}\left(p-P\right)+{\text{O}}_P\left(1/{\left[n*\right]}^2\right),\hfill \end{array}$$

dont la variance sera vraisemblablement plus faible que $\mathrm{var}\left(p\right)$ dans la plupart des applications. Pour comprendre intuitivement pourquoi il en est ainsi, observons qu’un estimateur de variance putatif de la forme ${\mathrm{var}}_1\left(p\right)=\mathrm{var}\left(p\right)-b\left(p-P\right)$ est minimisé quand $b=\text{Cov}\left[\mathrm{var}\left(p\right),p\right]/\text{Var}\left(p\right).$ Sous échantillonnage aléatoire simple, avec ou sans remise, $b$ est exactement $\left(1-2P\right)/n*\text{}.$

Bien que le $b$ minimisant ne soit pas exactement égal à $\left(1-2P\right)/n*\text{},$ sous des plans d’échantillonnage plus complexes, le $b$ optimal est vraisemblablement plus proche de $\left(1-2P\right)/n*$ que de 0. Il n’est donc pas étonnant que la variance de $\mathrm{var}\left(p\right)-\left[\left(1-2P\right)/n*\right]\left(p-P\right)$ soit habituellement plus petite que la variance de $\mathrm{var}\left(p\right).$ Néanmoins, l’intervalle de couverture de Wilson sous échantillonnage complexe peut être amélioré légèrement en remplaçant $n*$ dans l’équation (2.2) par

$$\tilde{n}=\left[\left(1-2p\right)\mathrm{var}\left(p\right)\right]/\mathrm{cov}\left[\mathrm{var}\left(p\right),p\right]$$

quand $\mathrm{cov}\left[\mathrm{var}\left(p\right),p\right],$ un estimateur convergent de $\text{Cov}\left[\mathrm{var}\left(p\right),p\right],$ existe (voir Kott et coll., 2001).

Comme dans le cas de l’intervalle de Wilson classique, le centre de l’intervalle de Wilson sous échantillonnage complexe dans l’équation (2.2) diffère légèrement de $p$ quand $p$ n’est pas égal à $\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.:$

$$C=p+\frac{1-2p}{n*}\frac{z_{1-\alpha /2}}{2}.$$

Sa longueur $L$ semble être plus grande que celle de l’intervalle de Wald :

$$L=z_{1-\alpha /2}{\left(\frac{p\left(1-p\right)}{n*}+\frac{z_{1-\alpha /2}^2}{4{\left(n*\right)}^2}\right)}^{1/2}>z_{1-\alpha /2}{\left(\frac{p\left(1-p\right)}{n*}\right)}^{1/2}\text{}.$$

Quand $P\left(1-P\right)\ge B>0,$ cependant,

$$\begin{array}{ll}{\left(\frac{p\left(1-p\right)}{n*}+\frac{z_{1-\alpha /2}^2}{4{\left(n*\right)}^2}\right)}^{1/2}\hfill & ={\left(\frac{p\left(1-p\right)}{n*}\right)}^{1/2}{\left(1+\frac{\frac{1}{4}{z}_{1-\alpha /2}^2}{n*p\left(1-p\right)}\right)}^{1/2}\hfill \\ \hfill & ={\left(\frac{p\left(1-p\right)}{n*}\right)}^{1/2}+{\text{o}}_p\left(\frac{1}{n*}\right).(2.3)\hfill \end{array}$$

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