Répartition de l’échantillon pour une estimation efficace sur petits domaines par modélisation
Section 4. Comparaison du rendement des modes de répartition

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Dans la présente section, nous examinons le rendement des méthodes de répartition présentées aux sections 2 et 3. Les paramètres estimés sont les totaux de domaine et de population de la variable étudiée $y.$ La taille d’échantillon globale est $n=112.$ À la section 4.1, nous décrivons les données de recherche et, à la section 4.3, les expériences de simulation et les comparaisons de méthodes de répartition.

4.1 Données empiriques

Nos données de recherche viennent d’un registre finnois national de logements d’immeubles d’appartements en vente. Ce registre est tenu par une société privée, Alma Mediapartners Ltd, dont les clients sont des agences immobilières. Toute l’information nécessaire sur les appartements est sauvegardée dans ce registre dès qu’un mandat est reçu des propriétaires. La population que nous avons utilisée comprend 9 815 appartements (ce sont nos unités d’échantillonnage) en vente figurant au registre. Au total, 14 districts finlandais, surtout des villes, y sont représentés au printemps de 2011. Les tailles du domaine le plus petit et du plus grand étaient respectivement de 112 et 1 333. La variable étudiée $\left(y\right)$ mesure le prix de l’appartement (1 000  $€$ ) et la variable auxiliaire $\left(x\right),$ la taille $\left({\text{m}}^2\right).$ Le tableau 4.1 présente les tailles de domaine $\left(N_d\right)$ et les statistiques sommaires de population (totaux, moyennes, écarts-types et coefficients de variation) pour $y$ et $x,$ ainsi que les valeurs de corrélation entre $x$ et $y.$ Les caractéristiques des domaines varient amplement. Le domaine le plus divergent est Helsinki.

La mesure ajustée d’homogénéité de la variable auxiliaire $x$ est $R_{ax}^2=\text{0,231,}$ ce qui indique une variabilité plutôt marquée entre les domaines.

4.2 Modes de répartition

En général, la taille d’échantillon globale dépend des délais et des ressources financières dont on dispose dans un projet de recherche. Cet aspect n’est pas pris en compte dans la présente étude, la question étant celle d’une étude expérimentale. Le taux d’échantillonnage a été déterminé par $f\left(\%\right)=100\times \left(112/\text{9}\text{815}\right)=\text{1,14}\%.$ Nous avons dégagé les valeurs de répartition par méthode selon les formules présentées aux tableaux 2.1 et 3.1. Nous avons tenu compte de certains détails. Dans la répartition de Bankier, la valeur d’une constante de cadrage $q$ est de 0,5. Dans la répartition PNL, les limites choisies de CV sont de 0,1258 (12,58 %) pour les domaines et de 0,0375 (3,75 %) pour la population, ce qui donne une taille d’échantillon globale de 112. Nous appliquons la procédure d’Excel Solver avec l’option de programmation non linéaire pour résoudre le problème de répartition PNL. Nous recourons à une répartition proportionnelle modifiée pour obtenir une taille d’échantillon de domaine d’au moins deux. Nous attribuons d’abord une unité à chaque domaine, puis le reste (98 unités) par répartition proportionnelle. Nous remplaçons $y$ par $x$ dans chaque répartition fondée sur des paramètres. Dans les répartitions assistées d’un modèle, nous fixons la valeur de $q$ à l’unité et la quantité $G,$ à zéro ou à 50. Les tailles d’échantillon finales figurent au tableau 4.2 pour les diverses répartitions. La variation des tailles d’échantillon au niveau du domaine est très forte entre les modes de répartition.

4.3 Comparaison du rendement des modes de répartition

Dans la présente section, nous présentons les résultats selon les expériences de simulation de conception. Pour chaque méthode, nous avons mis en simulation 1 500 échantillons stratifiés indépendants EASSR dans le programme SAS et procédé aux calculs nécessaires à partir des échantillons simulés dans le programme SPSS (pour Statistical Package for the Social Sciences). Nous avons soumis à une estimation EBLUP fondée sur un modèle les échantillons de chaque répartition. À des fins de comparaison des modes de répartition, nous avons calculé deux mesures de qualité en pourcentage, à savoir la REQMR et le BRA % dans chaque cas.

Nous supposons que $r$ échantillons simulés sont tirés dans chaque répartition. Soit ${\widehat{Y}}_{di,\text{EBLUP}}$ l’estimation EBLUP du total de domaine $Y_d$ dans le $i^{\text{e}}$ échantillon $\left(i=1,\dots ,r\right).$ La REQMR et le BRA en pourcentage se définissent ainsi :

$$\begin{array}{ll}{\text{REQMR}}_d\%\hfill & =100\times \sqrt{1/r{\displaystyle {\sum }_{i=1}^r{\left({\widehat{Y}}_{di,\text{EBLUP}}-Y_d\right)}^2}}/Y_d,\hfill \\ {\text{BRA}}_d\text{\%}\hfill & =\text{100}\times \left|1/D{\displaystyle {\sum }_{i=1}^r\left({\widehat{Y}}_{di,\text{EBLUP}}/Y_d-1\right)}\right|,\hfill \end{array}$$

Les moyennes sur les domaines se calculent de la manière suivante :

$$\text{REQMRM}\%=1/D{\displaystyle {\sum }_{d=1}^D{\text{REQMR}}_d\%}\text{et}\text{BRAM}\%=1/D{\displaystyle {\sum }_{d=1}^D{\text{BRA}}_d\%}.$$

L’estimation du total de population dans le $i^{\text{e}}$ échantillon simulé $\left(i=1,\dots ,r\right)$ est la somme des estimations des totaux de domaine : ${\widehat{Y}}_{i,\text{EBLUP}}={\displaystyle {\sum }_{d=1}^D{\widehat{Y}}_{di,\text{EBLUP}}}.$ La REQMR en pourcentage du total de population se calcule ainsi :

$${\text{REQMR}}_{\text{pop}}\%=100\times \sqrt{1/r{\displaystyle {\sum }_{i=1}^r{\left({\widehat{Y}}_{i,\text{EBLUP}}-Y\right)}^2}}/Y,$$

où $Y$ est la valeur vraie du total de population pour laquelle le BRA en pourcentage se calcule comme

$${\text{BRA}}_{\text{pop}}\%=100\times \left|1/r{\displaystyle {\sum }_{i=1}^r\left({\widehat{Y}}_{i,\text{EBLUP}}/Y-1\right)}\right|.$$

Les tableaux 4.3 et 4.4 présentent les valeurs REQMR et BRA en pourcentage des domaines, leurs moyennes sur les domaines et les REQMR et les BRA de population pour chaque mode de répartition. L’évaluation des résultats est à deux arguments, à savoir la valeur moyenne de la mesure de qualité pour le niveau du domaine et la valeur de la mesure de qualité pour le niveau de la population.

Nous avons obtenu en pourcentage le REQMR moyen le plus bas (15,65 %) pour le mode de répartition $g\text{1}$ conçu pour la présente étude. Helsinki faisait exception au niveau du domaine parce que sa REQMR en pourcentage était nettement plus élevée dans cette répartition que dans les répartitions assistées d’un modèle et fondées sur des paramètres. Les répartitions égale et proportionnelle donnaient aussi de bons résultats au niveau du domaine avec des valeurs moyennes 16,48 % et 16,52 %. Nous avons obtenu la moyenne la plus élevée pour les répartitions MC assistées d’un modèle. Au niveau de la population, nous avons dégagé la valeur la plus basse de la mesure de qualité pour la répartition MCG50 assistée d’un modèle (5,88 %) et la deuxième la plus basse pour la répartition de Bankier (5,89 %), mais les différences étaient généralement légères entre les répartitions à ce niveau.

La répartition $g\text{1}$ était la seule pour laquelle le biais relatif absolu était de moins de 10 % dans chaque domaine. Ce biais était pratiquement nul au niveau de la population. De plus, les répartitions égale et proportionnelle présentaient de faibles biais au double niveau du domaine et de la population, mais les répartitions assistées d’un modèle et fondées sur des paramètres étaient d’un rendement nettement inférieur. Un détail intéressant dans le cas de la répartition $g\text{1}$ est que la précision des estimations de domaine est plutôt bonne et que le biais relatif est bas également dans le cas de deux domaines avec taille d’échantillon nulle. Un trait commun à ces domaines est que les moyennes des variables $y$ et $x$ sont proches des moyennes de population correspondantes. En tout cas, il est essentiel que l’estimation fondée sur un modèle puisse produire des estimations fiables pour les domaines sans représentation dans l’échantillon aléatoire.

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