Répartition de l’échantillon pour une estimation efficace sur petits domaines par modélisation
Section 2. Répartitions par modélisation

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2.1 Choix du modèle

Pfeffermann (2013) présente une grande variété de modèles et de méthodes pour l’estimation de petits domaines. Notre modèle constitue l’un de cette collection, soit un modèle mixte au niveau de l’unité.

$$y_{dk}=x_{dk}^{{}^{\prime }}\beta +v_d+e_{dk};k=1,\dots ,N_d;d=1,\dots ,D,(2.1)$$

où les $v_d$ sont des effets aléatoires de domaine à moyenne zéro et à variance ${\sigma }_v^2$ et où les $e_{dk}$ sont des effets aléatoires à moyenne zéro et à variance ${\sigma }_e^2.$ De plus, $E\left(y_{dk}\right)=x_{dk}^{{}^{\prime }}\beta$ et $V\left(y_{dk}\right)={\sigma }_v^2+{\sigma }_e^2$ (variance totale). La matrice $V$ est une matrice des variances-covariances de la variable étudiée $y.$ Le modèle peut être employé quand on dispose de valeurs au niveau de l’unité pour les variables auxiliaires $x.$ Dans notre étude, nous utilisons une seule variable auxiliaire.

Il nous faut deux mesures importantes pour réaliser un de ces types de répartition, soit la corrélation intradomaine commune $\rho$ et le rapport $\delta$ entre les composantes de la variance. Le tout se définit ainsi :

$$\rho ={\sigma }_v^2/\left({\sigma }_v^2+{\sigma }_e^2\right)\text{et}\delta ={\sigma }_e^2/{\sigma }_v^2=1/\rho -1.(2.2)$$

Avant d’estimer les paramètres de domaine, nous devons estimer les composantes de la variance, les coefficients de régression et les effets de domaine à partir des données de l’échantillon. Nous obtenons l’estimateur BLUE (pour Best Linear Unbiased Estimator) de $\beta ,$ noté $\tilde{\beta },$ selon la théorie du modèle linéaire généralisé, et nous le remplaçons par sa contrepartie EBLUP (meilleur prédicteur linéaire sans biais empirique) $\widehat{\beta }.$

L’estimation EBLUP (valeur prévue) du total de domaine $Y_d$ de la variable étudiée est la somme des valeurs $y$ observées et des valeurs $y$ estimées pour les unités hors échantillon :

$${\widehat{Y}}_{d,\text{Eblup}}={\displaystyle \sum _{k\in s_d}{y}_{dk}}+{\displaystyle \sum _{k\in {\overline{s}}_d}{\widehat{y}}_{dk}=}{\displaystyle \sum _{k\in s_d}{y}_{dk}}+{\displaystyle \sum _{k\in {\overline{s}}_d}{x}_{dk}^{{}^{\prime }}\widehat{\beta }}+\left(N_d-n_d\right){\widehat{v}}_d.(2.3)$$

Nous utilisons l’approximation de Prasad-Rao (voir Rao 2003) de l’erreur quadratique moyenne (EQM) pour des populations finies :

$$\text{eqm}\left({\widehat{Y}}_{d,\text{Eblup}}\right)=g_{1d}\left({\widehat{\sigma }}_v^2,{\widehat{\sigma }}_e^2\right)+g_{2d}\left({\widehat{\sigma }}_v^2,{\widehat{\sigma }}_e^2\right)+2g_{3d}\left({\widehat{\sigma }}_v^2,{\widehat{\sigma }}_e^2\right)+g_{4d}\left({\widehat{\sigma }}_v^2,{\widehat{\sigma }}_e^2\right),(2.4)$$

où les quatre composantes $g_{1d},$ $g_{2d},$ $g_{3d}$ et $g_{4d}$ se définissent de la manière suivante :

$$\begin{array}{ll}{g}_{1d}\left({\widehat{\sigma }}_v^2,{\widehat{\sigma }}_e^2\right)\hfill & ={\left(N_d-n_d^{*}\right)}^2\left(1-{\widehat{\gamma }}_d\right){\widehat{\sigma }}_v^2,\hfill \\ g_{2d}\left({\widehat{\sigma }}_v^2,{\widehat{\sigma }}_e^2\right)\hfill & ={\left(N_d-n_d^{*}\right)}^2{\left({\overline{x}}_d^{*}-{\widehat{\gamma }}_d{\overline{x}}_d\right)}^{\prime }{\left(X^{\prime }{V}^{-1}X\right)}^{-1}\left({\overline{x}}_d^{*}-{\widehat{\gamma }}_d{\overline{x}}_d\right),\hfill \\ g_{3d}\left({\widehat{\sigma }}_v^2,{\widehat{\sigma }}_e^2\right)\hfill & ={\left(N_d-n_d^{*}\right)}^2{\left(n_d^{*}\right)}^{-2}{\left({\widehat{\sigma }}_v^2+{\widehat{\sigma }}_e^2{\left(n_d^{*}\right)}^{-1}\right)}^{-3}[{\widehat{\sigma }}_e^{4}V\left({\widehat{\sigma }}_v^2\right)\hfill \\ \hfill & +{\widehat{\sigma }}_v^{4}V\left({\widehat{\sigma }}_e^2\right)-2{\widehat{\sigma }}_e^2{\widehat{\sigma }}_v^2\text{Cov}\left({\widehat{\sigma }}_e^2,{\widehat{\sigma }}_v^2\right)],\hfill \\ g_{4d}\left({\widehat{\sigma }}_v^2,{\widehat{\sigma }}_e^2\right)\hfill & =\left(N_d-n_d^{*}\right){\widehat{\sigma }}_e^2.(2.5)\hfill \end{array}$$

Les tailles d’échantillon de domaine $n_d^{*}$ dépendent de l’échantillon et ne sont pas fixes. La composante $g_{1d}$ contient le rapport spécifique de domaine ${\widehat{\gamma }}_d={\widehat{\sigma }}_v^2/\left({\widehat{\sigma }}_v^2+{\widehat{\sigma }}_e^2/n_d^{*}\right).$ D’après Nissinen (2009, page 53), la composante $g_{1d}$ (que nous appellerons simplement $g\text{1})$ contribue généralement pour plus de 90 % à l’EQM estimée. Elle représente l’incertitude quant à la variation entre les domaines. Bien sûr, la variation doit être assez ample pour que la proportion soit forte pour $g\text{1}\text{.}$

Malheureusement, le choix d’une solution analytique, où on minimise la somme des EQM sur les domaines sous réserve de $n={\displaystyle {\sum }_{d=1}^D{n}_d},$ est difficile et longue à réaliser, puisque les composantes de l’approximation de l’EQM (2.5) comprennent l’information inconnue de l’échantillon et que certaines composantes consistent en un traitement sur matrice complexe et en des opérations sur variances-covariances. Nous avons examiné ce problème de répartition pour la première fois dans une étude expérimentale (Keto et Pahkinen 2009). Nous avons élaboré un mode de répartition reposant seulement sur la composante $g\text{1}$ et la variable auxiliaire $x.$ Cette solution se justifie parce que $x$ et $y$ sont en corrélation et que la variation interdomaine dans $x$ est transférée à $y.$

2.2 Répartition g1 fondée sur un modèle

La répartition $g\text{1}$ se fait au moyen de la variable auxiliaire $x$ et le coefficient ajusté d’homogénéité (Keto et Pahkinen 2014). Ce coefficient est une approximation d’une corrélation intraclasse (CIC) connue dans l’échantillonnage en grappes. Dans le présent cas, nous considérons un domaine comme une grappe. D’abord, nous faisons une analyse de variance classique (ANOVA) entre domaines, ce qui nous amène à calculer une mesure ajustée d’homogénéité de la variation entre domaines :

$$R_{ax}^2=1-R^2\left(x\right)=1-\text{CMI}/S_x^2,(2.6)$$

où $R^2\left(x\right)$ est le coefficient de détermination de l’analyse de régression, où CMI (carré moyen intragroupe) est la moyenne de la somme des carrés pour les domaines et où $S_x^2$ est la variance de la variable auxiliaire  $x.$

Comme l’EQM du total de domaine est complexe, nous employons seulement la composante $g\text{1}$ en (2.4) et (2.5), pour la raison mentionnée à la section 2.1. Nous recherchons le minimum pour la somme des $g\text{1}$ sur les domaines :

$${\displaystyle \sum _{d=1}^D{g}_{1d}\left({\sigma }_v^2,{\sigma }_e^2\right)=}{\displaystyle \sum _{d=1}^D{\left(N_d-n_d\right)}^2{\left(n_d/{\sigma }_e^2+1/{\sigma }_v^2\right)}^{-1}}(2.7)$$

sous réserve de $n={\displaystyle {\sum }_{d=1}^D{n}_d}.$

Nous prenons la méthode des multiplicateurs de Lagrange pour dégager la solution. Nous définissons donc la fonction $F$ des tailles d’échantillon $n^{\prime }=\left(n_1,n_2,\dots ,n_D\right)$ et de $\lambda :$

$$F\left(n,\lambda \right)={\displaystyle \sum _{d=1}^D{g}_{1d}\left({\sigma }_v^2,{\sigma }_e^2\right)={\displaystyle \sum _{d=1}^D{\left(N_d-n_d\right)}^2{\left(n_d/{\sigma }_e^2+1/{\sigma }_v^2\right)}^{-1}}}+\lambda \left({\displaystyle \sum _{d=1}^D{n}_d-n}\right).(2.8)$$

Nous fixons à zéro la dérivée de $F$ par rapport à la taille d’échantillon de domaine $n_d$ et résolvons pour $n_d.$ Voici la formule qui s’applique à la taille d’échantillon de domaine $n_d^{g1}:$

$$n_d^{g1}=\frac{\left(N_d+\delta \right)\left(n+\delta D\right)}{N+\delta D}-\delta =\frac{N_{d}n-\left(N-N_{d}D-n\right)\left(1/\rho -1\right)}{N+D\left(1/\rho -1\right)},(2.9)$$

où le rapport $\delta$ et la corrélation intradomaine $\rho$ sont définis en (2.2). Le seul membre inconnu en (2.9) est la corrélation intradomaine $\rho .$ Nous remplaçons donc $\rho$ par la mesure d’homogénéité connue (2.6) de la variable auxiliaire $x.$ Voici la forme que prend finalement l’expression dans le calcul des tailles d’échantillon de domaine :

$$n_d^{g1}=\frac{N_{d}n-\left(N-N_{d}D-n\right)\left(1/R_{ax}^2-1\right)}{N+D\left(1/R_{ax}^2-1\right)}.(2.10)$$

Il est facile de démontrer que ${\displaystyle {\sum }_{d=1}^D{n}_d^{g1}=n}.$ Les tailles d’échantillon calculées sont arrondies à l’entier le plus proche. Parfois, des compromis sont inévitables. De l’examen de (2.10), nous pouvons conclure que la taille d’échantillon augmente avec la taille de domaine $N_d,$ mais non proportionnellement. Dans certains cas comme lorsque le coefficient d’homogénéité, la taille d’échantillon globale $n$ ou la taille de domaine $N_d$ est faible, le calcul peut donner une valeur négative de taille d’échantillon de domaine $n_d^{g1}.$ Nous remplaçons alors la valeur négative par une valeur nulle. Un cas d’espèce se présente si la variation totale intervient seulement entre les domaines, auquel cas la mesure d’homogénéité (2.6) se ramène à l’unité et (2.10), à la répartition proportionnelle.

2.3 Répartition MC assistée d’un modèle

Molefe et Clark (2015) ont utilisé l’estimateur composite suivant de la moyenne de la variable étudiée $y$ pour le domaine $d:$

$${\tilde{y}}_d^C=\left(1-{\phi }_d\right){\overline{y}}_{dr}+{\phi }_d{\widehat{\beta }}^{\prime }{\overline{X}}_d.(2.11)$$

Cet estimateur en combine deux, à savoir l’estimateur synthétique ${\widehat{\overline{Y}}}_{d\left(\text{syn}\right)}={\widehat{\beta }}^{\prime }{\overline{X}}_d,$ où $\widehat{\beta }$ est le coefficient de régression estimé et ${\overline{X}}_d,$ la moyenne de population de domaines des variables auxiliaires $x,$ et l’estimateur direct ${\overline{y}}_{dr}={\overline{y}}_d+{\widehat{\beta }}^{\prime }\left({\overline{x}}_d-{\overline{X}}_d\right),$ où ${\overline{y}}_d$ et ${\overline{x}}_d$ sont les moyennes d’échantillon de domaines $d$ pour $y$ et $x.$ Nous employons une seule variable auxiliaire dans notre étude. Les coefficients ${\phi }_d$ visent à minimiser l’EQM de l’estimateur (2.11). L’EQM approchée basée sur le plan pour l’estimateur dans certaines conditions et hypothèses est donnée par l’expression

$${\text{EQM}}_p\left({\tilde{y}}_d^C;{\overline{Y}}_d\right)\approx {\left(1-{\phi }_d\right)}^2{v}_{d\left(\text{syn}\right)}+{\phi }_d^2{B}_d^2,(2.12)$$

où $v_{d\left(\text{syn}\right)}$ est la variance d’échantillonnage de l’estimateur synthétique ${\widehat{\overline{Y}}}_{d\left(\text{syn}\right)}$ et où $B_d={\beta }_U^{{}^{\prime }}{\overline{X}}_d-{\overline{Y}}_d$ est le biais lorsque ${\widehat{\overline{Y}}}_{d\left(\text{syn}\right)}$ sert à estimer ${\overline{Y}}_d,$ ${\beta }_U$ désignant l’espérance approchée basée sur le plan de $\widehat{\beta }.$

La population contient $N$ unités et $D$ strates définies comme domaines, et on emploie un échantillonnage stratifié. Nous prélevons un échantillon aléatoire EASSR (Échantillonnage aléatoire simple sans remise) de $n_d$ unités dans la strate $d\left(d=1,\dots ,D\right)$ contenant $N_d$ unités. La taille relative de domaine $d$ est $P_d=N_d/N.$

Nous posons un modèle linéaire $\xi$ à deux niveaux conditionnel aux valeurs de $x$ avec des effets aléatoires de strate sans corrélation $u_d$ et des effets aléatoires ${\epsilon }_i:$

$$\begin{array}{ll}{y}_i\hfill & ={\beta }^{\prime }{x}_i+u_d+{\epsilon }_i\hfill \\ E_{\xi }\left(u_d\right)\hfill & =E_{\xi }\left({\epsilon }_i\right)=0\hfill \\ V_{\xi }\left(u_d\right)\hfill & ={\sigma }_{ud}^2\hfill \\ V_{\xi }\left({\epsilon }_i\right)\hfill & ={\sigma }_{ed}^2\hfill \end{array}\},(2.13)$$

où $i$ renvoie à toutes les unités de la strate $d.$ Ce modèle implique que $V_{\xi }\left(y_i\right)={\sigma }_{ud}^2+{\sigma }_{ed}^2$ pour toutes les unités de population et que ${\mathrm{cov}}_{\xi }\left(y_i,y_j\right)$ est égal à ${\rho }_d{\sigma }_d^2$ pour les unités $i\ne j$ dans la même strate et à zéro pour les unités d’autres strates, où ${\rho }_d={\sigma }_{ud}^2/\left({\sigma }_{ud}^2+{\sigma }_{ed}^2\right).$ Nous définissons une hypothèse simplifiée selon laquelle il y a égalité ${\rho }_d=\rho$ pour toutes les strates.

Après avoir posé un certain nombre d’autres hypothèses de simplification et calculé le poids optimal ${\phi }_d$ en (2.12), nous dégageons par anticipation l’EQM approchée optimale finale ou procédons avec modèle :

$${\text{EQMA}}_d=E_{\xi }{\text{EQM}}_p\left({\tilde{y}}_d^C\left[{\phi }_{d\left(\text{opt}\right)}\right];{\overline{Y}}_d\right)\approx {\sigma }_d^2\rho \left(1-\rho \right){\left[1+\left(n_d-1\right)\rho \right]}^{-1}.(2.14)$$

Ensuite, nous définissons et élaborons le critère $F$ en formule approchée finale à l’aide des EQM par anticipation des estimateurs de la moyenne de petit domaine et de la moyenne globale pour la répartition fondée sur un modèle :

$$\begin{array}{ll}F\hfill & ={\displaystyle \sum _{d=1}^D{N}_d^q}{\text{EQMA}}_d+G{N}_{+}^{\left(q\right)}{E}_{\xi }{\mathrm{var}}_p\left({\widehat{\overline{Y}}}_r\right)\hfill \\ \hfill & \approx {\displaystyle \sum _{d=1}^D{N}_d^q{\sigma }_d^2\rho \left(1-\rho \right){\left[1+\left(n_d-1\right)\rho \right]}^{-1}}+G{N}_{+}^{\left(q\right)}{\displaystyle \sum _{d=1}^D{\sigma }_d^2{P}_d^2{n}_d^{-1}\left(1-\rho \right).}(2.15)\hfill \end{array}$$

Nous obtenons des tailles d’échantillon optimales pour les domaines en minimisant (2.15) sous réserve de ${\displaystyle {\sum }_d{n}_d=n}.$ L’expression (2.15) suit l’idée de Longford (2006). Le poids $N_d^q$ traduit la priorité inférentielle (importance) du domaine $d$ avec $0\le q\le 2,$ et $N_{+}^{\left(q\right)}={\displaystyle {\sum }_{d=1}^D{N}_d^q}.$ La quantité $G$ est un coefficient de priorité relative au niveau de la population. Si nous excluons comme but l’estimation de la moyenne de population, nous avons $G=0,$ et l’attention se porte alors seulement sur l’estimation au niveau du domaine. Par ailleurs, plus la valeur de $G$ augmente, plus la deuxième composante en (2.15) domine et plus l’estimation au niveau du domaine est écartée.

Nous supposons d’abord que l’estimation de population n’est pas prioritaire $\left(G=0\right)$ et que le coût d’enquête par unité est fixe. Dans ce cas, la minimisation de (2.15) par rapport à $n_d$ a une solution unique

$$n_{d\text{},\text{opt}}=\frac{n\sqrt{{\sigma }_d^2{N}_d^q}}{{\displaystyle {\sum }_{d=1}^D\sqrt{{\sigma }_d^2{N}_d^q}}}+\frac{1-\rho }{\rho }\left(\frac{\sqrt{{\sigma }_d^2{N}_d^q}}{D^{-1}{\displaystyle {\sum }_{d=1}^D\sqrt{{\sigma }_d^2{N}_d^q}}}-1\right).(2.16)$$

La formule (2.16) contient deux paramètres inconnus, à savoir la corrélation intraclasse $\rho$ et la variance spécifique de domaine ${\sigma }_d^2.$ Nous remplaçons $\rho$ par un coefficient ajusté d’homogénéité de la variable auxiliaire $x.$ Ce coefficient approche la valeur CIC de corrélation intraclasse (section 2.2). Nous substituons au paramètre ${\sigma }_d^2$ la variance de $x$ dans le domaine $d.$ Si nous optons pour ce double remplacement, c’est que $y$ est en corrélation avec $x.$ Si en plus l’estimation de population est prioritaire $\left(G>0\right),$ (2.16) ne s’applique pas et $F$ doit être minimisé numériquement par la méthode PNL, comme nous l’avons fait (Excel Solver, option PNL), par exemple.

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