Inférence bayésienne pour un modèle des composantes de la variance fondée sur la vraisemblance composite par paire à partir des données d’enquête
Section 1. Introduction

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Les plans d’échantillonnage à plusieurs degrés sont utilisés dans de nombreuses enquêtes menées à l’échelle de la population. De plus en plus, des modèles multiniveaux sont utilisés pour faire des inférences lorsque les données sont obtenues à partir d’une enquête à plusieurs degrés.

Dans le but d’améliorer ces inférences, Rao, Verret et Hidiroglou (2013) ont proposé d’utiliser une approche fondée sur le logarithme du rapport de vraisemblance composite par paire pondéré. Il existe une abondante litérature sur les vraisemblances composites : voir les articles de Varin (2008), de Varin, Reid et Firth (2011) et de Yi (2017), ainsi que de nombreuses applications. À lasection 4 de leur article, Rao, Verret et Hidiroglou décrivent une approche unifiée applicable aux modèles linéaires et aux modèles linéaires généralisés. Des aspects importants de leurs travaux comprennent a) l’obtention d’estimations ponctuelles convergentes par rapport au plan d’échantillonnage des paramètres de moyenne et de régression et des composantes de la variance et b) l’utilisation de probabilités d’inclusion de premier ordre et de probabilités de deuxième ordre dans les grappes seulement. En particulier, les travaux de Rao, Verret et Hidiroglou à l’égard de a) sont importants en raison de la convergence par rapport au plan d’échantillonnage lorsque le nombre de grappes (unités de premier degré) augmente tandis que la taille des grappes demeure petite (Pfeffermann, Skinner, Holmes, Goldstein et Rasbash, 1998). Contrairement à l’approche de pseudo-vraisemblance couramment utilisée (Rabe-Hesketh et Skrondal, 2006), leur méthode permet de s’assurer que a) vaut pour les résultats des modèles linéaires généralisés. Les travaux de Rao, Verret et Hidiroglou ont été approfondis par Yi, Rao et Li (2016), qui fournissent un cadre plus général, des considérations théoriques supplémentaires et des simulations exhaustives.

Deux phénomènes connexes ont donné lieu à nos travaux. D’une part, on s’intéresse de plus en plus à l’utilisation des méthodes bayésiennes pour faire des inférences à partir de données d’enquêtes. La section 5 présente une référence générale ainsi qu’une introduction à des articles décrivant une utilisation abondante de méthodes bayésiennes au Service national de la statistique agricole du ministère américain de l’Agriculture. D’autre part, il existe des écrits (bayésiens) démontrant la possibilité d’une précision surestimée en utilisant des vraisemblances composites non ajustées, par exemple Ribatet, Cooley et Davison (2012) et Stoehr et Friel (2018).

Notre approche consiste à utiliser d’abord une loi a posteriori considérée comme proportionnelle au produit d’une vraisemblance composite et d’une loi a priori. En comparant cette loi a posteriori approximative à une autre qui repose sur la vraisemblance complète, nous démontrons que les inférences fondées sur la loi a posteriori approximative affichent une précision surestimée. En apportant des ajustements à la loi a posteriori en fonction de la vraisemblance composite comme c’est le cas dans Ribatet, Cooley et Davison, nous utilisons ensuite des simulations pour comparer les trois façons de formuler une loi a posteriori, c’est-à-dire celles reposant sur la vraisemblance composite complète, composite et ajustée. Nous procédons, pour ce faire, à un examen visuel des graphiques des densités et des couvertures a posteriori (simulations répétées) de 95 % des intervalles de crédibilité pour les paramètres du modèle.

La méthodologie est décrite à la section 2.3. Les ajustements à la loi a posteriori approximative en fonction d’une vraisemblance composite sont dérivés d’une transformation du logarithme de la vraisemblance composite à son mode, conçue de sorte que la négative de l’inverse de la matrice de courbure de la densité a posteriori approximative à son mode soit proportionnelle à la matrice de variance-covariance a posteriori correspondante des paramètres. Cette approche est semblable à la propriété dans l’inférence fréquentiste faisant que l’inverse de la matrice d’information de Fisher observée (la négative de la matrice hessienne du logarithme du rapport de vraisemblance à son mode) permet d’estimer la matrice de variance-covariance des estimations du maximum de vraisemblance.

Afin de traiter de la question principale, nous utilisons une loi a priori « non informative » pour les paramètres de notre modèle, décrite ci-dessous. La densité a posteriori correspondante se rapproche alors de la vraisemblance normalisée, et les progrès démontrés dans un contexte bayésien seraient aussi observés dans une approche fréquentiste fondée sur des modèles.

Pour simplifier l’étude initiale, nous supposons un modèle de superpopulation linéaire à effets aléatoires simple (ordonnée à l’origine seulement). Examinons une population cible tirée de cette superpopulation et composée d’un grand nombre $N$ de grappes, chacune ayant une taille commune de, disons, $m.$ Soit $Y_{ij}$ la variable de réponse continue pour l’unité élémentaire $j$ dans la grappe $i$ avec $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}N$ et $j\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}m.$ Nous utilisons la notation

$$Y_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}\theta +u_i+e_{ij}(1.1)$$

où $u_i~N\left(\mathrm{0,}{\sigma }_u^2\right)\mathrm{,}{e}_{ij}~N\left(\mathrm{0,}{\sigma }_e^2\right),$ tous les $u_i$ et les $e_{ij}$ sont indépendants et $\theta ,$ ${\sigma }_u$ et ${\sigma }_e$ sont des paramètres.

Nous commençons aussi en supposant que le plan d’échantillonnage est un échantillon aléatoire simple de $n$ grappes, où $n$ est un nombre entier positif. Cela présente l’avantage que le modèle (1.1) vaut non seulement pour la superpopulation et la population finie, mais également (en remplaçant $N$ par $n)$ pour l’échantillon lui-même, qui résulte de la génération de la population suivie de la sélection de l’échantillon à l’aide du plan d’échantillonnage. Cela permet de s’assurer que la fonction de vraisemblance à utiliser dans l’inférence bayésienne est bien définie. De plus, nous pouvons démontrer que l’inférence bayésienne de l’échantillon pour les paramètres du modèle (1.1) pourrait aussi être interprétée du point de vue de la théorie fréquentiste dans les utilisations analytiques des données d’enquête (Skinner, Holt et Smith, 1989).

Nos travaux sont utiles, car nous démontrons les dangers d’utiliser une vraisemblance composite par paire non ajustée pour former une loi a posteriori approximative d’inférence même dans ce cas très simple et direct. Des prolongements des plans d’échantillonnage avec probabilités inégales sont examinés à la section 4.

L’ajustement proposé donne lieu à d’excellentes propriétés fréquentistes pour l’inférence sur la moyenne $\theta .$ La moyenne a posteriori de $\theta$ est peu biaisée sur le plan de la fréquence, et la couverture fréquentiste des intervalles de crédibilité s’harmonise aux niveaux nominaux. Pour ${\sigma }_u,$ cette approche donne lieu à une amélioration considérable par rapport à l’utilisation de la vraisemblance composite non ajustée. Cependant, la couverture est inférieure au niveau nominal, de sorte que d’autres travaux sur la manière de modifier l’ajustement sont nécessaires.

Le reste du présent document est structuré de la manière suivante. La section 2 fournit les définitions de la vraisemblance composite complète, composite et ajustée et des lois a priori. Une description de l’ajustement de la courbure et des raisons de son utilisation est ensuite présentée. Les études par simulations sont décrites à la section 3, y compris le modèle, les lois a priori, les tailles d’échantillon et leurs paramètres, le nombre de répliques, etc. Cette section décrit également un tableau de la manière dont les résultats sont exposés et présente un résumé de nos constatations. Des prolongements des cas d’échantillonnage avec probabilités inégales sont examinés à la section 4. Les conclusions sont présentées à la section 5.

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