Inférence bayésienne pour un modèle des composantes de la variance fondée sur la vraisemblance composite par paire à partir des données d’enquête
Section 4. Prolongement des plans d’échantillonnage avec probabilités inégales

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Un prolongement important des conditions que nous avons établies se rapporte à un cadre d’échantillonnage complexe, pour lequel l’estimation fréquentiste des paramètres par l’estimation d’une vraisemblance composite par paire à l’échelle de la population est maintenant assez couramment utilisée. Rao, Verret et Hidiroglou et Yi, Rao et Li ont démontré qu’une approche fondée sur l’application d’une vraisemblance composite par paire fréquentiste fonctionne bien pour estimer les composantes de la variance d’un modèle multiniveau dans le cas de certains plans d’échantillonnage avec probabilités inégales et permet d’éviter le problème d’incohérence lorsque les tailles de l’échantillon de deuxième degré sont petites. Dans le cadre de cette approche, l’estimation de l’incertitude est fondée sur la théorie des fonctions d’estimation et peut ne pas nécessiter les ajustements que nous prenons en compte dans le présent article. Cependant, il serait souhaitable de formuler un équivalent bayésien de cette méthode. Si l’on convenait d’une formulation bayésienne, les résultats de l’étude permettraient de prévoir la nécessité de l’ajustement du pseudo-logarithme du rapport de vraisemblance composite par paire pour l’harmoniser à une fonction de logarithme du rapport de vraisemblance complet adéquat.

Supposons que l’objectif est toujours analytique, que le modèle pour $Y_{ij}$ est l’équation (1.1) et que les objets de l’inférence sont la moyenne $\theta$ et la composante de la variance ${\sigma }_u^2$ ou sa racine carrée. La population cible comporte $N$ unités de premier degré présentant des tailles de $M_i,$ $i\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots ,N,$ et l’échantillon de premier degré se compose de $n$ de ces unités, sélectionnées au moyen d’un plan d’échantillonnage avec probabilités inégales. Au deuxième degré, $m_i$ unités élémentaires sont sélectionnées par échantillonnage aléatoire simple à partir de la $i^{\text{e}}$ unité de premier degré, si cette unité a été échantillonnée au premier degré. Si les tailles $M_i$ et $m_i$ et les probabilités liées au plan d’échantillonnage $p\left(s\right)$ (où $s$ traverse les sous-ensembles de la population de deuxième degré satisfaisant aux spécifications de tailles d’échantillon) ne dépendent pas des valeurs de $u_i$ ou de $e_{ij},$ la fonction de vraisemblance peut être considérée comme prenant la forme de l’équation (2.3), $m$ étant remplacée par $m_i,$ et le prolongement de nos travaux est en principe simple. Cependant, si les tailles ou les probabilités liées au plan d’échantillonnage dépendent des valeurs de $u_i$ ou de $e_{ij},$ elles nous renseigneront sur les paramètres d’intérêt. La fonction de vraisemblance à l’échelle de l’échantillon issue de la combinaison du modèle multiniveau et du plan d’échantillonnage peut être mal définie ou impossible à traiter. D’un point de vue bayésien, nous devons alors considérer ce qui peut raisonnablement remplacer la vraisemblance véritable et dans quelle mesure ce substitut peut être estimé avec précision au moyen d’une vraisemblance composite par paire ajustée. Les réponses peuvent dépendre de la méthode privilégiée pour utiliser les probabilités liées au plan d’échantillonnage dans l’inférence, et il existe plusieurs possibilités. Il serait intéressant d’étudier ces possibilités dans les travaux à venir.

Une méthode, dont l’applicabilité est limitée, serait fondée sur l’approche de Léon-Novelo et de Savitsky (2019). En supposant un échantillonnage de Bernoulli à un degré (de sorte que les probabilités d’échantillonnage soient entièrement déterminées par les probabilités d’inclusion), ceux-ci modélisent la distribution conjointe de la variable de résultat, $Y,$ et la probabilité d’inclusion, $\pi ,$ en utilisant le modèle générant $Y$ à partir de $x$ dans la population et un modèle générant $\pi$ à partir de $x$ et de $Y.$ Pour rendre les calculs possibles, des restrictions doivent être imposées à la forme de ce modèle; voir le théorème 1 et, en particulier, le cas spécial présenté à la section 2.1 de leur article.

Nous pouvons étendre le modèle présenté à la section 2.1 de Léon-Novelo et Savitsky (2019) à l’échantillonnage en grappes à deux degrés. On peut faire un autre prolongement, c’est-à-dire remplacer la densité d’échantillonnage de $Y$ par une vraisemblance composite par paire analogue à la partie de vraisemblance du modèle (2.6). Ainsi, sous réserve des limites du théorème 1 de Léon-Novelo et Savitsky (2019), il existe des équivalents aux densités a posteriori, les équations (2.5) et (2.6), qui incluent les probabilités d’inclusion.

Une autre méthode, partiellement bayésienne, mais peut-être le prolongement le plus largement applicable de notre approche, consiste à considérer comme exacte la fonction de logarithme du rapport de vraisemblance de la population (complète) (équations [2.5] et [2.6] de Rao, Verret et Hidiroglou) et à formuler une fonction correspondante de logarithme du rapport de vraisemblance composite par paire pour la population complète comme dans notre section 2. Nous tenterions ensuite d’estimer cette dernière à partir de l’échantillon en utilisant des poids d’échantillonnage (équation [4.2] de Rao, Verret et Hidiroglou) et nous ferions des ajustements, comme la normalisation adéquate des poids ou le « rééchelonnage » comme dans Pfeffermann, Skinner, Holmes, Goldstein et Rasbash (1998), et des ajustements de la courbure à la fonction de logarithme du rapport de vraisemblance composite par paire estimé qui en résultent. Cela produirait une fonction de pseudo-logarithme du rapport de vraisemblance par paire qui pourrait être utilisée comme une fonction de logarithme du rapport de vraisemblance approximatif dans l’inférence bayésienne. Cela permettrait d’obtenir un équivalent bayésien à la méthode fréquentiste proposée par Rao, Verret et Hidiroglou et par Yi, Rao et Li et d’étendre la méthode exposée dans le présent article à la situation d’échantillonnage avec probabilités inégales.

Nous avons obtenu des renseignements préliminaires pour cette deuxième approche. C’est-à-dire que si ${\sigma }_u^2$ est connue, les expressions analytiques pour la vraisemblance complète et la vraisemblance composite par paire sont disponibles pour $\theta$ à l’échelle de la population complète. Pour la vraisemblance partielle, nous modifions l’équation (2.8) en prenant ${\sigma }_u$ maintenue constante et en ajoutant les poids $w_i$ et $w_{jk|i}$ comme dans l’équation (4.2) de Rao, Verret et Hidiroglou. Avec une loi a priori uniforme localement pour $\theta ,$

$$p_{\text{VP}}\left(\theta |y\left(n\right)\right)\propto \text{exp}\left\{-\text{0,5}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n{\displaystyle \sum _{j<k}{w}_i{w}_{jk|i}\left(y_{ij}-\theta y_{ik}-\theta \right){\Sigma }_2^{-1}{\left(y_{ij}-\theta y_{ik}-\theta \right)}^{\text{T}}}}\right\}$$

où

$${\Sigma }_2^{-1}\mathrm{<mo>=</mo>}\left[\begin{array}{ll}{\sigma }^{11}\hfill & {\sigma }^{12}\hfill \\ {\sigma }^{21}\hfill & {\sigma }^{22}\hfill \end{array}\right]$$

avec

$${\sigma }^{11}\mathrm{<mo>=</mo>}{\sigma }^{22}\mathrm{<mo>=</mo>}{\sigma }_e^{-2}\left(1-\frac{{\sigma }_u^2}{{\sigma }_e^2+2{\sigma }_u^2}\right)$$

et

$${\sigma }^{12}\mathrm{<mo>=</mo>}{\sigma }^{21}\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{{\sigma }_u^2}{{\sigma }_e^2\left({\sigma }_e^2+2{\sigma }_u^2\right)}\mathrm{.}$$

Après quelques calculs algébriques,

$$p_{\text{VP}}\left(\theta |y\left(n\right)\right)\propto \text{exp}\left\{-\text{0,5}\frac{2{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n{\displaystyle {\sum }_{j<k}{w}_i{w}_{jk|i}}}}{{\sigma }_e^2+2{\sigma }_u^2}{\left[\theta -\frac{{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n{\displaystyle {\sum }_{j<k}{w}_i{w}_{jk|i}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_{ij}+y_{ik}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}/2}{{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n{\displaystyle {\sum }_{j<k}{w}_i{w}_{jk|i}}}}\right]}^2\right\}\mathrm{.}$$

De même, nous modifions l’équation (2.7) en maintenant ${\sigma }_u$ constante et en ajoutant les poids. Avec une loi a priori uniforme localement pour $\theta ,$

$$p_{\text{VC}}\left(\theta |y\left(n\right)\right)\propto \text{exp}\left\{-\text{0,5}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^m{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^m{w}_i{w}_{jk|i}{\sigma }^{jk}\left(y_{ij}-\theta \right)\left(y_{ik}-\theta \right)}}}\right\}\mathrm{.}$$

Après quelques calculs algébriques,

$$p_{\text{VC}}\left(\theta |y\left(n\right)\right)\propto \text{exp}\left\{-0,5{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>}1}^n{w}_i\left\{{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>}1}^m{w}_{j|i}{a}^{\left(1\right)}}+{\displaystyle \sum _{j\ne k}{w}_{jk|i}{a}^{\left(2\right)}}\right\}{\left(\theta -\widehat{\theta }\right)}^2}\right\}$$

où

$$a^{\left(1\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}{\sigma }_e^{-2}\left(1-\frac{{\sigma }_u^2}{{\sigma }_e^2+m{\sigma }_u^2}\right)\mathrm{,}$$

$$a^{\left(2\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{{\sigma }_u^2}{{\sigma }_e^2\left({\sigma }_e^2+m{\sigma }_u^2\right)}$$

et

$$\widehat{\theta }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n{w}_i\left[{\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>}1}^m{a}^{\left(1\right)}{w}_{j|i}{y}_{ij}}+{\displaystyle {\sum }_{j\ne k}{a}^{\left(2\right)}{w}_{jk|i}\left(y_{ij}+y_{ik}\right)/2}\right]}}{{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>}1}^n{w}_i}\left[{\displaystyle {\sum }_{j\mathrm{<mo>=</mo>}1}^m{a}^{\left(1\right)}{w}_{j\mathrm{<mo>|</mo>}i}+{\displaystyle {\sum }_{j\ne k}{a}^{\left(2\right)}{w}_{jk|i}}}\right]}\mathrm{.}$$

Le choix du rééchelonnage des poids sera important. Pour quantifier la précision surestimée dans la loi a posteriori du logarithme du rapport de vraisemblance composite par paire, il peut être nécessaire de faire une évaluation numérique.

Un avantage de procéder à d’autres prolongements de cette approche bayésienne dans les travaux à venir serait qu’elle est axée sur l’inférence pour les paramètres du modèle, plutôt sur que les quantités dans la population finie, et il ne serait donc pas nécessaire de considérer des probabilités d’inclusion de troisième ou de quatrième ordre dans l’estimation de l’incertitude pour ${\sigma }_u^2$ ou ${\sigma }_u.$

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