Inférence bayésienne pour un modèle des composantes de la variance fondée sur la vraisemblance composite par paire à partir des données d’enquête
Section 5. Conclusion

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Il existe des raisons philosophiques et théoriques bien connues d’envisager des approches bayésiennes pour réaliser un échantillonnage, et des travaux de recherche dans ce domaine sont réalisés depuis longtemps. Voir, par exemple, Sedransk (2008). Il existe aussi des avantages pratiques. L’utilisation d’une approche bayésienne plutôt qu’une approche fréquentiste s’appuie beaucoup moins sur des approximations, en remplaçant des calculs par des expressions asymptotiques. Dans le contexte des modèles à effets aléatoires, un avantage important est la capacité de contraindre les composantes de la variance à des valeurs non négatives dans la loi a priori, sans masquer les lacunes des données.

Le Service national de la statistique agricole (NASS) du ministère américain de l’Agriculture est l’un des endroits où des méthodes bayésiennes sont largement utilisées. Au NASS, on emploie des méthodes bayésiennes pour produire des statistiques officielles à l’échelle du pays et des États pour des variables comme la superficie des cultures et le rendement des cultures. Souvent, ces inférences reposent sur plusieurs sources de données. On accorde une attention particulière à l’estimation cohérente dans l’ensemble de la hiérarchie des régions géographiques d’intérêt aux fins de l’inférence. Voir Nandram, Berg et Barboza (2014); Erciulescu, Cruze et Nandram (2020, 2019, 2018); et Cruze, Erciulescu, Nandram, Barboza et Young (2019) pour obtenir de plus amples précisions.

Nous nous sommes penchés sur une utilisation de la vraisemblance composite par paire dans l’inférence bayésienne pour les données d’enquête, c’est-à-dire que nous avons élaboré une loi a posteriori pour la moyenne $\theta$ et le paramètre d’écart-type ${\sigma }_u$ d’un modèle à effets aléatoires simple. Nous avons évalué la loi a posteriori en ce qui a trait aux propriétés de couverture fréquentistes des intervalles de crédibilité pour les paramètres et constaté qu’elle fonctionne bien pour $\theta ,$ mais qu’elle n’est pas pleinement satisfaisante pour l’inférence au sujet de ${\sigma }_u$ dans les conditions considérées. Des observations correspondantes pourraient être faites pour l’inférence fréquentiste de la vraisemblance composite par paire, considérée comme une fonction de vraisemblance approximative. Il est possible que de meilleurs résultats puissent être obtenus en appliquant une transformation adéquate à ${\sigma }_u;$ le sujet pourrait faire l’objet de futurs travaux de recherche.

Une situation idéale pour l’utilisation de la vraisemblance composite dans l’inférence bayésienne en est une dans laquelle a) un modèle de génération des données est entièrement spécifié, de sorte qu’une fonction de vraisemblance véritable existe, et b) on peut raisonnablement estimer la vraisemblance véritable au moyen de la vraisemblance composite, de sorte que les lois a posteriori correspondantes aient une bonne concordance. Par exemple, pour Stoehr et Friel (2018), l’objectif est l’utilisation de l’inférence bayésienne d’une pseudo-vraisemblance pour les données issues d’un champ aléatoire de Gibbs. Ils établissent des identités qui lient le gradient et la matrice hessienne de la loi a posteriori du log pour un paramètre à des moments de statistiques suffisantes du champ aléatoire et les utilisent pour accroître la capacité de la log-densité a posteriori composite par paire à estimer la fonction de log-densité a posteriori. L’ajustement de la courbure de Ribatet, Cooley et Davison, sur lequel repose notre approche, porte plutôt sur le logarithme du rapport de vraisemblance composite par paire de sorte que son gradient (que nous pourrions appeler le « vecteur de score par paire ») présente la propriété d’absence de biais de l’information menant à des intervalles de crédibilité dont les probabilités de couverture fréquentistes se rapprochent des valeurs nominales. Intuitivement, compte tenu de l’augmentation du nombre $n$ de grappes, $m$ demeurant constant, cette approximation devrait s’améliorer et son calcul ne nécessite pas d’utiliser les propriétés de la vraisemblance elle-même. Dans le présent article, nous avons tiré profit de la disponibilité de la vraisemblance complète dans le cas simple pour évaluer dans quelle mesure l’inférence bayésienne fondée sur la vraisemblance composite par paire ajustée se rapproche de l’inférence bayésienne complète.

Remerciements

Les travaux de recherche sont financés en partie grâce à des subventions du Conseil de recherches en sciences naturelles et en génie du Canada accordées à Mary E. Thompson et à Grace Y. Yi. Grace Y. Yi est titulaire de la Chaire de recherche du Canada en sciences des données (niveau 1). Ses travaux de recherche ont été entrepris, en partie, grâce au financement du Programme des chaires de recherche du Canada.

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