Les enquêtes probabilistes sont-elles vouées à disparaître pour la production de statistiques officielles ?
Section 3. Approches fondées sur le plan de sondage

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Les approches fondées sur le plan de sondage permettent de construire des estimateurs de $\theta$ convergents par rapport au plan de sondage même quand la source non probabiliste produit des estimations comportant un biais de sélection important. Dans ce contexte, l’utilisation d’un échantillon non probabiliste a pour objectif une réduction de la variance des estimateurs de $\theta .$ Les gains d’efficacité réalisés peuvent être utilisés pour justifier une réduction de la taille de l’échantillon probabiliste, réduisant ainsi les coûts de collecte et le fardeau sur les répondants. Les méthodes que nous considérons aux sections 3.1 et 3.2 nécessitent de recueillir les valeurs de la variable d’intérêt $y$ dans l’échantillon probabiliste tout comme les méthodes d’estimation sur petits domaines décrites à la section 4.4. On peut toutefois s’attendre à ce que les gains d’efficacité soient généralement plus modestes que ceux obtenus au moyen des méthodes d’estimation sur petits domaines. À la section 3.1, on considère le scénario $y_k^{*}=y_k$ tandis qu’à la section 3.2, on considère le scénario $y_k^{*}\ne y_k.$

3.1  Pondération par l’inverse de la probabilité d’inclusion dans l’échantillon combiné

Le cas idéal survient quand $s_{\text{NP}}=U.$ On a alors un recensement et on peut calculer directement la valeur du paramètre d’intérêt $\theta ={\displaystyle {\sum }_{k\in U}{y}_k}$ sans se soucier du biais ou de la variance puisque, dans cette section, on travaille sous l’hypothèse que $y_k^{*}=y_k.$ En général, on se trouvera plutôt dans un contexte de sous-couverture au sens où $s_{\text{NP}}$ est de plus petite taille que la population $U.$ Dans une approche fondée sur le plan de sondage, on peut remédier au biais potentiel de sous-couverture en sélectionnant un échantillon probabiliste $s_P$ à partir de $U$ et en recueillant les valeurs de la variable $y$ pour les unités échantillonnées. Idéalement, l’échantillon probabiliste est tiré de $U-s_{\text{NP}}$ mais il est possible que les unités dans $s_{\text{NP}}$ ne puissent pas être couplées à celles de la base de sondage $U$ pour ainsi déterminer l’ensemble $U-s_{\text{NP}}.$ En général, plus la taille de l’échantillon non probabiliste sera grande, plus il sera possible de réduire la taille de l’échantillon probabiliste sans compromettre la précision souhaitée des estimations.

On aimerait pouvoir estimer $\theta$ en utilisant toutes les données recueillies dans l’échantillon combiné $s=s_P\cup s_{\text{NP}}.$ On peut définir l’indicateur d’inclusion dans $s$ comme étant ${\tilde{I}}_k={\delta }_k+\left(1-{\delta }_k\right)I_k.$ Pour obtenir une estimation sans biais de $\theta ,$ on pondère chaque unité $k\in s$ par ${\tilde{w}}_k={\tilde{\pi }}_k^{-1}$ où ${\tilde{\pi }}_k=E\left({\tilde{I}}_k|{\Omega }_P\right).$ Sous les hypothèses 1 et 2, $E\left(I_k|{\Omega }_P\right)={\pi }_k$ et nous obtenons

$${\tilde{\pi }}_k=E\left({\tilde{I}}_k|{\Omega }_P\right)={\delta }_k+\left(1-{\delta }_k\right){\pi }_k.$$

L’estimateur qui en résulte s’écrit :

$$\widehat{\theta }={\displaystyle {\sum }_{k\in s}{\tilde{w}}_k{y}_k}={\displaystyle {\sum }_{k\in s_{\text{NP}}}{y}_k}+{\displaystyle {\sum }_{k\in s_P}\frac{1}{{\pi }_k}}\left(1-{\delta }_k\right)y_k.(3.1)$$

Il est à noter que l’estimateur (3.1) nécessite que l’indicateur ${\delta }_k$ soit disponible pour toutes les unités de l’échantillon $s_P.$ Pour les unités $k\in s_P\cap s_{\text{NP}},$ on dispose de deux valeurs : $y_k$ et $y_k^{*}.$ En principe, on devrait avoir $y_k^{*}=y_k$ mais il est possible que cette relation ne soit pas satisfaite exactement. Ces unités peuvent servir à valider l’hypothèse $y_k^{*}\approx y_k.$ Si les différences sont trop importantes, il peut être préférable de ne pas considérer cette approche et de s’en remettre aux méthodes de la section 3.2 qui utilisent les données de la source non probabiliste comme données auxiliaires. Si on a plutôt confiance dans la qualité des données de la source non probabiliste alors il peut être judicieux de ne pas collecter la variable $y$ dans l’échantillon probabiliste pour les unités également présentes dans l’échantillon non probabiliste afin de réduire les coûts de collecte et le fardeau sur les répondants.

On peut voir le problème comme si on avait deux bases de sondages : $U$ et $s_{\text{NP}}.$ Un échantillon $s_P$ est tiré aléatoirement de $U$ et on recense toutes les unités de $s_{\text{NP}}.$ On peut ainsi calculer la probabilité de sélection dans l’échantillon $s$ pour chaque unité $k\in U,$ $\mathrm{Pr}\left(k\in s|{\Omega }_P\right),$ et on retrouve l’estimateur (3.1) en pondérant chaque unité $k\in s$ par l’inverse de cette probabilité. Cette approche a été proposée par Bankier (1986) pour traiter le problème des bases de sondage multiples. Dans le contexte de l’intégration d’un échantillon probabiliste et non probabiliste, l’estimateur (3.1) a été proposé par Kim et Tam (2020).

La dernière somme de (3.1) est un estimateur sans biais de ${\displaystyle {\sum }_{k\in U}\left(1-{\delta }_k\right)y_k}={\displaystyle {\sum }_{k\in U-s_{\text{NP}}}{y}_k}.$ Si un vecteur de variables auxiliaires, $x_k,$ est disponible pour $k\in s_P$ de même que le total $T_x={\displaystyle {\sum }_{k\in U}{x}_k}$ alors on peut remplacer le poids $1/{\pi }_k$ dans (3.1) par un poids calé $w_k$ (ex.: Deville et Särndal, 1992; Haziza et Beaumont, 2017). Les poids calés minimisent une fonction de distance entre $w_k$ et $1/{\pi }_k,$ $k\in s_P,$ sous la contrainte de satisfaire l’équation de calage ${\displaystyle {\sum }_{k\in s_P}{w}_k{x}_k}=T_x.$ Idéalement, le calage est fait seulement sur la portion non couverte par l’échantillon non probabiliste, $U-s_{\text{NP}},$ c’est-à-dire que le vecteur de calage utilisé est $\left(1-{\delta }_k\right)x_k$ et l’équation de calage devient : ${\displaystyle {\sum }_{k\in s_P}{w}_k\left(1-{\delta }_k\right)x_k}={\displaystyle {\sum }_{k\in U-s_{\text{NP}}}{x}_k}.$ Ce n’est pas possible quand ${\displaystyle {\sum }_{k\in U-s_{\text{NP}}}{x}_k}$ n’est pas connu.

Remarque : Si l’hypothèse 2 n’est pas appropriée alors $E\left(I_k|{\Omega }_P\right)\ne E\left(I_k|Z\right)={\pi }_k.$ Pour contourner ce problème, on peut enlever de $s_{\text{NP}}$ toutes les unités dont les données ont été recueillies après la sélection de l’échantillon $s_P.$ L’hypothèse 2 est alors respectée mais on peut omettre ainsi beaucoup de données disponibles. Pour profiter de l’ensemble complet $s_{\text{NP}},$ il faudra se résoudre à faire quelques hypothèses et à s’éloigner partiellement de l’approche fondée sur le plan de sondage. En supposant que $E\left(I_k|{\Omega }_P\right)=\mathrm{Pr}\left(I_k=1|{\delta }_k,Y,\Omega \right),$ on peut montrer en utilisant le théorème de Bayes que

$$\mathrm{Pr}\left(I_k=1|{\delta }_k=0,Y,\Omega \right)=\frac{1-\mathrm{Pr}\left({\delta }_k=1|I_k=1,Y,\Omega \right)}{1-\mathrm{Pr}\left({\delta }_k=1|Y,\Omega \right)}{\pi }_k,$$

pour les unités $k\in U-s_{\text{NP}}.$ L’estimation de $E\left(I_k|{\Omega }_P\right)$ nécessite donc de postuler un modèle pour ${\delta }_k.$ Sous certaines hypothèses, l’estimation de $\mathrm{Pr}\left({\delta }_k=1|I_k=1,Y,\Omega \right)$ peut se faire en utilisant les données de l’échantillon probabiliste et, par exemple, un modèle de régression logistique. L’estimation de $\mathrm{Pr}\left({\delta }_k=1|Y,\Omega \right)$ peut se faire en utilisant les méthodes décrites à la section 4.3 qui ne reposent pas sur la validité de l’hypothèse 2 telle que la méthode de Chen, Li et Wu (2019). Ces méthodes requièrent que les variables auxiliaires utilisées pour modéliser cette probabilité soient disponibles pour toutes les unités de l’échantillon combiné $s=s_P\cup s_{\text{NP}}.$ Contrairement à la section 4.3, on peut ici profiter du fait que les valeurs $y_k$ sont disponibles pour toutes les unités des deux échantillons et on peut utiliser la variable d’intérêt comme variable auxiliaire. On estime ensuite $\theta$ en remplaçant ${\pi }_k$ dans (3.1) par une estimation de $\mathrm{Pr}\left(I_k=1|{\delta }_k=0,Y,\Omega \right).$ Des approches similaires ont été proposées par Beaumont, Bocci et Hidiroglou (2014) pour tenir compte des répondants tardifs à l’Enquête nationale sur les ménages de Statistique Canada, c’est-à-dire les ménages qui ont répondu au questionnaire initial après que l’échantillon probabiliste de suivi des non-répondants ait été tiré.

3.2  Calage de l’échantillon probabiliste sur la source non probabiliste

Les données de sources non probabilistes telles que, par exemple, les données fournies par des répondants d’un panel Web peuvent être entachées d’erreurs de mesure suffisamment importantes pour mettre en doute l’hypothèse que $y_k^{*}\approx y_k.$ De telles données ne peuvent donc pas être utilisées pour remplacer directement les valeurs de la variable $y.$ On peut cependant les utiliser comme données auxiliaires pour enrichir l’enquête probabiliste au moyen de la technique du calage. La source non probabiliste contient les valeurs $y_k^{*}$ pour $k\in s_{\text{NP}}$ et possiblement les valeurs d’autres variables. À partir de toutes ces variables, on peut former un vecteur de variables auxiliaires $x_k^{*},$ disponibles pour $k\in s_{\text{NP}},$ qui pourrait contenir une ordonnée à l’origine. On note son total par $T_{x^{*}}={\displaystyle {\sum }_{k\in s_{\text{NP}}}{x}_k^{*}}={\displaystyle {\sum }_{k\in U}{\delta }_k{x}_k^{*}}.$ On peut aussi disposer d’un autre vecteur de variables auxiliaires, $x_k,$ $k\in s_P,$ de même que son total pour toute la population $U,$ $T_x={\displaystyle {\sum }_{k\in U}{x}_k}.$ Les poids calés $w_k,$ $k\in s_P,$ sont obtenus en minimisant une fonction de distance entre $w_k$ et $1/{\pi }_k,$ $k\in s_P,$ sous la contrainte de satisfaire l’équation de calage

$${\displaystyle {\sum }_{k\in s_P}{w}_k\left(\begin{array}{c}{x}_k\\ {\delta }_k{x}_k^{*}\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}{T}_x\\ T_{x^{*}}\end{array}\right).$$

Il est à noter que ce calage ne peut être effectué que si $x_k^{*}$ est disponible dans l’échantillon probabiliste pour toutes les unités $k\in s_P\cap s_{\text{NP}}.$ L’estimateur de $\theta$ s’écrit encore comme $\widehat{\theta }={\displaystyle {\sum }_{k\in s_P}{w}_k{y}_k},$ où $w_k$ est le poids calé satisfaisant l’équation de calage ci-dessus. Aucune hypothèse de modèle n’est requise pour la validité de l’approche et les estimations résultantes demeurent convergentes par rapport au plan peu importe la force de la relation entre $y_k$ et les variables auxiliaires $x_k$ et $x_k^{*}.$ Une relation forte permettra de réduire la variance d’échantillonnage de $\widehat{\theta },$ $\mathrm{var}\left(\widehat{\theta }|{\Omega }_P\right).$ Kim et Tam (2020) discutent de l’emploi d’un tel calage.

L’Enquête sur la population active (EPA) du Canada fournit un exemple d’application potentielle de cette méthode de calage. Le taux de chômage, défini comme étant le nombre de personnes sans emploi divisé par le nombre de personnes dans la population active, est un paramètre d’intérêt important que l’EPA permet d’estimer. Afin d’améliorer la précision des estimations de l’EPA, une variable de calage indiquant si une personne reçoit de l’assurance-emploi ou non pourrait être efficace puisqu’il existe assurément un lien entre recevoir de l’assurance-emploi et être sans emploi. Le total de cette variable de calage, le nombre de bénéficiaires d’assurance-emploi, est nécessaire pour effectuer ce calage et disponible à partir d’une source administrative. L’application de cette méthode nécessiterait toutefois l’addition d’une question à l’EPA pour identifier les répondants de l’EPA qui reçoivent de l’assurance-emploi. Cette information pourrait également être obtenue au moyen d’un appariement entre l’EPA et la source administrative. Il reste à déterminer si une telle variable de calage pourrait mener à des gains significatifs à l’EPA.

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