Les enquêtes probabilistes sont-elles vouées à disparaître pour la production de statistiques officielles ?
Section 4. Approches fondées sur un modèle

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Les approches fondées sur un modèle permettent d’éliminer le biais de sélection de la source non probabiliste et d’obtenir des inférences statistiques valides pourvu que leurs hypothèses sous-jacentes tiennent la route. L’objectif des méthodes des sections 4.1, 4.2 et 4.3 est de réduire le fardeau sur les répondants et les coûts en éliminant la collecte de quelques variables d’intérêt dans un échantillon probabiliste. Plus le nombre de variables d’intérêt pour lesquelles on ne recueille pas les valeurs sera grand, plus la réduction des coûts de collecte et du fardeau sur les répondants sera importante. Ces méthodes supposent cependant que les variables d’intérêt sont mesurées sans erreur dans l’échantillon non probabiliste $\left(y_k^{*}=y_k\right).$

À partir de l’échantillon non probabiliste $s_{\text{NP}},$ on peut obtenir l’estimateur naïf ${\widehat{\theta }}^{\text{NP}}=N{\displaystyle {\sum }_{k\in s_{\text{NP}}}{y}_k/n^{\text{NP}}}$ du total $\theta ,$ où $n^{\text{NP}}$ est le nombre d’unités dans $s_{\text{NP}}$ et $N$ est la taille de la population $U.$ Il est bien connu que l’estimateur naïf peut être entaché d’un biais de sélection important (voir, par exemple, Bethlehem, 2016). L’objectif des méthodes des sections 4.1, 4.2 et 4.3 consiste à utiliser un vecteur de variables auxiliaires, $x_k,$ pour réduire le biais dont souffre l’estimateur naïf. On va noter par $X,$ la matrice qui contient les valeurs du vecteur $x_k,$ $k\in U.$ On suppose que $x_k$ est mesuré sans erreurs dans les deux échantillons $s_{\text{NP}}$ et $s_P.$

À la section 4.4, on discute brièvement d’estimation sur petits domaines et du modèle de Fay et Herriot (1979). Les méthodes d’estimations sur petits domaines sont habituellement utilisées pour améliorer la précision d’estimations pour des sous-groupes (domaines) de la population dont la taille de l’échantillon probabiliste est petite. Elles nécessitent de recueillir la variable $y$ dans l’échantillon probabiliste mais pas dans l’échantillon non probabiliste. Elles ne requièrent donc pas la condition $y_k^{*}=y_k.$ Idéalement, l’échantillon non probabiliste contient des variables corrélées à $y.$

4.1  Calage de l’échantillon non probabiliste

L’approche la plus naturelle pour corriger le biais de sélection d’une source non probabiliste consiste à modéliser la relation entre la variable d’intérêt $y_k$ et les variables auxiliaires $x_k$ et ensuite à prédire le total $\theta$ en prédisant la variable $y_k$ pour chacune des unités hors de l’échantillon non probabiliste. Cette approche par prédiction est décrite dans Royall (1970) et généralisée dans Royall (1976); voir aussi Elliott et Valliant (2017). On réfère le lecteur à Valliant, Dorfman et Royall (2000) pour plus de détails. Avec cette approche, les inférences sont conditionnelles à $\delta$ et $X.$ Par conséquent, $Y$ est considéré aléatoire de même que $\Omega$ (sauf si $\Omega =X)$ . Si un échantillon probabiliste est utilisé, $I$ est également considéré aléatoire. On fait habituellement l’hypothèse que le mécanisme de sélection des unités de l’échantillon $s_{\text{NP}}$ n’est pas informatif :

Hypothèse 3 : $Y$ et $\delta$ sont indépendants après avoir conditionné sur $X.$

L’hypothèse 3 est clé pour éliminer le biais de sélection. Plus on a accès à des variables auxiliaires fortement reliées à $y_k$ et ${\delta }_k,$ plus l’hypothèse 3 devient plausible. Autrement dit, plus $X$ est riche, plus l’indépendance conditionnelle entre $Y$ et $\delta$ devient une hypothèse réaliste. On discute de cette hypothèse, appelée hypothèse d’échangeabilité, dans Mercer, Kreuter, Keeter et Stuart (2017). Schonlau et Couper (2017) discutent également du choix des variables auxiliaires et soulignent leur importance pour la réduction du biais de sélection.

Souvent, on considère un modèle linéaire pour lequel on suppose que les observations $y_k$ sont mutuellement indépendantes avec $E\left(y_k|X\right)=x_k^{\prime }\beta$ et $\mathrm{var}\left(y_k|X\right)\propto v_k,$ où $\beta$ est un vecteur de paramètres inconnus du modèle et $v_k$ est une fonction connue des variables du vecteur $x_k.$ Le meilleur prédicteur linéaire sans biais de $\theta$ (voir, par exemple, Valliant, Dorfman et Royall, 2000) est donné par

$${\widehat{\theta }}^{\text{BLUP}}={\displaystyle {\sum }_{k\in s_{\text{NP}}}{y}_k}+{\displaystyle {\sum }_{k\in U-s_{\text{NP}}}{x}_k^{\prime }\widehat{\beta }}=T_x^{\prime }\widehat{\beta }+{\displaystyle {\sum }_{k\in s_{\text{NP}}}\left(y_k-x_k^{\prime }\widehat{\beta }\right),}(4.1)$$

où

$$\widehat{\beta }={\left({\displaystyle {\sum }_{k\in s_{\text{NP}}}{v}_k^{-1}{x}_k{x}_k^{\prime }}\right)}^{-1}{\displaystyle {\sum }_{k\in s_{\text{NP}}}{v}_k^{-1}{x}_k{y}_k}.$$

Le prédicteur ${\widehat{\theta }}^{\text{BLUP}}$ peut aussi être ré-écrit sous la forme pondérée ${\widehat{\theta }}^{\text{BLUP}}={\displaystyle {\sum }_{k\in s_{\text{NP}}}{w}_k^C{y}_k},$ où

$$w_k^C=1+v_k^{-1}{x}_k^{\prime }{\left({\displaystyle {\sum }_{k\in s_{\text{NP}}}{v}_k^{-1}{x}_k{x}_k^{\prime }}\right)}^{-1}\left(T_x-{\displaystyle {\sum }_{k\in s_{\text{NP}}}{x}_k}\right).(4.2)$$

On peut facilement montrer que $w_k^C$ est un poids calé qui satisfait l’équation de calage ${\displaystyle {\sum }_{k\in s_{\text{NP}}}{w}_k^C{x}_k}=T_x.$ Par conséquent, l’approche par prédiction est équivalente à faire un calage quand un modèle linéaire est utilisé pour décrire la relation entre $y_k$ et $x_k.$ L’équation de calage permet de satisfaire ce que Mercer et coll. (2017) appellent l’hypothèse de composition. Cette approche nécessite de connaître le vecteur des totaux de contrôle $T_x.$ S’il n’est pas connu, une alternative consiste à le remplacer dans (4.1) ou (4.2) par une estimation, ${\widehat{T}}_x={\displaystyle {\sum }_{k\in s_P}{w}_k{x}_k},$ provenant d’une enquête probabiliste (Elliott et Valliant, 2017). Si les hypothèses 1 à 3 sont satisfaites, on peut montrer que le prédicteur ${\widehat{\theta }}^{\text{BLUP}}$ est sans biais, c’est-à-dire que $E\left({\widehat{\theta }}^{\text{BLUP}}-\theta |\delta ,X\right)=0,$ que $T_x$ ou ${\widehat{T}}_x$ soit utilisé pourvu que ce dernier soit sans biais par rapport au plan, c’est-à-dire que $E\left({\widehat{T}}_x|{\Omega }_P\right)=T_x.$ La propriété d’être sans biais du prédicteur ${\widehat{\theta }}^{\text{BLUP}}$ nécessite bien sûr que le modèle linéaire soit valide.

Remarque : En pratique, les variables auxiliaires pour lesquelles le total de population est connu seront généralement peu nombreuses et pas suffisamment prédictives de la variable $y$ pour éliminer le biais de sélection. On les complètera avec d’autres variables auxiliaires dont le total peut être estimé au moyen d’une enquête probabiliste existante. Le vecteur des totaux de population sera donc un mélange de totaux connus et estimés. Si l’enquête probabiliste est elle-même calée sur des totaux connus de population alors on pourra utiliser uniquement les totaux estimés ${\widehat{T}}_x$ provenant de l’enquête probabiliste.

Un modèle linéaire n’est pas toujours approprié. C’est le cas lorsque la variable $y$ est catégorielle. Un autre exemple typique survient lorsqu’on est intéressé à estimer le total d’une variable quantitative dans un domaine d’intérêt. La variable $y$ est alors définie comme le produit de cette variable quantitative et d’une variable binaire indiquant l’appartenance au domaine d’intérêt. Pour modéliser une telle variable, il est naturel de considérer un mélange d’une distribution dégénérée à 0 et d’une distribution continue. Lorsque la relation entre $y_k$ et $x_k$ n’est pas linéaire, le calage assisté par un modèle de Wu et Sitter (2001) peut être utilisé pour préserver la forme pondérée du prédicteur de $\theta$ tout en tenant compte de la non-linéarité de la relation. Supposons qu’on remplace le modèle linéaire ci-dessus par un modèle non-linéaire (ou non paramétrique) tel que $E\left(y_k|X\right)=h\left(x_k\right),$ où $h(\cdot )$ est une certaine fonction. Le calage de Wu et Sitter (2001) consiste d’abord à prédire $y_k$ par ${\widehat{y}}_k=\widehat{h}\left(x_k\right),$ $k\in U,$ où $\widehat{h}\left(x_k\right)$ est une estimation de $h\left(x_k\right)$ obtenue au moyen du modèle. Ensuite, on calcule le total $T_{\widehat{y}}={\displaystyle {\sum }_{k\in U}{\widehat{y}}_k}$ et on trouve des poids, $w_k^{\text{MC}},$ $k\in s_{\text{NP}},$ qui satisfont l’équation de calage :

$${\displaystyle {\sum }_{k\in s_{\text{NP}}}{w}_k^{\text{MC}}\left(\begin{array}{c}1\\ {\widehat{y}}_k\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}N\\ T_{\widehat{y}}\end{array}\right).$$

Autrement dit, on peut utiliser l’équation (4.2) en remplaçant $x_k^{\prime }$ par $\left(1,{\widehat{y}}_k\right).$ Cette méthode requiert de connaître la taille de population $N$ de même que les valeurs du vecteur $x_k$ pour toutes les unités de la population $U.$ Si $N$ et $T_{\widehat{y}}$ ne sont pas connus, on peut les remplacer par des estimations provenant d’une enquête probabiliste. Par exemple, on peut remplacer $N$ par $\widehat{N}={\displaystyle {\sum }_{k\in s_P}{w}_k}$ et $T_{\widehat{y}}$ par ${\widehat{T}}_{\widehat{y}}={\displaystyle {\sum }_{k\in s_P}{w}_k{\widehat{y}}_k}.$ L’approche peut également se généraliser au cas où on a plusieurs variables d’intérêt.

Nous avons mentionné que le biais de sélection sera réduit considérablement si le vecteur $x_k$ est riche et contient des variables qui sont à la fois reliées à ${\delta }_k$ et $y_k,$ ce qui rend l’hypothèse 3 plus réaliste. Il peut donc être utile en pratique de considérer un grand nombre de variables auxiliaires potentielles et de choisir les plus importantes au moyen d’une technique de sélection de variables. Chen, Valliant et Elliott (2018) suggèrent la technique du LASSO pour sélectionner les variables auxiliaires et montrent ses bonnes propriétés.

Il est à noter que le prédicteur ${\widehat{\theta }}^{\text{BLUP}}$ se réduit à l’estimateur naïf, ${\widehat{\theta }}^{\text{NP}},$ dans le cas le plus simple possible où on ne considère qu’une seule variable auxiliaire constante : $x_k=1,$ $k\in U.$ L’estimateur naïf est habituellement fortement biaisé. Son biais peut être réduit considérablement si on peut subdiviser la population $U$ en $H$ poststrates, $U_h,$ $h=1,\dots ,H,$ disjointes et exhaustives, de taille $N_h.$ On postule alors le modèle de poststratification, $E\left(y_k|X\right)={\beta }_h,$ $k\in U_h,$ qui est un cas particulier important du modèle linéaire ci-dessus. En supposant la variance $\mathrm{var}\left(y_k|X\right)$ constante pour $k\in U_h,$ le prédicteur ${\widehat{\theta }}^{\text{BLUP}}$ s’écrit : ${\widehat{\theta }}^{\text{BLUP}}={\displaystyle {\sum }_{h=1}^H{N}_h{\widehat{\beta }}_h},$ où ${\widehat{\beta }}_h={\displaystyle {\sum }_{k\in s_{\text{NP}\text{},h}}{y}_k/n_h^{\text{NP}}},$ $s_{\text{NP},h}$ est l’ensemble des unités de $U_h$ qui font partie de l’échantillon $s_{\text{NP}}$ et $n_h^{\text{NP}}$ est la taille de $s_{\text{NP}\text{},h}.$ Si les tailles de population $N_h$ sont inconnues, elles peuvent être remplacées par des estimations, ${\widehat{N}}_h={\displaystyle {\sum }_{k\in s_{P\text{},h}}{w}_k},$ provenant d’une enquête probabiliste, où $s_{P\text{},h}$ est l’ensemble des unités de $U_h$ qui font partie de l’échantillon $s_P.$ Les arbres de régression pourraient s’avérer une approche intéressante pour la formation de poststrates, particulièrement quand les variables auxiliaires sont catégorielles.

Si plusieurs variables auxiliaires catégorielles sont disponibles, il peut être utile de former un grand nombre de poststrates pour réduire le biais de sélection. Si un trop grand nombre de variables auxiliaires sont croisées, les tailles d’échantillon $n_h^{\text{NP}}$ pourraient devenir très petites rendant ainsi les estimateurs ${\widehat{\beta }}_h$ très instables. Gelman et Little (1997) suggèrent l’utilisation d’un modèle de régression à plusieurs niveaux pour obtenir des estimateurs ${\tilde{\beta }}_h$ plus stables que ${\widehat{\beta }}_h.$ Ils considèrent ensuite le prédicteur poststratifié: ${\widehat{\theta }}^{\text{MRP}}={\displaystyle {\sum }_{h=1}^H{N}_h{\tilde{\beta }}_h}.$ La méthode est connue de nos jours sous le nom de Mr.P ou MRP (Multilevel Regression and Poststratification); voir, par exemple, Mercer et coll. (2017). Une approche similaire consisterait à utiliser des méthodes d’estimation sur petits domaines (Rao et Molina, 2015) pour stabiliser les estimateurs ${\widehat{\beta }}_h.$ Bien que de telles méthodes soient susceptibles de produire des estimations beaucoup plus précises de la moyenne de la variable $y$ sur la population $U_h,$ il reste à déterminer si de telles méthodes peuvent produire des gains d’efficacité significatifs pour l’estimation du total global $\theta$ par rapport au simple prédicteur poststratifié ${\widehat{\theta }}^{\text{BLUP}}={\displaystyle {\sum }_{h=1}^H{N}_h{\widehat{\beta }}_h}.$ Il semble que les arbres de régression fournissent une autre façon de contrôler l’instabilité des estimateurs ${\widehat{\beta }}_h$ puisqu’un critère est habituellement utilisé pour éviter une subdivision trop fine de la population. Ces différentes méthodes méritent d’être investiguées plus en profondeur dans la recherche future. L’estimation précise des tailles de population $N_h,$ si elles ne sont pas connues, est également un problème à ne pas négliger quand la population est divisée en un grand nombre de poststrates.

4.2  Appariement statistique

L’appariement statistique, ou la fusion de données, est une approche qui a été développée pour combiner les données de deux sources différentes qui contiennent des variables propres à chaque source mais aussi des variables communes. On réfère le lecteur à D’Orazio, Di Zio et Scanu (2006) ou Rässler (2012) pour une revue des méthodes d’appariement statistique. Dans le contexte de cet article, l’appariement statistique consiste à modéliser la relation entre $y_k$ et les variables auxiliaires $x_k,$ communes aux deux sources, en utilisant les données de l’échantillon non probabiliste. Tout comme dans l’approche par calage, on doit faire l’hypothèse que le mécanisme de sélection de l’échantillon non probabiliste n’est pas informatif et choisir les variables auxiliaires judicieusement pour rendre l’hypothèse 3 la plus plausible possible. Une fois qu’un modèle a été déterminé, on l’utilise pour prédire les valeurs de $y$ dans un échantillon probabiliste. On peut voir l’appariement statistique comme un problème d’imputation avec un taux d’imputation de 100 %. Le prédicteur de $\theta ,$ obtenu à partir de l’échantillon probabiliste, prend la forme : ${\widehat{\theta }}^{\text{SM}}={\displaystyle {\sum }_{k\in s_P}{w}_k{y}_k^{\text{imp}}},$ où $y_k^{\text{imp}}$ est la valeur imputée pour l’unité $k\in s_P.$ Tout comme pour le calage, les inférences sont conditionnelles à $\delta$ et $X.$ L’hypothèse 3, dans un contexte d’appariement statistique, peut être vue comme l’analogue de l’hypothèse Population Missing At Random (PMAR) introduite par Berg, Kim et Skinner (2016) dans un contexte de non-réponse.

Si le modèle de régression linéaire $E\left(y_k|X\right)=x_k^{\prime }\beta$ est utilisé alors la valeur imputée pour l’unité $k\in s_P$ est $y_k^{\text{imp}}=x_k^{\prime }\widehat{\beta }$ et le prédicteur résultant est donné par ${\widehat{\theta }}^{\text{SM}}={\widehat{T}}_x^{\prime }\widehat{\beta }.$ Si les hypothèses 1 à 3 sont satisfaites et $E\left({\widehat{T}}_x|{\Omega }_P\right)=T_x,$ l’appariement statistique produit un prédicteur, ${\widehat{\theta }}^{\text{SM}},$ sans biais, c’est-à-dire que $E\left({\widehat{\theta }}^{\text{SM}}-\theta |\delta ,X\right)=0.$ De plus, si $v_k=x_k^{\prime }\lambda ,$ pour un certain vecteur connu $\lambda ,$ on peut montrer que ${\displaystyle {\sum }_{k\in s_{\text{NP}}}\left(y_k-x_k^{\prime }\widehat{\beta }\right)}=0$ et le prédicteur ${\widehat{\theta }}^{\text{SM}}$ est équivalent au prédicteur ${\widehat{\theta }}^{\text{BLUP}}$ si on remplace $T_x$ dans (4.1) par ${\widehat{T}}_x.$ On peut aussi montrer que pour un modèle de poststratification où on impute $y_k,$ $k\in s_{P\text{},h},$ par $y_k^{\text{imp}}={\widehat{\beta }}_h,$ le prédicteur ${\widehat{\theta }}^{\text{SM}}$ se réduit à ${\widehat{\theta }}^{\text{SM}}={\displaystyle {\sum }_{h=1}^H{\widehat{N}}_h{\widehat{\beta }}_h}.$ L’appariement statistique et le calage produisent donc des prédicteurs semblables, même identiques dans certains cas, lorsqu’un modèle linéaire est postulé et que les totaux $T_x$ sont estimés.

Le choix entre l’appariement statistique ou le calage peut dépendre du point de vue de l’utilisateur. Par exemple, si c’est le contenu de la source non probabiliste, en termes de variables d’intérêt, qui est pertinent pour l’utilisateur, alors il semble naturel de pondérer l’échantillon non probabiliste pour ainsi espérer réduire le biais de sélection pour toutes les variables d’intérêt. La technique du calage est un choix évident pour obtenir une telle pondération tout comme les méthodes de la section 4.3. À l’opposé, si c’est plutôt le contenu de l’enquête probabiliste qui est pertinent, alors l’appariement statistique est le choix approprié. Cette méthode permet d’enrichir l’enquête probabiliste en imputant les variables d’intérêt manquantes.

L’appariement statistique se généralise facilement au cas de modèles non linéaires ou non paramétriques tels que $E\left(y_k|X\right)=h\left(x_k\right).$ Les valeurs imputées $y_k^{\text{imp}}$ sont simplement obtenues en prédisant les valeurs manquantes $y_k,$ $k\in s_P,$ au moyen du modèle choisi. Le prédicteur ${\widehat{\theta }}^{\text{SM}}={\displaystyle {\sum }_{k\in s_P}{w}_k{y}_k^{\text{imp}}}$ reste sans biais si les hypothèses 1 à 3 sont satisfaites et si $E\left(y_k^{\text{imp}}-y_k|\delta ,X\right)=0.$ L’imputation par donneur ou par le plus proche voisin est une méthode d’imputation non paramétrique fréquemment utilisée pour traiter la non-réponse (voir, par exemple, Beaumont et Bocci, 2009) qui ne requiert pas une relation linéaire entre $y_k$ et $x_k.$ Dans le contexte de l’appariement d’un échantillon non probabiliste à un échantillon probabiliste, l’imputation par donneur a été popularisée par Rivers (2007). Pour une unité donnée $k\in s_P,$ la méthode consiste à trouver le donneur le plus proche, selon les variables auxiliaires $x,$ parmi les unités de l’échantillon non probabiliste et à remplacer la valeur manquante $y_k$ par la valeur de la variable $y$ de ce donneur. Pour l’imputation par donneur, la condition $E\left(y_k^{\text{imp}}-y_k|\delta ,X\right)=0$ est satisfaite si, pour chaque receveur $k\in s_P,$ le donneur a exactement les même valeurs du vecteur $x$ que le receveur. Lorsqu’une ou plusieurs variables auxiliaires sont continues, cette condition n’est satisfaite qu’asymptotiquement en général. Un échantillon non probabiliste de très grande taille fournit un grand bassin de donneurs, ce qui devrait aider à satisfaire approximativement cette condition.

Remarque : Dans certaines applications, on peut avoir accès à un très grand panel non probabiliste de volontaires, $s_{\text{NP}},$ qui contient quelques variables auxiliaires pour l’appariement, $x,$ mais aucune variable d’intérêt. Idéalement, les variables d’intérêt seraient recueillies pour toutes les unités du panel $s_{\text{NP}}$ mais ce n’est pas possible en raison du coût et du fardeau sur les membres du panel. En pratique, on choisira donc un sous-échantillon $s_{\text{NP}}^{*}$ de $s_{\text{NP}}$ en utilisant des méthodes d’échantillonnage aléatoires ou non. L’échantillonnage par quotas (ex.: Deville, 1991) est souvent considéré dans ce contexte. En plus de recueillir les variables d’intérêt pour toutes les unités de $s_{\text{NP}}^{*},$ on pourrait aussi vouloir recueillir d’autres variables auxiliaires pour l’appariement afin d’enrichir le vecteur $x.$ L’appariement peut ensuite être effectué à l’échantillon probabiliste, souvent de beaucoup plus petite taille, pourvu que ce dernier contienne les mêmes variables auxiliaires que celles du sous-échantillon non probabiliste $s_{\text{NP}}^{*}.$ En choisissant judicieusement les variables auxiliaires pour l’appariement, le potentiel de réduction du biais est accru (Schonlau et Cooper, 2017). L’implémentation proposée par Rivers (2007) est légèrement différente. Rivers (2007) suggère d’effectuer l’appariement entre l’échantillon probabiliste et le panel $s_{\text{NP}}$ en utilisant les variables auxiliaires disponibles dans les deux sources. La collecte des variables d’intérêt se fait uniquement sur l’ensemble des donneurs dans $s_{\text{NP}}$ qui ont été appariés à une unité de l’échantillon probabiliste ce qui permet de réduire considérablement les coûts de collecte et le fardeau. L’hypothèse implicite est que les membres du panel, étant initialement des volontaires, sont plus susceptibles de répondre que des individus choisis au hasard dans la population. Évidemment, la non-réponse est inévitable et ce problème doit être traité, possiblement par imputation. L’avantage de cette méthode est que l’appariement se fait à partir du panel $s_{\text{NP}}$ plutôt que d’un sous-échantillon de ce panel. Le bassin de donneurs est donc plus grand. En contrepartie, l’appariement ne peut pas être effectué en utilisant le vecteur enrichi de variables auxiliaires car il n’est pas disponible pour les unités de $s_{\text{NP}},$ ce qui limite le potentiel de réduction du biais.

Lavallée et Brisbane (2016) notent le lien entre l’appariement statistique et l’échantillonnage indirect (Lavallée, 2007; Deville et Lavallée, 2006). Ils proposent un estimateur qui est obtenu en imputant chaque valeur manquante $y_k,$ $k\in s_P,$ par une moyenne pondérée des valeurs $y$ de donneurs proches. En réalité, leur estimateur peut également être obtenu de façon équivalente en imputant les valeurs manquantes au moyen de la méthode d’imputation fractionnelle par donneur (par exemple, Kim et Fuller, 2004). L’utilisation de plus d’un donneur pour imputer les valeurs manquantes permet une réduction de variance quoique typiquement modeste.

Plusieurs des méthodes d’imputation utilisées en pratique peuvent être considérées comme étant linéaires (Beaumont et Bissonnette, 2011). C’est le cas de l’imputation par la régression linéaire, de l’imputation par donneur et de l’imputation fractionnelle par donneur. Une méthode d’imputation est dite linéaire si la valeur imputée $y_k^{\text{imp}},$ $k\in s_P,$ peut être écrite sous le forme $y_k^{\text{imp}}={\displaystyle {\sum }_{l\in s_{\text{NP}}}{\omega }_{kl}{y}_l},$ où ${\omega }_{kl}$ est une fonction de $\delta$ ou $X$ mais pas de $Y.$ Par exemple, pour l’imputation par donneur ou plus proche voisin, ${\omega }_{kl}=1$ si l’unité $l\in s_{\text{NP}}$ est donneuse pour l’unité receveuse $k\in s_P;$ sinon, ${\omega }_{kl}=0.$ Pour une méthode d’imputation linéaire, on peut réécrire l’estimateur ${\widehat{\theta }}^{\text{SM}}={\displaystyle {\sum }_{k\in s_P}{w}_k{y}_k^{\text{imp}}}$ comme une somme pondérée sur l’échantillon non probabiliste : ${\widehat{\theta }}^{\text{SM}}={\displaystyle {\sum }_{l\in s_{\text{NP}}}{W}_l{y}_l},$ où $W_l={\displaystyle {\sum }_{k\in s_P}{w}_k{\omega }_{kl}}.$ Pour les méthodes d’imputation linéaire, l’appariement statistique est donc une alternative au calage et aux méthodes de la section 4.3 si l’objectif est de pondérer adéquatement l’échantillon non probabiliste.

Jusqu’à maintenant, nous n’avons considéré que l’estimation du total $\theta ={\displaystyle {\sum }_{k\in U}{y}_k}.$ L’échantillon probabiliste contient cependant d’autres variables et on pourrait être intéressé à la relation entre deux ou plusieurs variables, certaines provenant de l’enquête probabiliste et d’autres étant imputées à partir de l’échantillon non probabiliste. À des fins d’exemple, supposons qu’on veuille estimer le total $\theta ={\displaystyle {\sum }_{k\in U}{\tilde{y}}_k{y}_k},$ où ${\tilde{y}}_k$ est une variable qui est recueillie par l’enquête probabiliste mais non disponible dans l’échantillon non probabiliste. Elle pourrait, par exemple, définir l’appartenance à un domaine d’intérêt. On peut utiliser l’appariement statistique pour estimer ce paramètre par ${\widehat{\theta }}^{\text{SM}}={\displaystyle {\sum }_{k\in s_P}{w}_k{\tilde{y}}_k{y}_k^{\text{imp}}}.$ Notons par $\tilde{Y},$ le vecteur qui contient les valeurs de la variable ${\tilde{y}}_k,$ $k\in U.$ On peut montrer que ${\widehat{\theta }}^{\text{SM}}$ est sans biais, $E\left({\widehat{\theta }}^{\text{SM}}-\theta |\delta ,X,\tilde{Y}\right)=0,$ si les hypothèses 1 à 3 sont satisfaites en plus de l’hypothèse suivante :

Hypothèse 4 : $Y$ et $\tilde{Y}$ sont indépendants après avoir conditionné sur $\delta$ et $X.$

L’hypothèse 4 est connue comme étant l’hypothèse d’indépendance conditionnelle dans la littérature sur l’appariement statistique.

4.3  Pondération par l’inverse du score de propension

Au lieu de modéliser la relation entre $y_k$ et $x_k,$ on peut modéliser la relation entre ${\delta }_k$ et $x_k.$ L’avantage principal de cette approche est de simplifier l’effort de modélisation quand il y a plusieurs variables d’intérêt puisqu’il n’y a toujours qu’une seule variable ${\delta }_k$. Avec cette approche, les inférences sont conditionnelles à $Y$ et $X$ et on suppose habituellement que l’hypothèse 3 est valide de telle sorte que $\mathrm{Pr}\left({\delta }_k=1|Y,X\right)=\mathrm{Pr}\left({\delta }_k=1|X\right).$ On estime ensuite la probabilité de participation $p_k=\mathrm{Pr}\left({\delta }_k=1|X\right)$ par ${\widehat{p}}_k$ et on calcule l’estimation ${\widehat{\theta }}^{\text{PS}}={\displaystyle {\sum }_{k\in s_{\text{NP}}}{w}_k^{\text{PS}}{y}_k},$ où $w_k^{\text{PS}}=1/{\widehat{p}}_k.$ On doit faire l’hypothèse que $p_k>0,$ $k\in U.$ Elle est appelée l’hypothèse de positivité par Mercer et coll. (2017). Elle peut également être requise dans les approches par calage et par appariement statistique. Par exemple, on pourrait observer des poststrates vides $\left(n_h^{\text{NP}}=0\right)$ si elle n’est pas satisfaite. Pour corriger ce problème, on regroupe généralement ces poststrates vides avec d’autres poststrates non vides. Un tel regroupement peut compromettre la validité de l’hypothèse 3 si les poststrates regroupées sont différentes.

L’estimation de $p_k$ peut être effectuée en postulant un modèle paramétrique $p_k=g\left(x_k;\alpha \right),$ où $g$ est une certaine fonction, normalement bornée par 0 et 1, et $\alpha$ est un vecteur de paramètres inconnus du modèle. La fonction logistique $g\left(x_k;\alpha \right)=\exp \left(x_k^{\prime }\alpha \right)/\left[1+\exp \left(x_k^{\prime }\alpha \right)\right]$ domine dans les applications (voir Kott, 2019, pour une application récente). On note l’estimateur de $\alpha$ par $\widehat{\alpha }$ et la probabilité estimée par ${\widehat{p}}_k=g\left(x_k;\widehat{\alpha }\right).$ Idéalement, on estimerait $\alpha$ en utilisant $x_k$ pour toutes les unités de la population $U$ comme on le ferait dans un contexte de non-réponse. Par exemple, en supposant l’utilisation de la fonction logistique, on pourrait estimer $\alpha$ en résolvant l’équation du maximum de vraisemblance

$${\displaystyle {\sum }_{k\in U}\left[{\delta }_k-p_k\left(\alpha \right)\right]x_k}={\displaystyle {\sum }_{k\in s_{\text{NP}}}{x}_k}-{\displaystyle {\sum }_{k\in U}{p}_k\left(\alpha \right)x_k=}0.(4.3)$$

Ce n’est pas possible quand $x_k$ n’est pas connu pour toutes les unités $k\in U-s_{\text{NP}},$ ce qui est presque toujours le cas en pratique. Iannacchione, Milne et Folsom (1991) ont proposé une autre équation d’estimation sans biais pour $\alpha$ (voir aussi Deville et Dupont, 1993) :

$${\displaystyle {\sum }_{k\in s_{\text{NP}}}\frac{x_k}{p_k\left(\alpha \right)}}-{\displaystyle {\sum }_{k\in U}{x}_k}=0.(4.4)$$

L’avantage principal de l’équation (4.4) est qu’elle ne requiert pas de connaître $x_k$ pour chaque unité $k\in U-s_{\text{NP}}.$ Il faut toutefois avoir accès au vecteur de totaux ${\displaystyle {\sum }_{k\in U}{x}_k}$ à partir d’une source externe. Une propriété intéressante de l’équation (4.4) est que les poids résultants $w_k^{\text{PS}}=1/p_k\left(\widehat{\alpha }\right)$ satisfont l’équation de calage ${\displaystyle {\sum }_{k\in s_{\text{NP}}}{w}_k^{\text{PS}}{x}_k}={\displaystyle {\sum }_{k\in U}{x}_k}$ tout comme les poids $w_k^C$ de l’équation (4.2). On peut d’ailleurs montrer que la solution de (4.4) donne $w_k^{\text{PS}}=w_k^C$ si on utilise le modèle $p_k\left(\alpha \right)={\left(1+v_k^{-1}{x}_k^{\prime }\alpha \right)}^{-1}.$ C’est toutefois un modèle moins naturel que le modèle logistique ci-dessus pour la modélisation d’une probabilité.

Pour contourner le problème des valeurs manquantes $x_k,$ $k\in U-s_{\text{NP}},$ Chen et coll. (2019) suggèrent d’estimer ${\displaystyle {\sum }_{k\in U}{p}_k\left(\alpha \right)x_k}$ dans (4.3) au moyen d’une enquête probabiliste. L’équation à résoudre devient :

$${\displaystyle {\sum }_{k\in s_{\text{NP}}}{x}_k}-{\displaystyle {\sum }_{k\in s_P}{w}_k{p}_k\left(\alpha \right)x_k}=0.(4.5)$$

L’équation (4.5) est sans biais conditionnellement à $Y$ et $X$ pourvu que l’enquête probabiliste permette d’estimer sans biais, conditionnellement à $Y$ et $\Omega ,$ n’importe quel total de population qui n’est pas une fonction de $\delta$ tel que ${\displaystyle {\sum }_{k\in U}{p}_k\left(\alpha \right)x_k}.$ Les hypothèses 1 et 3 sont requises mais pas l’hypothèse 2. En utilisant l’idée de Iannacchione et coll. (1991), une alternative à (4.5) consiste à résoudre :

$${\displaystyle {\sum }_{k\in s_{\text{NP}}}\frac{x_k}{p_k\left(\alpha \right)}}-{\displaystyle {\sum }_{k\in s_P}{w}_k{x}_k}=0.(4.6)$$

L’équation (4.6) produit des poids $w_k^{\text{PS}}=1/p_k\left(\widehat{\alpha }\right)$ qui satisfont l’équation de calage ${\displaystyle {\sum }_{k\in s_{\text{NP}}}{w}_k^{\text{PS}}{x}_k}={\displaystyle {\sum }_{k\in s_P}{w}_k{x}_k}$ (voir également Lesage, 2017; et Rao, 2020). Les estimateurs de $\alpha$ obtenus au moyen de (4.5) ou (4.6) sont vraisemblablement moins efficaces que ceux obtenus au moyen de (4.3) ou (4.4). Si on connaît $x_k,$ $k\in U-s_{\text{NP}},$ ou le vecteur ${\displaystyle {\sum }_{k\in U}{x}_k}$ alors on privilégiera l’utilisation de (4.3) ou (4.4). Autrement, on se tournera vers (4.5) ou (4.6). Ces dernières requièrent toutefois que $x_k$ soit recueilli dans une enquête probabiliste. Il est à noter que les indicateurs ${\delta }_k$ n’ont pas besoin d’être observés dans l’échantillon probabiliste.

Les équations (4.5) et (4.6) peuvent être plus difficiles à résoudre que les équations (4.3) et (4.4) et pourraient ne pas avoir de solutions. Prenons par exemple le cas où on a une seule variable auxiliaire : $x_k=1.$ En utilisant (4.5) ou (4.6), on observe que la probabilité estimée doit être : ${\widehat{p}}_k=n^{\text{NP}}/{\displaystyle {\sum }_{k\in s_P}{w}_k}.$ Si la taille de l’échantillon probabiliste est assez grande, on s’attend à ce que $0<{\widehat{p}}_k<1.$ Pour de petites tailles d’échantillon, il pourrait arriver que ${\widehat{p}}_k>1$ dû à la variabilité de ${\displaystyle {\sum }_{k\in s_P}{w}_k}.$ Dans ce cas, les équations (4.5) et (4.6) n’auraient pas de solution si la fonction logistique est utilisée puisqu’elle exige que $0<{\widehat{p}}_k<1.$ Pour éviter ce problème, il pourrait être utile de considérer d’autres fonctions non bornées par 1 telle que $g\left(x_k;\alpha \right)=\exp \left(x_k^{\prime }\alpha \right).$

Kim et Wang (2019) proposent d’utiliser l’échantillon probabiliste pour estimer la probabilité de participation. En supposant la fonction logistique, l’équation à résoudre est :

$${\displaystyle {\sum }_{k\in s_P}{w}_k\left[{\delta }_k-p_k\left(\alpha \right)\right]x_k=}{\displaystyle {\sum }_{k\in s_P}{w}_k{\delta }_k{x}_k}-{\displaystyle {\sum }_{k\in s_P}{w}_k{p}_k\left(\alpha \right)x_k=}0.$$

La méthode requiert de connaître les indicateurs ${\delta }_k$ dans l’échantillon probabiliste et la validité des hypothèses 1, 2 et 3 pour que l’équation d’estimation soit sans biais. De plus, l’échantillon probabiliste est habituellement de petite taille en comparaison à l’échantillon non probabiliste et il peut être numériquement difficile d’estimer $\alpha ,$ particulièrement quand le vecteur $x_k$ contient beaucoup de variables et que le chevauchement entre les deux échantillons est petit.

Lee (2006), voir aussi Rivers (2007), Valliant et Dever (2011) et Elliott et Valliant (2017), propose de combiner les deux échantillons et d’estimer ensuite $p_k$ au moyen d’une régression logistique. Il semble qu’on y fait l’hypothèse implicite que les deux échantillons ne se chevauchent pas, c’est-à-dire que ${\delta }_k=0$ pour toutes les unités dans $s_P.$ En utilisant encore la fonction logistique, l’équation d’estimation qui en résulte est :

$${\displaystyle {\sum }_{k\in s_{\text{NP}}}{\eta }_k^{\text{NP}}\left[1-p_k\left(\alpha \right)\right]x_k}-{\displaystyle {\sum }_{k\in s_P}{w}_k{p}_k\left(\alpha \right)x_k=}0,(4.7)$$

où ${\eta }_k^{\text{NP}}$ est un certain poids pour les unités de l’échantillon non probabiliste. La méthode est un peu similaire à celle de Chen et coll. (2019) mais l’équation d’estimation (4.7) n’est pas sans biais, conditionnellement à $Y$ et $X,$ contrairement aux équations (4.5) et (4.6). Cependant, si on pose ${\eta }_k^{\text{NP}}=1$ et si $\max \left\{p_k;k\in U\right\}$ est petit alors l’équation (4.7) devient approximativement équivalente à l’équation (4.5). Lee (2006) n’utilise toutefois pas directement les probabilités estimées découlant de (4.7). L’auteur les utilise seulement pour ordonner l’union des deux échantillons et ensuite créer des classes homogènes. L’utilisation de classes homogènes apporte une certaine robustesse par rapport à une mauvaise spécification du modèle et peut aider à éviter des probabilités estimées très petites et ainsi des poids très grands. Dans le contexte de la non-réponse, la formation de classes homogènes d’imputation ou de repondération a été étudiée, entre autres, par Little (1986), Eltinge et Yansaneh (1997) et Haziza et Beaumont (2007). Haziza et Lesage (2016) illustrent la robustesse de la méthode quand la fonction $g\left(x_k;\alpha \right)$ est incorrectement spécifiée. La méthode est utilisée régulièrement dans les enquêtes de Statistique Canada pour le traitement de la non-réponse.

Plutôt que d’utiliser (4.7), la formation de classes homogènes pourrait être effectuée en partant des équations non biaisées (4.5) ou (4.6). Notons ces probabilités estimées initiales par ${\widehat{p}}_k^0=g\left(x_k;\widehat{\alpha }\right).$ L’échantillon $s=s_P\cup s_{\text{NP}}$ est ensuite ordonné selon ${\widehat{p}}_k^0$ et réparti en $C$ classes homogènes de tailles égales ou non. Notons par $s_{P\text{},c},$ l’ensemble des unités de $s_P$ qui font partie de la classe $c.$ L’ensemble des unités de $s_{\text{NP}}$ qui font partie de la classe $c$ est noté par $s_{\text{NP}\text{},c}.$ Le poids $w_k^{\text{PS}}$ pour une unité $k\in s_{\text{NP}\text{},c}$ est égal à l’inverse du taux de participation estimé dans la classe $c$ et est donné par $w_k^{\text{PS}}={\widehat{N}}_c/n_c^{\text{NP}},$ où ${\widehat{N}}_c={\displaystyle {\sum }_{k\in s_{P\text{},c}}{w}_k}$ et $n_c^{\text{NP}}$ est le nombre d’unités dans $s_{\text{NP}\text{},c}.$ Ce poids assure la propriété de calage : ${\displaystyle {\sum }_{k\in s_{\text{NP}\text{},c}}{w}_k^{\text{PS}}}={\widehat{N}}_c.$ Le nombre de classes doit être suffisamment grand pour capturer un fort pourcentage de la variabilité des probabilités initiales ${\widehat{p}}_k^0$ et ainsi permettre de réduire le biais. En contrepartie, il ne doit pas être trop grand pour éviter que certaines classes deviennent vides car les poids $w_k^{\text{PS}}={\widehat{N}}_c/n_c^{\text{NP}}$ ne peuvent pas être calculés si $n_c^{\text{NP}}=0.$ Les arbres de régression peuvent s’avérer une alternative efficace pour la formation de classes. Dans un contexte de non-réponse, ils ont été étudié par Phipps et Toth (2012). L’estimateur ${\widehat{\theta }}^{\text{PS}}={\displaystyle {\sum }_{k\in s_{\text{NP}}}{w}_k^{\text{PS}}{y}_k}$ obtenu en faisant des classes homogènes a exactement la même forme que l’estimateur poststratifié décrit dans l’approche par calage à la section 4.1, la seule différence étant que les classes sont construites en modélisant ${\delta }_k$ plutôt que $y_k.$

L’hypothèse 3 peut ne pas être réaliste dans certains contextes de telle sorte que $\mathrm{Pr}\left({\delta }_k=1|Y,X\right)\ne \mathrm{Pr}\left({\delta }_k=1|X\right).$ Dans ce cas, on pourrait vouloir modéliser la probabilité de participation $p_k=\mathrm{Pr}\left({\delta }_k=1|Y,X\right)$ au moyen d’un vecteur de variables explicatives $x_k^{*},$ définies en utilisant la variable d’intérêt $y_k$ (ou les variables d’intérêt s’il y en a plusieurs) et possiblement d’autres variables auxiliaires $x_k.$ On peut considérer un modèle paramétrique, $p_k=g\left(x_k^{*};\alpha \right),$ pour modéliser la probabilité de participation. Les équations (4.5) et (4.6) ne peuvent pas être utilisées pour estimer $\alpha$ parce que $y_k$ (et par conséquent $x_k^{*})$ n’est pas disponible dans l’échantillon probabiliste. On peut toutefois utiliser une équation similaire à (4.6) :

$${\displaystyle {\sum }_{k\in s_{\text{NP}}}\frac{x_k^I}{g\left(x_k^{*};\alpha \right)}}-{\displaystyle {\sum }_{k\in s_P}{w}_k{x}_k^I}=0.(4.8)$$

Le vecteur $x_k^I,$ de même dimension que $\alpha ,$ contient des variables de calage, aussi appelées variables instrumentales dans la littérature économétrique. On va noter par $X^I,$ la matrice qui contient les valeurs du vecteur $x_k^I,$ $k\in U.$ L’équation (4.8) requiert de connaître les variables de calage $x_k^I$ pour les deux échantillons. Par contre, les variables explicatives $x_k^{*}$ peuvent n’être observées que pour les unités de l’échantillon non probabiliste. L’équation (4.8) produit des poids $w_k^{\text{PS}}=1/g\left(x_k^{*};\widehat{\alpha }\right)$ qui satisfont l’équation de calage ${\displaystyle {\sum }_{k\in s_{\text{NP}}}{w}_k^{\text{PS}}{x}_k^I}={\displaystyle {\sum }_{k\in s_P}{w}_k{x}_k^I}.$ Une équation similaire à (4.8) a été initialement proposée par Deville (1998) pour traiter la non-réponse (voir aussi Kott, 2006; et Haziza et Beaumont, 2017). L’équation (4.8) est sans biais, conditionnellement à $Y,$ $X$ et $X^I,$ si les variables instrumentales $x_k^I$ peuvent être choisies de telle sorte que l’hypothèse suivante est satisfaite :

Hypothèse 5 : $\delta$ et $X^I$ sont indépendants après avoir conditionné sur $Y$ et $X.$

L’hypothèse 3 n’est plus requise mais elle est remplacée par une autre hypothèse. Le choix de variables instrumentales $x_k^I$ qui satisfont l’hypothèse 5 n’est pas toujours évident en pratique. Elles ne doivent pas être prédictives de ${\delta }_k$ après avoir conditionné sur $x_k^{*}.$ Idéalement, pour des raisons d’efficacité, les variables instrumentales sont choisies de telle sorte qu’elles soient prédictives de $x_k^{*}$ tout en ne compromettant pas l’hypothèse 5. Contrairement aux équations (4.5) et (4.6), l’équation (4.8) ne permet pas la formation de classes homogènes parce que les probabilités de participation ${\widehat{p}}_k=g\left(x_k^{*};\widehat{\alpha }\right)$ ne peuvent pas être calculées pour les unités de l’échantillon probabiliste. On perd ainsi la propriété de robustesse qui vient avec l’utilisation de classes homogènes. En raison de ces inconvénients, l’équation (4.8) ne devrait être considérée que lorsqu’on a de fortes raisons de croire que l’hypothèse 3 n’est pas appropriée.

Une fois que des poids $w_k^{\text{PS}}$ ont été calculés selon une des méthodes de cette section, il est toujours possible de les rajuster en faisant un calage. L’objectif de ce calage est d’améliorer la précision de l’estimateur ${\widehat{\theta }}^{\text{PS}}$ et aussi d’obtenir une propriété de double robustesse (voir Chen et coll., 2019).

En général, on va observer la variable $y$ pour tout l’échantillon non probabiliste et on peut utiliser l’estimateur pondéré par l’inverse du score de propension, ${\widehat{\theta }}^{\text{PS}}={\displaystyle {\sum }_{k\in s_{\text{NP}}}{w}_k^{\text{PS}}{y}_k},$ ou un estimateur pondéré obtenu par calage ou par appariement statistique. Il peut arriver que l’échantillon non probabiliste soit trop volumineux et que la variable $y$ ne puisse être recueillie que pour un sous-échantillon de $s_{\text{NP}}.$ L’échantillonnage par quotas (ex.: Deville, 1991) est une méthode fréquemment utilisée pour tirer le sous-échantillon si des variables auxiliaires sont disponibles pour $k\in s_{\text{NP}}.$ Une alternative à l’échantillonnage par quotas est de calculer les poids $w_k^{\text{PS}}$ pour tout l’échantillon non probabiliste et ensuite de les utiliser pour sélectionner un sous-échantillon aléatoire avec probabilités proportionnelles aux poids. La variable $y$ ne sera recueillie que pour le sous-échantillon et les estimations pourront être obtenues comme si le sous-échantillon avait été tiré de la population selon un plan à probabilités égales. Cette approche s’appelle l’échantillonnage inverse dans la littérature sur les sondages probabilistes (voir, par exemple, Hinkins, Oh et Scheuren, 1997; ou Rao, Scott et Benhin, 2003) et a été proposée par Kim et Wang (2019) dans le cas des échantillons non probabilistes.

4.4  Estimation sur petits domaines

Dans la plupart des enquêtes, on s’intéresse non seulement à estimer le total de la variable $y$ pour toute la population $U$ mais également pour différents sous-groupes de la population appelés domaines. Les enquêtes probabilistes menées par les agences nationales de statistique produisent généralement des estimations fiables pour des domaines qui contiennent suffisamment d’unités échantillonnées. Leur biais est contrôlé par les différentes procédures d’échantillonnage et de collecte et leur variance est typiquement assez petite pour être en mesure de tirer des conclusions justes. Lorsque le domaine d’intérêt contient peu d’unités échantillonnées, les estimations de l’enquête peuvent devenir si instables qu’elles en deviennent inutilisables même quand leur biais demeure contrôlé. Pour pallier à un manque de données dans un domaine d’intérêt, on peut considérer l’utilisation de méthodes d’estimation sur petits domaines. Ces méthodes compensent le manque de données observées dans un domaine par des hypothèses de modèle qui relient des données auxiliaires aux données de l’enquête. Deux types de modèle sont fréquemment utilisés : les modèles au niveau des unités et les modèles au niveau des domaines. Le modèle au niveau des domaines de Fay et Herriot (1979) est sans contredit le plus populaire en pratique. Il requiert la disponibilité de données auxiliaires uniquement au niveau des domaines, contrairement aux modèles au niveau des unités qui nécessitent d’observer les variables auxiliaires pour chaque unité de la population $U.$ On réfère le lecteur à Rao et Molina (2015) pour une excellente couverture des différentes approches. Dans ce qui suit, on se concentre sur le modèle de Fay-Herriot.

Supposons qu’on veuille estimer $D$ totaux, ${\theta }_d={\displaystyle {\sum }_{k\in U_d}{y}_k},$ $d=1,\dots ,D,$ où $U_d$ sont $D$ sous-ensembles disjoints de la population. À partir d’une enquête probabiliste, on peut estimer ${\theta }_d$ par ${\widehat{\theta }}_d={\displaystyle {\sum }_{k\in s_{P\text{},d}}{w}_k{y}_k},$ où $s_{P\text{},d}$ est l’ensemble des unités échantillonnées qui tombent dans le domaine $d.$ On appelle ${\widehat{\theta }}_d$ l’estimateur direct de ${\theta }_d$ car il utilise des valeurs $y_k$ seulement pour des unités appartenant au domaine $d.$ Les techniques d’estimation sur petits domaines mènent généralement à des estimateurs indirects qui combinent les valeurs échantillonnées $y_k$ du domaine $d$ avec des valeurs $y_k$ pour des unités en-dehors du domaine $d.$ On va supposer qu’on a accès à un vecteur de variables auxiliaires disponibles au niveau des domaines et qui proviennent de sources indépendantes de l’échantillon probabiliste. On va noter ce vecteur pour le domaine $d$ par $x_d.$ Par exemple, on pourrait considérer le vecteur $x_d^{\prime }=\left(N_d,N_d{\widehat{\mu }}_d^{\text{NP}}\right),$ où $N_d$ est la taille de population dans le domaine $d,$ ${\widehat{\mu }}_d^{\text{NP}}={\displaystyle {\sum }_{k\in s_{\text{NP}\text{},d}}{y}_k^{*}/n_d^{\text{NP}}}$ est la moyenne de la variable $y^{*}$ dans un échantillon non probabiliste, $s_{\text{NP}\text{},d}$ est l’ensemble des unités de l’échantillon non probabiliste qui tombent dans le domaine $d$ et $n_d^{\text{NP}}$ est la taille de l’échantillon non probabiliste dans le domaine $d.$ Si la taille de population $N_d$ n’est pas connue, on peut la remplacer par une estimation indépendante de l’enquête probabiliste. On va noter par $X,$ la matrice qui contient les valeurs du vecteur $x_d,$ $d=1,\dots ,D.$ Il est à noter que le vecteur $\delta$ est caché dans la matrice $X$ dans cette section.

Le modèle de Fay-Herriot a deux composantes : le modèle d’échantillonnage et le modèle de lien. Le modèle d’échantillonnage est fondé sur l’hypothèse que, conditionnellement à ${\Omega }_P,$ les estimateurs directs ${\widehat{\theta }}_d$ sont indépendants et sans biais, c’est-à-dire que $E\left({\widehat{\theta }}_d|{\Omega }_P\right)={\theta }_d.$ Leur variance par rapport au plan est notée par ${\psi }_d=\mathrm{var}\left({\widehat{\theta }}_d|{\Omega }_P\right).$ Le modèle d’échantillonnage est habituellement écrit sous la forme :

$${\widehat{\theta }}_d={\theta }_d+e_d,(4.9)$$

où $e_d$ est l’erreur d’échantillonnage telle que $E\left(e_d|{\Omega }_P\right)=0$ et $\mathrm{var}\left(e_d|{\Omega }_P\right)={\psi }_d.$ L’hypothèse d’indépendance des estimateurs ${\widehat{\theta }}_d$ (et donc des erreurs d’échantillonnage $e_d)$ peut être mise en doute lorsque les strates ne coïncident pas avec les domaines d’intérêt. La section 8.2 de Rao et Molina (2015) discutent de méthodes pour tenir compte des corrélations dans les erreurs d’échantillonnage. En pratique, on suppose souvent que ces corrélations sont faibles et on les ignore.

Le modèle de lien suppose que, conditionnellement à $X,$ les totaux ${\theta }_d$ sont indépendants, $E\left({\theta }_d|X\right)=x_d^{\prime }\beta$ et $\mathrm{var}\left({\theta }_d|X\right)=b_d^2{\sigma }_v^2,$ où $b_d$ sont des constantes connues utilisées pour contrôler l’hétéroscédasticité, et $\beta$ et ${\sigma }_v^2$ sont des paramètres inconnus du modèle. Le modèle de lien est habituellement écrit sous la forme :

$${\theta }_d=x_d^{\prime }\beta +b_d{v}_d,(4.10)$$

où $v_d$ est l’erreur du modèle telle que $E\left(v_d|X\right)=0$ et $\mathrm{var}\left(v_d|X\right)={\sigma }_v^2.$ Lorsque les paramètres d’intérêt, ${\theta }_d,$ sont des totaux, il est souvent approprié de poser $b_d=N_d.$ À partir de (4.9) et (4.10), on obtient le modèle combiné :

$${\widehat{\theta }}_d=x_d^{\prime }\beta +a_d,(4.11)$$

où $a_d=b_d{v}_d+e_d$ est l’erreur combinée. Lorsqu’on utilise le modèle de Fay-Herriot (4.11), on choisit habituellement de faire les inférences conditionnellement à $X$. On peut facilement montrer que $E\left(a_d|X\right)=0$ et $\mathrm{var}\left(a_d|X\right)=b_d^2{\sigma }_v^2+{\tilde{\psi }}_d,$ où ${\tilde{\psi }}_d=E\left({\psi }_d|X\right)$ est appelée la variance lissée (Beaumont et Bocci, 2016; et Hidiroglou, Beaumont et Yung, 2019).

Supposons maintenant qu’on considère prédire le total ${\theta }_d$ au moyen d’un prédicteur linéaire ${\widehat{\theta }}_d^{\text{LIN}}={\displaystyle {\sum }_{i=1}^D{\lambda }_{di}{\widehat{\theta }}_i},$ où ${\lambda }_{di}$ sont des constantes à déterminer. Un prédicteur linéaire utilise toutes les données de l’échantillon probabiliste pour prédire ${\theta }_d$ et pas seulement celles provenant du domaine $d.$ C’est ainsi qu’il tire son efficacité. Cependant, les prédicteurs linéaires ne sont pas tous appropriés pour la prédiction de ${\theta }_d.$ Une stratégie souvent utilisée pour choisir les constantes ${\lambda }_{di}$ consiste à minimiser la variance de l’erreur de prédiction, $\mathrm{var}\left({\widehat{\theta }}_d^{\text{LIN}}-{\theta }_d|X\right),$ sous la contrainte que le prédicteur doit être sans biais, $E\left({\widehat{\theta }}_d^{\text{LIN}}-{\theta }_d|X\right)=0.$ Le prédicteur résultant, appelé meilleur prédicteur linéaire sans biais, est noté, ${\widehat{\theta }}_d^{\text{BLUP}},$ et peut être écrit sous la forme (voir, par exemple, Rao et Molina, 2015) :

$${\widehat{\theta }}_d^{\text{BLUP}}={\gamma }_d{\widehat{\theta }}_d+\left(1-{\gamma }_d\right)x_d^{\prime }\widehat{\beta },(4.12)$$

où ${\gamma }_d=b_d^2{\sigma }_v^2/\left(b_d^2{\sigma }_v^2+{\tilde{\psi }}_d\right)$ est compris entre 0 et 1 et

$$\widehat{\beta }={\left({\displaystyle \sum _{d=1}^D\frac{x_d{x}_d^{\prime }}{b_d^2{\sigma }_v^2+{\tilde{\psi }}_d}}\right)}^{-1}{\displaystyle \sum _{d=1}^D\frac{x_d}{b_d^2{\sigma }_v^2+{\tilde{\psi }}_d}{\widehat{\theta }}_d}.$$

Le prédicteur (4.12) est une moyenne pondérée de l’estimateur direct ${\widehat{\theta }}_d$ et de la prédiction, $x_d^{\prime }\widehat{\beta },$ souvent appelée l’estimateur synthétique. On donne plus de poids à l’estimateur direct quand la variance lissée, ${\tilde{\psi }}_d,$ est petite par rapport à la variance du modèle de lien, $b_d^2{\sigma }_v^2.$ Le prédicteur ${\widehat{\theta }}_d^{\text{BLUP}}$ est alors semblable à l’estimateur direct. Cette situation survient normalement quand la taille d’échantillon dans le domaine est grande. À l’opposé, si l’estimateur direct est instable et a une grande variance lissée alors on donne plus de poids à l’estimateur synthétique. Si le nombre de domaines est grand, la variance de prédiction de ${\widehat{\theta }}_d^{\text{BLUP}},$ $\mathrm{var}\left({\widehat{\theta }}_d^{\text{BLUP}}-{\theta }_d|X\right),$ est approximativement égale à ${\gamma }_d{\tilde{\psi }}_d.$ Puisque $\mathrm{var}\left({\widehat{\theta }}_d-{\theta }_d|X\right)={\tilde{\psi }}_d,$ la constante ${\gamma }_d$ peut être interprétée comme étant un facteur de réduction de variance obtenu en utilisant ${\widehat{\theta }}_d^{\text{BLUP}}$ plutôt que ${\widehat{\theta }}_d.$ La réduction de variance est donc plus importante quand ${\gamma }_d$ est petit, c’est-à-dire quand l’estimateur direct n’est pas précis. En contrepartie, si le modèle de lien n’est pas correctement spécifié, le risque d’un biais important est plus grand quand ${\gamma }_d$ est petit. Pour mieux comprendre ce point, supposons que le vrai modèle de lien est tel que $E\left({\theta }_d|X\right)=\mu \left(x_d\right)$ pour une certaine fonction $\mu (\cdot ).$ Sous ce modèle, on peut montrer que le biais du prédicteur ${\widehat{\theta }}_d^{\text{BLUP}}$ est donné par

$$E\left({\widehat{\theta }}_d^{\text{BLUP}}-{\theta }_d|X\right)=-\left(1-{\gamma }_d\right)\left(\mu \left(x_d\right)-x_d^{\prime }{\beta }_0\right),(4.13)$$

où

$${\beta }_0={\left({\displaystyle \sum _{d=1}^D\frac{x_d{x}_d^{\prime }}{b_d^2{\sigma }_v^2+{\tilde{\psi }}_d}}\right)}^{-1}{\displaystyle \sum _{d=1}^D\frac{x_d}{b_d^2{\sigma }_v^2+{\tilde{\psi }}_d}\mu \left(x_d\right)}.$$