Les enquêtes probabilistes sont-elles vouées à disparaître pour la production de statistiques officielles ?
Section 2. Contexte

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Une des premières étapes pour répondre à des besoins d’informations est de définir la population cible pour laquelle on désire obtenir ces informations. Nous allons noter cette population cible par $U.$ Ensuite, il faut définir les paramètres d’intérêt, c’est-à-dire ce qu’on veut savoir sur la population cible. En pratique, on est souvent intéressé à estimer un grand nombre de paramètres. Pour simplifier la discussion, nous allons supposer qu’un seul paramètre est d’intérêt : le total de la variable $y,$ $\theta ={\displaystyle {\sum }_{k\in U}{y}_k},$ où $y_k$ est la valeur de la variable $y$ pour l’unité $k$ de la population $U.$ On note par $Y,$ le vecteur contenant les valeurs $y_k$ pour $k\in U.$ Finalement, il faut déterminer un ensemble de procédures qui permettront d’estimer le paramètre $\theta$ en tenant compte de différents facteurs tels que le budget disponible, le fardeau sur les répondants, la précision souhaitée, etc. Au cours de ce processus, il faudra identifier la ou les sources de données qui seront utilisées, probabilistes ou non, et un cadre d’inférence statistique qui permettra d’évaluer les propriétés des estimations produites telles que le biais et la variance.

La séquence ci-dessus, qui consiste d’abord à déterminer la population cible et les paramètres d’intérêt et ensuite les sources de données et les procédures d’estimation, est en accord avec la proposition de Citro (2014). Elle suggère que les agences nationales de statistique déterminent d’abord les besoins d’informations avec les utilisateurs potentiels. Ensuite, elles peuvent travailler à identifier la ou les sources de données qui permettront de répondre à ces besoins tout en préservant une qualité acceptable des estimations, en maintenant les coûts à l’intérieur du budget établi et en contrôlant le fardeau sur les répondants. Il semble préférable d’éviter la procédure inverse, même si tentante, qui consiste d’abord à identifier des sources de données disponibles et ensuite à déterminer artificiellement les besoins en fonction de ce qui peut être produit par ces sources. Une telle procédure ne peut généralement pas permettre de répondre adéquatement aux besoins réels des utilisateurs.

On va supposer qu’on a accès à des données d’une source non probabiliste (ex.: données administratives, données d’une enquête Web, etc.). On observe les valeurs de quelques variables, dont une variable $y^{*},$ pour toutes les unités d’un sous-ensemble de $U,$ noté par $s_{\text{NP}}.$ La variable $y^{*}$ n’est pas nécessairement égale à $y$ à cause de différences conceptuelles et/ou d’erreurs de mesure. On espère au moins qu’il existe une forte association entre les deux variables. On note par ${\delta }_k,$ l’indicateur d’inclusion dans $s_{\text{NP}};$ c’est-à-dire, ${\delta }_k=1$ si l’unité $k$ est dans $s_{\text{NP}}$ et ${\delta }_k=0,$ autrement. Le vecteur des indicateurs d’inclusion ${\delta }_k$ pour $k\in U$ est noté par $\delta .$

On peut aussi avoir accès à des données d’une enquête probabiliste. Pour une telle enquête, un échantillon $s_P$ de la population $U$ est sélectionné aléatoirement avec probabilité $p\left(s_P|Z\right).$ La matrice $Z$ contient des informations disponibles sur la base de sondage qui sont utilisées pour définir le plan de sondage, comme, par exemple, les identificateurs de strates pour chaque unité de la population. Les indicateurs d’inclusion dans l’échantillon, $I_k,$ $k\in U,$ sont définis comme suit : on pose $I_k=1$ si l’unité $k$ est choisie dans l’échantillon $s_P;$ autrement, on pose $I_k=0.$ On note par $I,$ le vecteur contenant les indicateurs d’inclusion dans l’échantillon pour $k\in U.$ La probabilité que l’unité $k$ de la population $U$ soit choisie dans l’échantillon est notée par ${\pi }_k=E\left(I_k|Z\right).$ La plupart du temps, elle est connue ou elle peut être approchée. On suppose que ${\pi }_k>0,$ $k\in U.$ Pour chaque unité $k\in s_P,$ on recueille les valeurs de certaines variables, incluant ou non la variable $y.$

On va noter par $\Omega ,$ l’ensemble de toutes les informations auxiliaires utilisées pour faire les inférences. Entre autres, $\Omega$ inclut les informations du plan de sondage, $Z,$ si un échantillon probabiliste est utilisé, et possiblement d’autres variables auxiliaires telles que des variables de calage, des variables d’appariement ou des variables explicatives d’un modèle (voir sections 3 et 4). L’indicateur d’inclusion ${\delta }_k$ peut aussi être utilisé comme variable auxiliaire soit pour stratifier la population ou pour le calage (voir section 3). Le vecteur $\delta$ peut donc être inclus dans $Z$ et $\Omega .$

Les deux hypothèses suivantes seront utilisées tout au long de l’article :

Hypothèse 1 : $I$ est indépendant de $\Omega$ et $Y$ après avoir conditionné sur $Z.$

Hypothèse 2 : $\delta$ et $I$ sont indépendants après avoir conditionné sur $\Omega$ et $Y.$

L’hypothèse 1 implique que les valeurs des variables incluses dans $\Omega$ et $Y$ ne sont pas affectées par l’appartenance ou non à l’échantillon $s_P.$ Elle est implicite dans la littérature sur les sondages probabilistes et résulte de la définition même du plan de sondage qui ne dépend que de $Z.$ L’hypothèse 2 est automatiquement satisfaite si la source non probabiliste (et ainsi $\delta )$ est disponible avant la sélection de l’échantillon probabiliste. Notons que si ${\delta }_k$ est utilisé comme variable auxiliaire pour stratifier la population alors $\delta$ est inclus dans $\Omega$ et l’hypothèse 2 reste satisfaite. Elle ne sera pas satisfaite si le fait d’être choisi dans $s_P$ a une incidence sur le fait de fournir des données à la source non probabiliste. Par exemple, le fait d’être choisi dans $s_P$ (et contacté) peut être un rappel indirect pour l’individu sélectionné de remplir des formulaires exigés par le gouvernement (source non probabiliste). On peut s’attendre à ce que les hypothèses 1 et 2 soient satisfaites dans la plupart des cas.

L’union de $\Omega ,$ $\delta ,$ $I$ et $Y$ contient toutes les informations utilisées pour faire les inférences. Les différentes approches d’inférence exposées aux sections 3 et 4 diffèrent dans ce qu’elles traitent comme étant fixe et ce qu’elles traitent comme étant aléatoire. Par exemple, dans l’approche d’inférence fondée sur le plan de sondage, tout est considéré comme étant fixe à l’exception du vecteur $I;$ c’est-à-dire que l’inférence est conditionnelle à $\Omega ,$ $Y$ et $\delta .$ Pour simplifier la notation, on va noter par ${\Omega }_P$ l’union de $\Omega ,$ $Y$ et $\delta .$ Ainsi, les espérances par rapport au plan de sondage seront notées par $E\left(\cdot |{\Omega }_P\right)$ plutôt que par $E\left(\cdot |\Omega ,Y,\delta \right).$ Dans l’approche d’inférence fondée sur le plan de sondage, on choisit habituellement un estimateur $\widehat{\theta }$ de $\theta$ tel que le biais par rapport au plan, $E\left(\widehat{\theta }-\theta |{\Omega }_P\right),$ est nul ou négligeable. Sous les hypothèses 1 et 2, on note que $E\left(I_k|{\Omega }_P\right)=E\left(I_k|Z\right)={\pi }_k.$ Pour l’estimation du total $\theta ={\displaystyle {\sum }_{k\in U}{y}_k},$ on utilise la plupart du temps un estimateur de la forme $\widehat{\theta }={\displaystyle {\sum }_{k\in s_P}{w}_k{y}_k},$ où $w_k$ est un poids de sondage pour l’unité $k.$ Le poids de base classique est $w_k={\pi }_k^{-1}.$ Ce poids assure que l’estimateur $\widehat{\theta }$ est exactement sans biais pour $\theta .$ On peut ensuite modifier le poids de base au moyen de techniques de calage (ex.: Deville et Särndal, 1992; Haziza et Beaumont, 2017). L’avantage de cette approche est son caractère non paramétrique : aucune hypothèse de modèle n’est nécessaire pour faire des inférences valides sur la population puisque les deux premiers moments du plan de sondage sont contrôlés par le statisticien et habituellement connus. L’approche n’est toutefois pas exempte d’hypothèses, par exemple, pour assurer la convergence et la normalité asymptotique des estimateurs, mais elle ne requiert aucun modèle paramétrique.

En pratique, on observe souvent de la non-réponse dans les enquêtes probabilistes de même que d’autres erreurs non dues à l’échantillonnage. La non-réponse de certaines unités échantillonnées est souvent vue comme une phase additionnelle d’échantillonnage qui n’est pas contrôlée par le statisticien. Autrement dit, le mécanisme de non-réponse n’est pas connu, contrairement au plan de sondage. Sous l’hypothèse d’un modèle adéquat pour le mécanisme de non-réponse, on peut construire des estimateurs qui n’ont peu ou pas de biais, par exemple, en repondérant les unités répondantes par l’inverse de leur probabilité de réponse estimée. Cela requiert toutefois une modélisation minutieuse des indicateurs de réponse. Dans le reste de cet article, on ignore les erreurs non dues à l’échantillonnage et on suppose que les estimations provenant de l’enquête probabiliste sont peu biaisées ou, au moins, que leur biais est petit par rapport au biais des estimations provenant seulement de la source non probabiliste. Cette hypothèse n’est peut-être pas toujours satisfaite en pratique mais elle est raisonnable dans bien des contextes (voir Brick, 2011), en particulier dans les grandes enquêtes menées par les agences nationales de statistique.

L’acquisition de données de sources non probabilistes s’avère généralement peu coûteuse en comparaison du coût de la collecte des données d’une enquête probabiliste. Alors, on aimerait idéalement les utiliser pour remplacer les données d’une enquête probabiliste. Ce remplacement de données n’est valide que si $y_k^{*}\approx y_k,$ $k\in U.$ Cette hypothèse ne sera pas satisfaite avec toutes les sources de données non probabilistes mais on peut penser qu’elle est réaliste avec certaines sources de données administratives. Aux sections 3 et 4, nous distinguerons les méthodes fondées sur l’hypothèse que $y_k^{*}=y_k$ des méthodes ne requérant pas cette hypothèse. Plusieurs des méthodes décrites aux sections 3 et 4 sont également passées en revue dans l’article à venir de Rao (2020) qui a été présenté, entre autres, à Statistique Canada à l’été 2018.

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