Optimisation d’une répartition mixte
Section 4. Application pratique

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On s’intéresse au tirage d’un échantillon de 1 000 entreprises de l’industrie selon différents plans de sondages stratifiés afin de connaître le chiffre d’affaires total du secteur. Le champ exact est défini comme suit :

• Entreprises actives situées en France.
• Entreprises dont l’effectif est compris entre 1 et 100.
• Entreprises dont le secteur d’activité, mesuré grâce au code d’activité principale exercée (APE) appartient à l’une des divisions de l’industrie dans la Nomenclature d’activité des communautées européennes (Nace, dont les divisions sont identiques aux 88 divisions de la Classification Internationale Type par Industrie de toutes les activités économiques appelée CITI ou ISIC en anglais), i.e., aux divisions de 10 à 33, hormis la 12 (Produits à base de tabac) et la 19 (Produits de la cokéfaction et du raffinage), qui ont une structure trop atypique pour notre étude.

La population initiale est de 102 172 entreprises. De manière générale, les entreprises ayant un fort effectif, par exemple plus de 100, sont souvent enquêtées exhaustivement. On se limite ici à la partie non exhaustive d’une enquête.

Cette population est stratifiée selon deux critères :

1.    L’APE, au niveau division (deux premiers chiffres).
2.    La tranche d’effectif, de la façon suivante : 1 à 9 salariés; 10 à 19 salariés; 20 à 49 salariés; 50 salariés ou plus.

ce qui constitue 88 strates, qu’on notera par la suite (A, B) où A est le secteur d’activité et B l’effectif.

On calcule alors les répartitions proportionnelle et de Neyman relative à la dispersion du chiffre d’affaires dans chacune de ces strates, pour $n=1000.$ Le tableau 4.1 résume les caractéristiques de ces deux répartitions, ainsi que les strates où la répartition est maximale, toutes deux dans la division 10 (Industries alimentaires).

On souhaite choisir la répartition mixte optimale pour le problème présenté au paragraphe précédent. On choisit comme fonction de distance la distance euclidienne. L’équation 2.2 devient donc :

$$\underset{\alpha \in \left[0,1\right]}{\min }{\displaystyle \sum _{h=1}^H{n}_{\alpha ,h}}{\left(\frac{N_h}{n_{\alpha ,h}}-\frac{N}{n}\right)}^2+\lambda \sqrt{{\displaystyle \sum _{h=1}^H{\left(n_{\alpha ,h}-n_{\text{Neyman,}h}\right)}^2}}.(4.1)$$

Nous appliquons ensuite la méthode suivante pour calculer la répartition optimale :

• Calculer pour différentes valeurs de $\lambda$ la valeur de $\alpha$ solution du programme de minimisation de l’équation (4.1).
• Pour chaque $\alpha ,$ calculer la répartition correspondante.
• Pour chacune des répartitions, calculer analytiquement la variance de l’estimateur d’Horvitz-Thompson du total du chiffre d’affaires. Cela est possible car on dispose du chiffre d’affaires des entreprises dans le répertoire qui sert de base de sondage.

On obtient finalement la courbe représentée en figure 4.1. On remarque que sa forme correspond globalement à ce qui était attendu en appliquant le Théorème 1. On détermine visuellement le point de torsion, qui semble situé vers $1\cdot {10}^7.$ On pose donc ${\lambda }_{\text{coude}}=1\cdot {10}^7,$ qui se situe légèrement à droite du coude, sur la partie plate de la courbe $V\left(\lambda \right).$

On peut alors utiliser la valeur de ${\lambda }_{\text{coude}}$ pour déterminer ${\alpha }_{\text{coude}},$ à l’aide du programme d’optimisation de l’équation (4.1). Nous obtenons ici ${\alpha }_{\text{coude}}=\text{0,644}.$ Cette valeur de $\alpha$ obtenue peut être interprétée directement. Elle est assez proche de 0,5, ce qui montre que la répartition finale est également assez proche de la répartition qu’on appelle classiquement mixte, mais elle est supérieure à 0,5, ce qui montre que l’optimum du programme se rapproche sensiblement de la répartition proportionnelle. La répartition obtenue est décrite dans le tableau 4.2, et comparée à la répartition mixte usuelle utilisant la moyenne arithmétique entre les deux répartitions initiales.

En termes de tailles d’échantillons dans les strates pour les diverses répartitions, on peut constater que l’on obtient un maximum pour la même strate que la répartition proportionnelle (10, 1-9), mais avec une distribution moins étendue. D’autre part, la strate (10, 20-49) qui a l’effectif le plus important dans la répartition de Neyman, voit effectivement sa taille augmenter par rapport à la répartition proportionnelle, mais reste toutefois bien inférieure à la répartition de Neyman. On voit bien l’apparition d’un compromis entre les répartitions, comme dans le cas de la répartition mixte usuelle.

Il reste cependant à s’intéresser aux deux critères qui motivent cette analyse, c’est-à-dire d’une part l’écart-type de l’estimateur d’Horvitz-Thompson du total du chiffre d’affaires (en milliards d’euros), et d’autre part la dispersion des poids et son influence sur la précision des estimateurs liés à d’autres concepts : pour l’évaluer, nous introduisons une variable $z$ non corrélée au chiffre d’affaires. Nous choisissons ici la variable $z$ liée à l’implantation géographique de l’entreprise définie de la façon suivante :

$$z_i=\{\begin{array}{ll}1\hfill & \text{si}\text{l}’\text{entreprise}i\text{est située}\text{en}\text{Ile-de-France}\hfill \\ 0\hfill & \text{sinon}\text{.}\hfill \end{array}$$

Nous allons comparer sur ces trois critères notre méthode avec les répartitions initiales (proportionnelle, Neyman), mais également avec la répartition mixte classique (avec un facteur 0,5), avec des répartitions puissance de Bankier (1988) pour différentes valeurs de $q$ (où $T_h\left(\alpha \right)$ est pris égal à la somme du chiffre d’affaires dans la strate $h)$ et avec la répartition de Neyman sous contraintes de précision locale de Koubi et Mathern (2009). Les résultats obtenus sont exposés dans le tableau 4.3. Dans ce tableau, ${\widehat{T}}_{\text{HT}}\left(\text{CA}\right)$ désigne l’estimateur d’Horvitz-Thompson du chiffre d’affaires, et ${\widehat{T}}_{\text{HT}}\left(z\right)$ l’estimateur d’Horvitz-Thompson de la variable $z.$

On remarque ici que la répartition obtenue à l’aide de ${\lambda }_{\text{coude}}$ a une précision pour l’estimation du chiffre d’affaires total assez proche de la répartition de Neyman, alors que la répartition proportionnelle entraîne un écart-type de l’estimateur de Horvitz-Thompson du total de chiffre d’affaires bien plus grand. Or, cette légère perte de précision est très largement contrebalancée par le gain en dispersion des poids par rapport à la répartition de Neyman et par un gain important en termes de précision sur le total de la variable géographique $z.$ Notons que la dispersion des poids n’est pas nulle dans le cadre de la répartition proportionnelle à cause des arrondis. Lorsque l’on compare la répartition obtenue à la stratégie « mixte » utilisant le facteur $\alpha =1/2,$ on remarque que la perte d’un facteur 1.1 en précision du total de chiffre d’affaires est compensée par le gain d’un facteur 1.8 en dispersion des poids et de 1.1 sur la précision du nombre total d’entreprises situées en Ile-de-France. La répartition finale satisfait bien à nos contraintes, et répond à notre demande : avoir une bonne précision et une faible dispersion des poids.

La comparaison avec les méthodes de la littérature permet d’illustrer l’apport du compromis sur la dispersion des poids. Pour les répartitions puissance, on constate qu’en choissisant des valeurs de $q$ élevées, correspondant à des répartitions proches de celles de Neyman, on obtient une précision meilleure pour l’estimation du chiffre d’affaires total que pour notre répartition. On constate que pour la totalité des répartitions de Bankier ainsi que pour la répartition de Neyman sous contraintes, la dispersion des poids obtenue est supérieure à celle de la répartition de Neyman, et donc largement supérieure à celle de notre répartition. De façon symétrique, et comme attendu, toutes ces répartitions conduisent à dégrader la précision de l’estimation du total de la variable $z.$

L’objectif de ces méthodes concurrentes étant d’obtenir une meilleure précision locale, nous allons nous intéresser à plusieurs sous-domaines de notre champ (nomenclature A17 de l’économie française) :

• Domaine C1 : Fabrication de denrées alimentaires, de boissons;
• Domaine C3 : Fabrication d’équipements électriques, électroniques, informatiques; fabrication de machines;
• Domaine C4 : Fabrication de matériels de transport;
• Domaine C5 : Fabrication d’autres produits industriels.

Nous comparons alors la précision de l’estimateur du total de chiffre d’affaires pour chacun de ces secteurs. Les résultats sont compilés dans le tableau 4.4.

On constate ici que la répartition que nous proposons donne des résultats légèrement moins bons que la répartition mixte classique sur la précision locale de l’estimateur du total de chiffre d’affaires. Elle est en revanche nettement meilleure que la répartition proportionnelle, et de façon moins marquée, moins efficace que la répartition de Neyman. Notre méthode de choix de $\alpha$ est ainsi un compromis efficace pour réduire la dispersion des poids sans trop impacter la précision globale et locale des estimateurs.

En revanche, et comme cela était attendu, les répartitions ayant pour objectif de compromis de maximiser ou d’uniformiser la précision locale sont meilleures que la répartition proposée sur la majorité des secteurs d’activité. Ainsi, choisir entre le compromis que nous proposons et celui proposé par Bankier (1988) revient à choisir entre une meilleure précision pour des variables non corrélées à la variable d’intérêt $y$ (via la dispersion des poids), comme la variable $z$ définie ici, pour notre famille de répartitions mixtes, ou choisir une meilleure précision locale pour uniquement cette variable $y$ dans le cas de la répartition puissance. L’avantage de notre méthode est cependant de pouvoir proposer une valeur du paramètre de compromis $\alpha$ optimal sur un certain critère, ce que ne fait pas la méthode de Bankier avec le paramètre $q.$

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