Optimisation d’une répartition mixte
Section 2. Programme d’optimisation

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Le programme (1.2) est difficile à résoudre et à analyser. C’est pourquoi on va se contenter ici de chercher une solution sur un segment entre la répartition proportionnelle et une répartition spécifique donnée, la répartition de Neyman, qui est la plus fréquemment utilisée. Souvent, on considère que le choix d’un $\alpha =1/2$ constitue un bon compromis. C’est ce qui est par exemple proposé dans Chiodini et coll. (2010a), ou dans certains plans d’enquêtes auprès des entreprises de l’Insee.

Cette méthode permet de combiner les bénéfices des deux méthodes à faible coût. Cependant, on peut s’interroger sur le choix arbitraire du facteur $1/2.$ Dans ce paragraphe, nous allons présenter une méthode basée sur un programme de minimisation faisant intervenir la dispersion des poids ainsi que la distance à la répartition de Neyman pour choisir un paramètre $\alpha$ tel que la répartition mixte « optimale » entre répartition proportionnelle et répartition de Neyman soit :

$$n_{\alpha }^{\text{opt}}=\alpha n_{\text{prop}}+\left(1-\alpha \right)n_{\text{Neyman}}.(2.1)$$

Nous nous plaçons ici dans le cadre d’un tirage stratifié à $H$ strates, en négligeant l’influence de la non-réponse. Celle-ci pourrait être intégrée via la prise en compte de taux de réponse anticipés ou d’une seconde phase poissonnienne, mais cela complique inutilement la forme des résultats obtenus. On s’intéresse ici à un jeu de répartitions $\left(n_{\alpha }\right)$ qui parcourent un segment entre la répartition proportionnelle $\left(n_{\text{prop}}\right)$ et la répartition de Neyman $\left(n_{\text{Neyman}}\right),$ comme indiqué dans l’équation (2.1). On se limite donc à la réalisation du programme de minimisation suivant, forme simplifiée de celui de l’équation (1.2) :

$$\underset{\alpha \in \left[0,1\right]}{\min }{\displaystyle \sum _{h=1}^H{n}_{\alpha ,h}}{\left(\frac{N_h}{n_{\alpha ,h}}-\frac{N}{n}\right)}^2+\lambda \alpha .(2.2)$$

Le terme de droite correspond à la distance entre la répartition cherchée et la répartition de Neyman, à une constante près, intégrée dans le $\lambda :$ ce résultat est démontré en Annexe A.

Ce programme de minimisation dépend de la constante $\lambda \ge 0$ choisie. On remarque aisément que lorsque $\lambda$ est suffisamment grand, le terme de distance devient prépondérant et on obtient $\alpha =0$ et donc $n_{\alpha }=n_{\text{Neyman}}.$ De même, quand $\lambda$ tend vers 0, le facteur représentant la dispersion des poids devient prépondérant et la répartition tend vers la répartition proportionnelle.

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