Estimation du chômage sur petits domaines à l’aide des modèles latents de Markov
Section 6. Observations en conclusion

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Dans cette étude, nous exposons une nouvelle méthode d’estimation sur petits domaines et à niveaux de zones où un modèle latent de Markov (MLM) sert de modèle de couplage. Dans les MLM (Bartolucci et coll., 2013), la caractéristique d’intérêt et son évolution dans le temps sont représentées par un processus latent ou caché en chaîne de Markov, habituellement du premier ordre. Dans une hypothèse de normalité pour la distribution conditionnelle des variables de réponse étant donné les variables latentes, on estime le modèle à l’aide d’un échantillonneur de Gibbs à données augmentées. Nous avons appliqué le modèle proposé aux données trimestrielles de l’EPA italienne de 2004 à 2014. Nous avons constaté que la méthode par modèle était efficace pour établir des estimations de fréquence du chômage par niveaux de zones du marché du travail. Il est plutôt évident qu’elle réduit le coefficient de variation si on la compare à l’estimateur direct. La méthode proposée est aussi plus précise que l’estimateur direct et l’estimateur par modèle de séries chronologiques que proposent You et coll., (2003) lorsqu’il s’agit de reproduire les données du recensement. Un avantage avec ce cadre méthodologique est qu’il permet de réunir les petits domaines en des groupes homogènes.

On peut voir dans les MLM une extension aux données longitudinales des modèles à classes latentes. À cet égard, notre approche se situe dans le prolongement du modèle EPD à classes latentes que proposent Fabrizi et coll. (2016). De plus, les MLM prolongent les modèles à chaîne de Markov pour le contrôle des erreurs de mesure et peuvent facilement traiter des données multidimensionnelles, d’où l’obtention d’un cadre de modélisation très souple. On pourrait élargir cette approche à l’aide de données de corrélation spatiale et envisager des distributions différentes des variables manifestes comme les distributions de Poisson, binomiale et multinominale. Dans ce cas, nous pourrions ajuster les modèles d’échantillonnage et de couplage sans appariement et traiter les dérogations à l’hypothèse de normalité, mais un échantillonneur de Gibbs ne pourrait plus être utilisé et l’algorithme de Metropolis-Hastings deviendrait une possibilité. Le modèle unidimensionnel proposé peut prendre en compte les erreurs de mesure, mais une extension à un cadre multidimensionnel serait également possible compte tenu de l’hypothèse d’indépendance conditionnelle.

Dans cette application, nous n’avons pas expressément tenu compte de l’autocorrélation induite par un plan d’échantillonnage à renouvellement de panel. Un moyen naturel de tenir compte des différentes caractéristiques d’un tel plan (biais de groupe de renouvellement, autocorrélation des erreurs d’enquête, etc.) serait d’employer des spécifications de modèle à espace d’états comme dans Pfeffermann (1991) et Pfeffermann et Rubin-Bleuer (1993) et, plus récemment, dans Van den Brakel et Krieg (2015) et Boonstra et Van den Brakel (2016). Il serait intéressant dans ce contexte d’étendre à l’estimation sur petits domaines (EPD) les MLM avec autocorrélation dans le modèle de mesure proposé par Bartolucci et Farcomeni (2009). Des spécifications de modélisation à espace d’états peuvent aussi être utiles à l’appréhension et à la modélisation de la tendance et de la saisonnalité marquées de ce type de données.

Remerciements

Bertarelli, Ranalli, D’Aló et Solari ont bénéficié, pour la réalisation de leurs travaux, du soutien du projet PRIN-2012F42NS8 « Household wealth and youth unemployment: new survey methods to meet current challenges ». Les auteurs remercient le rédacteur adjoint et les deux examinateurs anonymes des observations très utiles formulées à l’égard de versions antérieures de cette étude.

Annexe A

Estimation par modèle

Dans ce qui suit, nous indiquons d’abord ce qu’est une estimation bayésienne avec sélection de modèle par un algorithme MCMC dans un cadre d’augmentation des données (Tanner et Wong, 1987).

A.1  Méthode d’augmentation des données

Pour estimer les paramètres sur petits domaines $\Theta ,$ les paramètres de mesure ${\varphi }_{\text{obs}}\text{},$ et les paramètres latents ${\varphi }_{\text{lat}}\text{},$ nous adoptons un traitement par augmentation des données. Nous rappelons que les données observées comprennent les estimations directes ${\widehat{\theta }}_{it},$ les EQM ou ${\widehat{\text{EQM}}}_{it},$ lissées correspondantes et les vecteurs de covariables $x_{it},$ avec $i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}m$ et $t\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}T.$ Dans cette augmentation des données, nous introduisons explicitement les variables latentes $U_{it}$ traitées comme données manquantes et dont les valeurs sont actualisées en cours d’exécution de l’algorithme MCMC, et donc dans un traitement complet en vraisemblance des données. Dans ce contexte, l’utilisation de conjuguées antérieures dans un traitement complet en vraisemblance nous permet d’échantillonner simplement à partir de la distribution postérieure conditionnelle des états latents. Comme l’espace des états est fini, il est tout aussi simple d’échantillonner les états latents conditionnellement étant donné les paramètres du modèle.

Pour tirer des échantillons de la codistribution postérieure des paramètres du modèle et des états latents, l’algorithme MCMC proposé procède comme nous allons l’indiquer. Soit $\widehat{\Theta }$ la matrice des réalisations des estimations directes disponibles qui est définie comme en (4.1) avec chaque ${\theta }_{it}$ remplacé par ${\widehat{\theta }}_{it},$ et soit $U$ la matrice de la variable latente $U_{it},$ aux éléments organisés comme en $\widehat{\Theta }.$ La distribution postérieure de l’ensemble des paramètres du modèle et des variables latentes étant donné les données observées est ainsi formulée :

$$p\left(U\mathrm{,}{\varphi }_{\text{lat}}\mathrm{,}{\varphi }_{\text{obs}}\mathrm{,}\Theta |\widehat{\Theta }\right)\propto p\left(U|{\varphi }_{\text{lat}}\right)\pi \left({\varphi }_{\text{lat}}\right)\pi \left({\varphi }_{\text{obs}}\right)p\left(\Theta \mathrm{<mo>|</mo>}U\mathrm{,}{\varphi }_{\text{obs}}\right)p\left(\widehat{\Theta }|\Theta \right)\mathrm{.}$$

L’algorithme MCMC alterne en échantillonnage entre les variables latentes et les paramètres de la distribution conditionnelle intégrale qui y correspond. Le schéma s’exécute en $R$ itérations. À la fin de chaque itération $r,$ $r\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}R,$ on obtient en échantillonnage les paramètres du modèle et les variables latentes, ces éléments étant désignés par $U^{\left(r\right)}\text{},$ ${\varphi }_{\text{lat}}^{\left(r\right)}\text{},$ ${\varphi }_{\text{obs}}^{\left(r\right)}\text{},$ et ${\Theta }^{\left(r\right)}\text{}.$ Plus précisément, chaque itération consiste à:

1. tirer $U^{\left(r\right)}$ de $p\left(U|{\varphi }_{\text{lat}}^{\left(r-1\right)}\text{}\mathrm{,}{\varphi }_{\text{obs}}^{\left(r-1\right)}\text{}\mathrm{,}{\Theta }^{\left(r-1\right)}\right);$
2. tirer ${\varphi }_{\text{lat}}^{\left(r\right)}$ de $p\left({\varphi }_{\text{lat}}|U^{\left(r\right)}\right);$
3. tirer ${\varphi }_{\text{obs}}^{\left(r\right)}$ de $p\left({\varphi }_{\text{obs}}|U^{\left(r\right)}\text{},{\Theta }^{\left(r-1\right)}\right);$
4. tirer ${\Theta }^{\left(r\right)}$ de $p\left(\Theta |U^{\left(r\right)}\text{},{\varphi }_{\text{obs}}^{\left(r\right)}\mathrm{,}\widehat{\Theta }\right).$

Dans ce qui suit, nous décrivons en détail chacune des étapes énumérées. À cet égard, il convient de noter que, dans le cas que nous illustrons, tous les éléments de $\widehat{\Theta }$ sont disponibles. Il reste que, dans notre propre application, certains éléments de cette matrice sont absents. Il faut donc rajuster légèrement l’algorithme MCMC, c’est-à-dire imputer les valeurs manquantes par un échantillonneur de Gibbs et échantillonner directement à partir de sa distribution conditionnelle intégrale.

A.1.1  Simulation de $U^{\left(r\right)}$

Nous tirons séparément chaque variable latente $U_{it}$ de la distribution conditionnelle intégrale qui y correspond, laquelle est du type multinomial avec paramètres spécifiques. Plus particulièrement, nous avons

$$U_{it}|U_{i\text{}\mathrm{,}t-1}^{\left(r\right)}\text{},U_{i\text{}\mathrm{,}t+1}^{\left(r-1\right)}\text{}\mathrm{,}{\varphi }_{\text{lat}}^{\left(r-1\right)}\text{}\mathrm{,}{\varphi }_{\text{obs}}^{\left(r-1\right)}\text{}\mathrm{,}{\Theta }^{\left(r-1\right)}\sim {\text{Multi}}_k\left(q_{it}\right)\mathrm{,}t\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}T\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{,}(\text{A}\text{.1})$$

où $U_{i\text{}\mathrm{,}t-1}^{\left(r\right)}$ disparaît pour $t\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}$ et $U_{i\text{}\mathrm{,}t+1}^{\left(r\right)}$ pour $t\mathrm{<mo>=</mo>}T.$ De plus, le vecteur de probabilités $q_{it}$ se définit ainsi :

• pour $t\mathrm{<mo>=</mo>\; 1},$ $q_{it}$ a des éléments proportionnels à

$${\pi }_u^{\left(r-1\right)}{\pi }_{u|U_{i2}^{\left(r-1\right)}}^{\left(r-1\right)}\text{}\mathrm{,}u\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}k\mathrm{<mo>;</mo>}$$

• pour $t\mathrm{<mo>=</mo>\; 2,}\dots \mathrm{,}T-1,$ $q_{it}$ a des éléments proportionnels à

$${\pi }_{u|U_{i\text{}\mathrm{,}t-1}^{\left(r\right)}}^{\left(r-1\right)}{\pi }_{U_{i\text{}\mathrm{,}t+1}^{\left(r-1\right)}|u}^{\left(r-1\right)}\text{}\mathrm{,}u\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}k\mathrm{<mo>;</mo>}$$

• pour $t\mathrm{<mo>=</mo>}T,$ $q_{it}$ a des éléments proportionnels à

$${\pi }_{u|U_{i\text{}\mathrm{,}T-1}^{\left(r\right)}}^{\left(r-1\right)}\text{}\mathrm{,}u\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}k\mathrm{.}$$

A.1.2  Simulation de ${\varphi }_{\text{lat}}^{\left(r\right)}$

En se rappelant que ${\varphi }_{\text{lat}}\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\pi \mathrm{,}\Pi \right\},$ nous tirons d’abord ${\pi }^{\left(r\right)}$ de la distribution conditionnelle intégrale :

$$\pi |U^{\left(r\right)}\sim \text{Dirichlet}\left(1_k+n_1\right)\mathrm{,}$$

où $n_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(n_{11}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{n}_{1k}\right)}^{\prime }$ et $n_{1u}$ est le nombre de zones dans l’état $u$ au moment 1 avec $u\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}k.$ De plus, nous tirons chaque ligne de la matrice $\Pi$ de la distribution

$${\pi }_{\overline{u}}|U^{\left(r\right)}\sim \text{Dirichlet}\left(1_k+n_{\overline{u}\text{}\mathrm{,}t}\right)\mathrm{,}t\mathrm{<mo>=</mo>\; 2,}\dots \mathrm{,}T\text{}\mathrm{,}$$

où $n_{\overline{u}\text{}\mathrm{,}t}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(n_{\overline{u}\text{}\mathrm{,}{t}_1}\text{}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{n}_{\overline{u}\text{}\mathrm{,}{t}_k}\right)}^{\prime }$ et $n_{\overline{u}\text{}\mathrm{,}{t}_u}$ est le nombre de zones passant de l’état $\overline{u}$ à l’état $u$ au moment $t,$ avec $t\mathrm{<mo>=</mo>\; 2,}\dots \mathrm{,}T$ et $u\mathrm{,}\overline{u}\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}k.$

A.1.3  Simulation de ${\varphi }_{\text{obs}}^{\left(r\right)}$

En considérant que ${\varphi }_{\text{obs}}\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{{\beta }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\beta }_k\text{}\mathrm{,}{\sigma }_1^2\text{}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\sigma }_k^2\right\}$ , nous tirons d’abord chaque ${\beta }_u,$ $u\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}k,$ de la distribution conditionnelle intégrale :

$${\beta }_u|U^{\left(r\right)}\text{},{\Theta }^{\left(r\right)}\sim N_p\left({\eta }_{\mathrm{1,}u}\mathrm{,}{\Sigma }_{\mathrm{1,}u}\right)\mathrm{,}$$

où

$$\begin{array}{ll}{\eta }_{\mathrm{1,}u}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\Lambda }_{\mathrm{1,}u}^{-1}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^T{\theta }_{it}I\left(U_{it}\mathrm{<mo>=</mo>}u\right)x_{it}\mathrm{,}}\hfill \\ {\Sigma }_{\mathrm{1,}u}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\sigma }_u^2{\Lambda }_{\mathrm{1,}u}^{-1}\mathrm{,}\hfill \\ {\Lambda }_{\mathrm{1,}u}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^T{x}_{it}{x}_{it}^{\prime }I\left(U_{it}\mathrm{<mo>=</mo>}u\right)}+{\Lambda }_0\mathrm{,}\hfill \end{array}$$

avec $I(\cdot )$ désignant la fonction indicatrice égale à 1 si son argument est vrai et à 0 autrement. Nous tirons alors chaque ${\sigma }_u^2$ de

$${\sigma }_u^2|U^{\left(r\right)}\text{},{\Theta }^{\left(r\right)}\sim \text{GI}\left(a_{\mathrm{1,}u}\text{}\mathrm{,}{b}_{\mathrm{1,}u}\right)\mathrm{,}$$

avec

$$\begin{array}{ll}{a}_{\mathrm{1,}u}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{a}_0+\frac{n_{\mathrm{.}u}}{2}\mathrm{,}\hfill \\ b_{\mathrm{1,}u}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{b}_0+\frac{1}{2}\left({\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{\displaystyle \sum _{t\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^T{\theta }_{it}^{2}I\left(U_{it}\mathrm{<mo>=</mo>}u\right)}+{\eta }_0^{\prime }{\Lambda }_0{\eta }_0-{\eta }_{\mathrm{1,}u}^{\prime }{\Lambda }_{\mathrm{1,}u}{\eta }_{\mathrm{1,}u}\right)\mathrm{,}\hfill \end{array}$$

où $n_{\mathrm{.}u}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{t\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^T}{n}_{tu}$ est le nombre de zones dans l’état $u$ indépendamment de la période en question.

A.1.4  Simulation de ${\Theta }^{\left(r\right)}$

L’objectif de l’estimation sur petits domaines est de prévoir chaque ${\theta }_{it},$ $i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}m,$ $t\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}T,$ selon le modèle et les données d’observation. Cela revient à tirer ces éléments de

$${\theta }_{it}|U^{\left(r\right)}\text{},{\varphi }_{\text{obs}}^{\left(r\right)}\text{}\mathrm{,}{\widehat{\theta }}_{it}\sim N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\widehat{\theta }}_{it}^{\left(r\right)}\text{}\mathrm{,}{\gamma }_{it}^{\left(r\right)}{\psi }_{it}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>\; ,}$$

où

$${\widehat{\theta }}_{it}^{\left(r\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}{\gamma }_{it}^{\left(r\right)}{\widehat{\theta }}_{it}+\left(1-{\gamma }_{it}^{\left(r\right)}\right)x_{it}^{\prime }{\beta }_u^{\left(r\right)}\text{},(\text{A}\text{.2})$$

avec ${\gamma }_{it}^{\left(r\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}{\sigma }_u^{2\left(r\right)}/\left({\sigma }_u^{2\left(r\right)}+{\psi }_{it}\right).$

A.2  Sélection du modèle : estimateur de Chib

La méthode proposée par Chib (1995) peut servir à sélectionner un modèle à partir de la sortie de l’échantillonneur de Gibbs. On sait que la densité postérieure peut s’exprimer dans un rapport comme le produit de la fonction de vraisemblance et des distributions antérieures en division par la vraisemblance marginale :

$$p\left(U\mathrm{,}{\varphi }_{\text{lat}}\text{}\mathrm{,}{\varphi }_{\text{obs}}\text{}\mathrm{,}\Theta |\widehat{\Theta }\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{p\left(U|{\varphi }_{\text{lat}}\right)\pi \left({\varphi }_{\text{lat}}\right)\pi \left({\varphi }_{\text{obs}}\right)p\left(\Theta |U\text{},{\varphi }_{\text{obs}}\right)p\left(\widehat{\Theta }|\Theta \right)}{p\left(\widehat{\Theta }\right)}\mathrm{.}(\text{A}\text{.3})$$

Il est donc possible d’exprimer la vraisemblance marginale des données $\widehat{\Theta }$ comme

$$p\left(\widehat{\Theta }\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{p\left(\widehat{\Theta }|\Theta \right)p\left(U|{\varphi }_{\text{lat}}\right)\pi \left({\varphi }_{\text{lat}}\right)\pi \left({\varphi }_{\text{obs}}\right)p\left(\Theta |U\mathrm{,}{\varphi }_{\text{obs}}\right)}{p\left(U\mathrm{,}{\varphi }_{\text{lat}}\text{}\mathrm{,}{\varphi }_{\text{obs}}\text{}\mathrm{,}\Theta |\widehat{\Theta }\right)}\mathrm{,}(\text{A}\text{.4})$$

pour tout $U,$ ${\varphi }_{\text{lat}}\text{},$ ${\varphi }_{\text{obs}}\text{},$ $\Theta$ et $\widehat{\Theta }.$ Nous laissons tomber ici la dépendance à l’égard de $k$ pour simplifier la notation. C’est là le critère de sélection de modèle appliqué à la section 5. En choisissant les valeurs spécifiques des variables latentes et des paramètres du modèle, désignées par $\overline{U},$ ${\overline{\varphi }}_{\text{lat}}\text{},$ ${\overline{\varphi }}_{\text{obs}}\text{},$ et $\overline{\Theta },$ nous pouvons estimer $\log p\left(\widehat{\Theta }\right)$ par la décomposition suivante :

$$\begin{array}{ll}\log p\left(\widehat{\Theta }\right)=\hfill & \log p\left(\widehat{\Theta }|\overline{\Theta }\right)+\log p\left(\overline{U}|{\overline{\varphi }}_{\text{lat}}\right)+\log \pi \left({\overline{\varphi }}_{\text{lat}}\right)+\log \pi \left({\overline{\varphi }}_{\text{obs}}\right)\hfill \\ \hfill & +\log p\left(\overline{\Theta }|\overline{U},{\overline{\varphi }}_{\text{obs}}\right)-\log p\left(\overline{U}\mathrm{,}{\overline{\varphi }}_{\text{lat}}\text{}\mathrm{,}{\overline{\varphi }}_{\text{obs}}\text{}\mathrm{,}\overline{\Theta }|\widehat{\Theta }\right)\mathrm{.}(\text{A}\text{.5})\hfill \end{array}$$

Le recours à la transformation logarithmique se justifie par la stabilité numérique (Chib, 1995).

On peut calculer directement les cinq premiers termes du côté droit de (A.5) à partir des distributions posées des paramètres et des données. En revanche, l’obtention du dernier élément est plus difficile. Par la formule des probabilités totales, il est possible de décomposer $p\left(\overline{U}\mathrm{,}{\overline{\varphi }}_{\text{lat}}\text{}\mathrm{,}{\overline{\varphi }}_{\text{obs}}\text{}\mathrm{,}\overline{\Theta }|\widehat{\Theta }\right)$ comme

$$p\left(\overline{U}\mathrm{,}{\overline{\varphi }}_{\text{lat}}\text{}\mathrm{,}{\overline{\varphi }}_{\text{obs}}\text{}\mathrm{,}\overline{\Theta }|\widehat{\Theta }\right)\mathrm{<mo>=</mo>}p\left(\overline{U}|{\overline{\varphi }}_{\text{lat}}\text{},{\overline{\varphi }}_{\text{obs}}\text{}\mathrm{,}\overline{\Theta }\mathrm{,}\widehat{\Theta }\right)p\left({\overline{\varphi }}_{\text{lat}}|{\overline{\varphi }}_{\text{obs}}\text{},\overline{\Theta }\mathrm{,}\widehat{\Theta }\right)p\left({\overline{\varphi }}_{\text{obs}}|\overline{\Theta }\mathrm{,}\widehat{\Theta }\right)p\left(\overline{\Theta }|\widehat{\Theta }\right)\mathrm{.}(\text{A}\text{.6})$$

D’après Chib (1995), nous calculons le premier terme de (A.6) par le traitement de Gibbs décrit à la section A.1. Nous estimons les trois autres termes par la sortie de l’échantillonneur de Gibbs. Plus précisément, nous estimons

$$p\left({\overline{\varphi }}_{\text{lat}}|{\overline{\varphi }}_{\text{obs}}\text{},\overline{\Theta }\mathrm{,}\widehat{\Theta }\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \int }p\left({\overline{\varphi }}_{\text{lat}}|\overline{U}\mathrm{,}{\overline{\varphi }}_{\text{obs}}\text{}\mathrm{,}\overline{\Theta }\mathrm{,}\widehat{\Theta }\right)p\left(\overline{U}|{\overline{\varphi }}_{\text{obs}}\text{}\mathrm{,}\overline{\Theta }\mathrm{,}\widehat{\Theta }\right)d\overline{U}$$

comme $R^{-1}{\displaystyle {\sum }_{r\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^R}p\left({\overline{\varphi }}_{\text{lat}}|U^{\left(r\right)}\text{}\mathrm{,}{\overline{\varphi }}_{\text{obs}}\text{}\mathrm{,}\overline{\Theta }\right)\mathrm{,}$ avec $R$ tirages dans un échantillonnage réduit de Gibbs où $U$ n’est pas actualisé. Pour estimer

$$p\left({\overline{\varphi }}_{\text{obs}}|\overline{\Theta }\text{},\widehat{\Theta }\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \int }p\left({\overline{\varphi }}_{\text{obs}}|\overline{U},{\overline{\varphi }}_{\text{lat}}\text{},\overline{\Theta }\mathrm{,}\widehat{\Theta }\right)p\left(\overline{U}\text{}\mathrm{,}{\overline{\varphi }}_{\text{lat}}|\overline{\Theta }\mathrm{,}\widehat{\Theta }\right)d\overline{U}d{\overline{\varphi }}_{\text{lat}}\text{}\mathrm{,}$$

nous utilisons $R^{-1}{\displaystyle {\sum }_{r\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^R}p\left({\overline{\varphi }}_{\text{obs}}|U^{\left(r\text{},1\right)}\text{},{\overline{\varphi }}_{\text{lat}}^{\left(r\text{},1\right)}\text{}\mathrm{,}\overline{\Theta }\right).$ Pour estimer enfin

$$p\left(\overline{\Theta }|\widehat{\Theta }\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \int }p\left(\overline{\Theta }|\overline{U}\text{},{\overline{\varphi }}_{\text{lat}}\text{}\mathrm{,}{\overline{\varphi }}_{\text{obs}}\text{}\mathrm{,}\widehat{\Theta }\right)p\left(\overline{U}\mathrm{,}{\overline{\varphi }}_{\text{lat}}\text{}\mathrm{,}{\overline{\varphi }}_{\text{obs}}|\widehat{\Theta }\right)d\overline{U}d{\overline{\varphi }}_{\text{lat}}d{\overline{\varphi }}_{\text{obs}}\text{}\mathrm{,}$$

nous utilisons $R^{-1}{\displaystyle {\sum }_{r\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^R}p\left(\overline{\Theta }|U^{\left(r\text{},2\right)}\text{},{\varphi }_{\text{lat}}^{\left(r\text{},2\right)}\text{}\mathrm{,}{\varphi }_{\text{obs}}^{\left(r\text{},2\right)}\right)\mathrm{,}$ avec $R$ tirages dans un troisième échantillonnage réduit de Gibbs.

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