Estimation du chômage sur petits domaines à l’aide des modèles latents de Markov
Section 5. Résultats

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Dans cette section, nous présentons les résultats de l’application du modèle MLM d’estimation sur petits domaines à niveaux de zones aux données de l’EPA à la section 2. Nous ajustons le modèle avec $k\mathrm{<mo>=</mo>\; 2,}\dots \mathrm{,}6$ états latents. Pour chaque valeur de $k,$ nous exécutons une chaîne de Markov à 100 000 itérations, puis considérons une période de rodage de 50 000 itérations. Nous approchons la moyenne postérieure par la moyenne des échantillons MCMC retenus. De même, nous approchons la variance postérieure de ${\theta }_{it}$ par la variance des échantillons. Nous sélectionnons $k\mathrm{<mo>=</mo>\; 4}$ par la méthode proposée de sélection de modèle. En fait, nous employons l’expression (A.4) et obtenons les valeurs suivantes pour la densité postérieure des données : $p\left(\widehat{\Theta }|k\mathrm{<mo>=</mo>\; 2}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\text{59}\text{152,41;}$ $p\left(\widehat{\Theta }|k\mathrm{<mo>=</mo>\; 3}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\text{64}\text{405,11;}$ $p\left(\widehat{\Theta }|k\mathrm{<mo>=</mo>\; 4}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\text{68}\text{816,06}$ et $p\left(\widehat{\Theta }|k\mathrm{<mo>=</mo>\; 5}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\text{68}\text{703,}75.$

Nous validons notre procédure de sélection de modèle en comparant le choix final au choix obtenu par le critère d’information de déviance (CID). Plus précisément, nous nous attachons à $k\mathrm{<mo>=</mo>\; 4,}5$ états latents pour lesquels la règle de Bayes fournit les valeurs les plus élevées. Le CID confirme nos résultats, puisque nous obtenons 8 334,0 et 8 362,4 respectivement pour $k\mathrm{<mo>=</mo>\; 4}$ et $k\mathrm{<mo>=</mo>\; 5.}$

La figure 5.1 compare les estimations représentées du premier et du dernier trimestre de toute la période. Celles-ci peuvent être mises en correspondance avec les estimations directes à la figure 2.1. Plus particulièrement, nous obtenons les estimations à la première ligne de la figure 5.1 par le modèle MLM proposé à niveaux de zones. Nous obtenons les estimations à la deuxième ligne par un modèle transversal de Fay-Herriot (F-H) calculé avec le paquet R hbsae (Boonstra, 2012). Enfin, les estimations à la dernière ligne s’obtiennent par le modèle YRG (You et coll., 2003) pour lequel nous avons considéré trois choix possibles pour $\rho ;$ 0,50; 0,75 et 1,00, comme dans You et coll. (2003). Pour mesurer l’ajustement global des trois modèles YRG possibles, nous avons comparé les valeurs $p$ prédictives postérieures (Meng, 1994). Il s’agit en particulier de tirer des valeurs simulées d’une mesure de divergence appropriée de la distribution prédictive postérieure, puis de les comparer à la mesure correspondante pour les données observées. Plus précisément, si $d\left(\widehat{\Theta },\Theta \right)$ est une mesure de divergence qui dépend des données observées, $\widehat{\Theta },$ et de la matrice des paramètres, $\Theta ,$ la valeur $p$ prédictive postérieure se définit comme $P\left[d\left({\widehat{\Theta }}^{*}\text{},\Theta \right)\mathrm{<mo>></mo>}d\left(\widehat{\Theta },\Theta \right)|\widehat{\Theta }\right]\mathrm{,}$ où ${\widehat{\Theta }}^{*}$ est un échantillon tiré de la distribution prédictive postérieure. Si un modèle s’ajuste bien aux données d’observation, les deux valeurs de la mesure de divergence sont semblables. Par conséquent, la valeur $p$ devrait être proche de 0,5. En revanche, les valeurs $p$ proches de 0 ou de 1 indiquent que le modèle n’est pas bien ajusté aux données. Comme dans Datta et coll. (1999) et You et coll. (2003), nous utilisons en ajustement global la mesure de divergence suivante :

$$d\left(\widehat{\Theta },\Theta \right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^m}{\left({\widehat{\theta }}_i-{\theta }_i\right)}^{\prime }{\Psi }_i^{-1}\left({\widehat{\theta }}_i-{\theta }_i\right)$$

La mesure prédictive postérieure fait voir que le modèle avec $\rho \mathrm{<mo>=</mo>\; 1}$ est mieux ajusté aux données. En fait, il prend la valeur 0,188 pour $\rho \mathrm{<mo>=</mo>}\text{1,00;}$ 0,103 pour $\rho \mathrm{<mo>=</mo>}\text{0,75,}$ et 0,032 pour $\rho \mathrm{<mo>=</mo>}\text{0,50}\text{.}$ À noter que, pour notre modèle, nous obtenons une valeur $p$ de 0,311. Nous avons aussi appliqué la méthode d’estimation de Datta et coll. (1999), mais le nombre de zones et le nombre global d’observations ont rendu l’estimation prohibitive en fait de calcul. C’est pourquoi nous ne l’avons pas retenue.

À la figure 5.1, nous pouvons observer que toutes les estimations par modèle sont plus lisses que les estimations directes initiales. Les cartes sont en codage couleur en fonction des quartiles des estimations directes pour le premier trimestre de 2004. En règle générale, les estimations de ce trimestre présentent un clivage assez net entre les régions du nord, du centre et du sud de l’Italie et avec une fréquence relativement supérieure du chômage dans la région méridionale. Au quatrième trimestre de 2014, la fréquence du chômage est bien plus grande partout au pays, conséquence d’une crise économique qui sévit en Italie depuis 2008. Les modèles MLM et F-H présentent une configuration semblable et s’accordent avec la configuration de l’estimateur direct. Par ailleurs, le modèle YRG produit des estimations plus contractées, ce qui ressort plus particulièrement au quatrième trimestre de 2014 où il y a une sous-estimation générale et bien distincte. C’est le comportement qui se dégage à tous les points temporels. En fait, la figure 5.2 indique la différence absolue entre les estimations directes et les estimations de modélisation. Les zones sont ordonnées selon la variance estimée des estimations directes. Tous les estimateurs par modèle ont un même comportement général avec des différences moindres pour les estimations plus précises et des différences de plus en plus marquées pour les estimations directes plus variables. Nous pouvons toutefois remarquer que le modèle YRG fait voir des différences positives systématiquement plus prononcées, ce qui suscite certaines préoccupations en matière de biais.

Comme nous l’avons mentionné, le modèle MLM fait appel à une variable aléatoire discontinue pour modéliser l’hétérogénéité inobservée plutôt que d’y aller de l’hypothèse plus répandue d’un traitement continu (ordinairement gaussien). C’est pourquoi on peut regrouper les petits domaines selon l’état latent auquel appartiennent les zones à chaque moment. Dans cette application, nous ordonnons les états latents et pouvons les rattacher au niveau de chômage, conditionnellement étant donné les covariables. La figure 5.3 montre l’évolution du regroupement des petits domaines selon les états latents le long de 44 points temporels. La quatrième grappe est très petite et comprend des zones à fréquence très élevée de chômage. De plus, la configuration paraît très stable dans le temps, la probabilité de changement d’état latent étant très ténue. À noter que, bien qu’une tendance temporelle soit perceptible dans les données, cet aspect est appréhendé par les variables fictives de la tendance et de la saisonnalité. Ces résultats sont étayés par les probabilités initiales et transitoires estimées :

$$\begin{array}{ll}\widehat{\pi }\hfill & ={\left(\text{0,505;}\text{0,340;}\text{0,144;}\text{0,011}\right)}^{\prime }\text{}\mathrm{,}\hfill \\ \widehat{\Pi }\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cccc}\text{0,967}& \text{0,027}& \text{0,004}& \text{0,002}\\ \text{0,020}& \text{0,956}& \text{0,020}& \text{0,004}\\ \text{0,007}& \text{0,035}& \text{0,946}& \text{0,012}\\ \text{0,035}& \text{0,007}& \text{0,030}& \text{0,929}\end{array}\right)\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

La figure 5.4 présente les séries chronologiques des estimations directes et des estimations correspondantes par modèle pour un choix de petits domaines. Aoste (a) est une petite ZMLT tout au nord du pays où le chômage est faible. Dans ce cas, le modèle MLM lisse plus les estimations directes que les autres méthodes, alors que le modèle YRG suit le tracé des estimations directes, mais avec un biais négatif constatable. Milan (b) est une grande ville septentrionale de l’Italie et la ZMLT qui y correspond présente habituellement une très grande taille d’échantillon. Comme on pouvait s’y attendre, les modèles F-H et MLM suivent les valeurs des estimations directes, tandis que le modèle YRG accuse une nette tendance à la sous-estimation. Pérouse et Brindisi sont deux villes de taille intermédiaire se situant respectivement au centre et au sud de la botte italienne. La configuration des estimateurs par modèle est très claire : le modèle MLM assure un très bon lissage de la tendance plutôt irrégulière des estimations directes, mieux que le modèle F-H, et le modèle YRG présente là encore une tendance à un biais négatif, plus particulièrement après les quelques premiers trimestres.

On s’attend à ce que les estimations par modèle non seulement livrent des estimations pour les zones hors échantillon, mais apportent aussi des gains d’efficacité par rapport aux estimations directes. À la figure 5.5, nous présentons la distribution des c.v. dans une comparaison des estimations par modèle de petites zones pour chaque point temporel et dans un classement selon les différentes valeurs applicables de c.v. comme à la figure 2.3. Le modèle F-H donne des estimations pour les zones hors échantillon, mais ne paraît pas devoir constituer une méthode d’estimation utile dans le cas de ces données, puisqu’il n’y a qu’une poignée d’estimations dont le c.v. soit de moins de 16 %. En revanche, le modèle YRG améliore très largement l’efficacité estimée et presque toutes les estimations ont un c.v. inférieur à 33,3 %. Le modèle MLM fait faire un bon gain par rapport au modèle F-H, car seulement 15 % environ des estimations sur petits domaines ont un c.v. de plus de 33,3 %.

Ajoutons que les estimations sur petits domaines devraient être proches des chiffres de population là où ces données sont disponibles. Ici, nous prenons les données du recensement italien de la population de 2011 et adoptons comme cadre de référence les valeurs de fréquence de chômage des ZMLT de ce recensement. Plus particulièrement, nous évaluons les distances entre les estimations du point temporel le plus proche, à savoir le quatrième trimestre de 2011, et les valeurs correspondantes du recensement ${\text{Cens}}_i,$ et nous calculons l’erreur relative absolue (ERA) pour chaque zone $i.$

$${\text{ERA}}_i\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\left|{\widehat{\theta }}_i-{\text{Cens}}_i\right|}{{\text{Cens}}_i}(5.1)$$

Les ${\text{ERA}}_i$ sont aussi une sorte de mesure du biais relatif, et il importe d’évaluer et de comparer le rendement pour ce qui est de l’erreur globale des estimations. À noter que, pour les petits domaines, le paramètre d’intérêt et la quantité correspondante du recensement n’ont pas exactement la même définition. En fait, l’EPA est une enquête permanente et la fréquence de chômage qui y correspond est celle d’un trimestre, alors que les données du recensement concernent un jour civil déterminé. Il faut aussi dire que l’ordre et le libellé des deux questionnaires d’évaluation du chômage diffèrent légèrement. À la figure 5.6, nous comparons la distribution des ${\text{ERA}}_i$ pour les modèles MLM et YRG. Par la distribution empirique des ${\text{ERA}}_i,$ nous remarquons que le modèle MLM livre systématiquement des valeurs inférieures à celles du modèle YRG. Si nous prenons le sous-groupe des zones échantillonnées, nous pouvons comparer cette distribution à celle de l’estimateur direct pour conclure que le modèle MLM s’accorde avec les estimations directes pour presque la moitié des petites zones, puis qu’il fournit des estimations avec des valeurs ${\text{ERA}}_i$ relativement moindres. On peut conclure que les estimations YRG présentent une variance estimée inférieure, mais un biais estimé supérieur dans une comparaison avec les données du recensement et les estimations directes. Cela suscite des préoccupations en matière de couverture. Par ailleurs, les estimations MLM ne sont pas aussi bonnes que les estimations YRG pour ce qui est du coefficient de variation, mais si on regarde le biais, le comportement d’ensemble semble être bien plus fiable.

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