Estimation du chômage sur petits domaines à l’aide des modèles latents de Markov
Section 3. Modèles EPD à niveaux de zones et en séries chronologiques

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Rao et Yu (1994) proposent un modèle à niveaux de zones avec des erreurs d’échantillonnage et des effets aléatoires en autocorrélation à l’aide de données tant chronologiques que transversales. Il s’agit d’un modèle d’échantillonnage

$${\widehat{\theta }}_{it}\mathrm{<mo>=</mo>}{\theta }_{it}+e_{it}\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{,}t\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}T\mathrm{,}$$

et d’un modèle de couplage de zones

$${\theta }_{it}=x_{it}^{\prime }\beta +v_i+u_{it}\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{,}t\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}T\mathrm{,}$$

où ${\theta }_{it}$ est la valeur réelle correspondant à l’estimation ${\widehat{\theta }}_{it}$ pour la moyenne de petit domaine, où $x_{it}$ est un vecteur colonne $p-$ dimensionnel de covariables fixes et où $e_{it}$ correspond aux erreurs normales d’échantillonnage. Avec la valeur réelle ${\theta }_{it},$ chaque vecteur $e_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(e_{i1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{e}_{iT}\right)}^{\prime }$ présente une distribution normale multidimensionnelle avec une moyenne nulle et une matrice des variances-covariances connues ${\Psi }_i.$ Ajoutons que $v_i\sim N\left(\mathrm{0,}{\sigma }_v^2\right)$ est l’effet de zone et $u_{it}=\rho u_{i\text{}\mathrm{,}t-1}+{ϵ}_{it},$ avec $\left|\rho \right|\mathrm{<mo><</mo>\; 1}$ et ${ϵ}_{it}\sim N\left(\mathrm{0,}{\sigma }_{ϵ}^2\right),$ est l’effet de zone dans le temps. Dans ce modèle, $e_i,$ $v_i,$ et ${ϵ}_{it}$ sont censés être indépendants les uns des autres. Dans notre application, ${\Psi }_i$ forme la diagonale avec les éléments ${\psi }_{it},$ pour $t\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}T.$

Dans la formulation précédente, le modèle de couplage de zones représente foncièrement un modèle linéaire à coefficients mixtes. You et coll. (2003, YRG) transposent ce modèle en un modèle BH comme suit. Soit ${\theta }_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\theta }_{i1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\theta }_{iT}\right)}^{\prime }$ et ${\widehat{\theta }}_i={\left({\widehat{\theta }}_{i1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\widehat{\theta }}_{iT}\right)}^{\prime }\text{},$ alors

$$\begin{array}{ll}{\widehat{\theta }}_i|{\theta }_i\hfill & \sim N_T\left({\theta }_i,{\Psi }_i\right)\mathrm{,}\hfill \\ {\theta }_{it}|\beta \mathrm{,}{u}_{it}\mathrm{,}{\sigma }_v^2\hfill & \sim N\left(x_{it}^{\prime }\beta +u_{it}\mathrm{,}{\sigma }_v^2\right)\mathrm{,}(3.1)\hfill \\ u_{it}|u_{i\text{}\mathrm{,}t-1}\mathrm{,}{\sigma }_{ϵ}^2\hfill & \sim N\left(\rho u_{i\text{}\mathrm{,}t-1}\mathrm{,}{\sigma }_{ϵ}^2\right)\mathrm{,}\hfill \end{array}$$

où $\beta ,$ ${\sigma }_v^2,$ et ${\sigma }_{ϵ}^2$ sont mutuellement indépendants. Le modèle est entièrement spécifié lorsqu’on choisit des distributions antérieures pour $\beta ,$ ${\sigma }_v^2,$ et ${\sigma }_{ϵ}^2,$ à savoir $f\left(\beta \right)\propto 1,$ ${\sigma }_v^2\sim \text{GI}\left(a_1\mathrm{,}{b}_1\right),$ et ${\sigma }_{ϵ}^2\sim \text{GI}\left(a_2\mathrm{,}{b}_2\right),$ où $a_1,$ $a_2,$ $b_1$ et $b_2$ sont des hyperparamètres positifs connus et d’ordinaire réglés pour être peu élevés et traduire une vague connaissance de ${\sigma }_v^2$ et ${\sigma }_{ϵ}^2.$

Datta et coll. (1999) adoptent cette approche, mais introduisent une structure plus riche pour la partie fixe du modèle de couplage en posant ce qui suit :

$${\theta }_{it}\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_{it}^{\prime }{\beta }_i+v_i+u_{it}\mathrm{,}(3.2)$$

où $v_i$ et ${\beta }_i$ sont respectivement les valeurs à l’origine et les coefficients de régression par zone et où $u_{it}$ est un terme d’erreur par zone selon le modèle à marche aléatoire.

$$u_{it}|u_{i\text{}\mathrm{,}t-1},{\sigma }_{ϵ}^2\sim N\left(u_{i\text{}\mathrm{,}t-1}\mathrm{,}{\sigma }_{ϵ}^2\right)\mathrm{.}$$

Le vecteur colonne de variables auxiliaires $x_{it}$ peut aussi comprendre des variables fictives pour les ajustements d’année et/ou de saisonnalité. Il convient de noter que les coefficients de régression par zone accroissent considérablement la complexité des estimations et la charge de calcul. C’est pourquoi on suppose que les hyperparamètres sont $m$ réalisations indépendantes d’une distribution probabiliste commune spécifiée par $v_i\sim N\left(\mathrm{0,}{\sigma }_v^2\right)$ et ${\beta }_i\sim N\left(\beta \mathrm{,}{W}_{\beta }^{-1}\right),$ valeurs qui dépendent à leur tour de paramètres appropriés. Pour plus de détails, voir Datta et coll. (1999).

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