Utilisation de l’échantillonnage équilibré dans les enquêtes sur les prises des pêcheurs sportifs
Section 4. Comparaison de la méthode du cube et de l’algorithme réjectif

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Chauvet et coll. (2015) ont étudié la méthode du cube et l’algorithme réjectif en examinant différents aspects de ces techniques d’équilibrage. Ils ont effectué l’équilibrage sur des variables auxiliaires continues et ont décrit comment l’algorithme d’équilibrage influe sur les probabilités de sélection et les propriétés d’échantillonnage des estimateurs des totaux de population. L’objectif, à la présente section, est de comparer les deux algorithmes d’échantillonnage dans le contexte d’un inventaire de ressources où les équations d’équilibrage ne font intervenir que des variables indicatrices. Cette comparaison est effectuée dans le contexte d’une enquête simplifiée sur les prises des pêcheurs sportifs sous un plan d’échantillonnage à deux degrés stratifié. Les jours représentent les strates $h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}H,$ les secteurs sont définis comme étant les unités primaires $i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,<mtext>\hspace{0.17em}</mtext>2,<mtext>\hspace{0.17em}</mtext>3}$ et les sites, représentés par l’indice $j,$ sont les unités secondaires. Ce plan d’échantillonnage est similaire à celui exposé à la section 3.1, excepté que les périodes et les sous-périodes n’en font pas partie.

Chaque jour, deux secteurs sur trois sont sélectionnés et, dans chacun, deux sites sont échantillonnés; donc quatre unités sont sélectionnées chaque jour. La variable d’importance du site $x_{ij}$ détermine les probabilités d’inclusion ${\pi }_{hij}\mathrm{<mo>=</mo>}\left(2x_{i•}/x_{••}\right)\times \left(2x_{ij}/x_{i•}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_{hi}\times {\pi }_{hj|i}$ pour les deux degrés d’échantillonnage. Comme deux unités sur trois sont sélectionnées à chaque niveau, les probabilités de sélection conjointes sont complètement déterminées par $\left\{\left({\pi }_{hi}\mathrm{,}{\pi }_{hj|i}\right)\mathrm{<mo>:</mo>}i\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,<mtext>\hspace{0.17em}</mtext>2,<mtext>\hspace{0.17em}</mtext>3}\right\}$ pour les deux degrés; voir l’annexe. Si $Z_{hij}$ représente les variables indicatrices prenant la valeur de 1 si le site $\left(i\mathrm{,}j\right)$ est échantillonné le jour $h,$ et 0 sinon, alors les entrées de la matrice de variance-covariance de dimensions $9\times 9$ pour $\left\{Z_{hij}\mathrm{<mo>:</mo>}i\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,<mtext>\hspace{0.17em}</mtext>2,<mtext>\hspace{0.17em}</mtext>3}\right\}$ sont données par

$$\text{Cov}\left(Z_{hij}\mathrm{,}{Z}_{h{i}^{\prime }{j}^{\prime }}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\{\begin{array}{ll}{\pi }_{hij}-{\pi }_{hij}^2\hfill & \text{si}i=i^{\prime }\text{et}j=j^{\prime }\hfill \\ {\pi }_{hi}{\pi }_{hj{j}^{\prime }|i}-{\pi }_{hij}{\pi }_{hi{j}^{\prime }}\hfill & \text{si}i=i^{\prime }\text{et}j\ne j^{\prime }\hfill \\ {\pi }_{hi{i}^{\prime }}{\pi }_{hj|i}{\pi }_{h{j}^{\prime }|i^{\prime }}-{\pi }_{hij}{\pi }_{h{i}^{\prime }{j}^{\prime }}\hfill & \text{si}i\ne i^{\prime }\hfill \end{array}(4.1)$$

où ${\pi }_{hi{i}^{\prime }}$ représente la probabilité de sélection conjointe des secteurs $i$ et $i^{\prime }$ pour un seul jour, ${\pi }_{hj|i}$ est la probabilité de sélection du site $j,$ dans le secteur $i,$ au deuxième degré et ${\pi }_{hj{j}^{\prime }|i}$ est la probabilité de sélection conjointe des sites $j$ et $j^{\prime }$ dans le secteur $i.$ Toutes ces probabilités sont évaluées en utilisant la mesure de taille $x.$ Des renseignements détaillés figurent à l’annexe; voir aussi Ousmane Ida (2016). La matrice correspondante $\text{Var}\left(\tilde{n}\right)$ dans (2.3) est singulière car une des neuf contraintes est redondante; donc, dans (2.3), nous avons utilisé une inverse généralisée de la matrice de covariance et nous avons fixé la valeur de ${\gamma }^2\text{},$ dans (2.3), à 2,73 et 7,34, les $5^{\text{e}}$ et ${50}^{\text{e}}$ centiles de la distribution de ${\chi }_8^2.$

4.1  Simulations pour la comparaison de la méthode du cube et de l’algorithme réjectif

Afin d’étudier l’effet de l’algorithme sur les propriétés d’échantillonnage des estimateurs, nous avons simulé, pour chaque unité, un effort de pêche pour le site $\left(i\mathrm{,}j\right)$ le jour $h,$ $y_{hij},$ en utilisant des variables aléatoires de Poisson indépendantes de moyenne $15\times x_{ij}.$ L’effort de pêche total pour le site $\left(i\mathrm{,}j\right)$ est alors donné par

$$Y_{Uij}={\displaystyle \sum _{h\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^H{y}_{hij}}\mathrm{.}$$

Un estimateur calé, comme il est défini à la section 3.2, pour l’effort de pêche au site $\left(i\mathrm{,}j\right)$ est ${\widehat{Y}}_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}H{\overline{y}}_{sij},$ l’effort de pêche moyen pour les $n_{ij}$ unités échantillonnées au site $\left(i\mathrm{,}j\right)$ multiplié par $H.$

Pour comparer les algorithmes d’équilibrage, nous avons utilisé des plans comprenant $H\mathrm{<mo>=</mo>\; 12}$ strates et deux variables d’importance $x,$ l’une avec une faible variation entre les sites et l’autre avec une variation moyenne. Sous chaque scénario, nous avons généré $B\mathrm{<mo>=</mo>}\text{100}\text{000}$ répliques aléatoires d’un échantillon équilibré en utilisant la méthode du cube d’une part, et deux algorithmes réjectifs, d’autre part. Les probabilités d’inclusion pour le site $\left(i\mathrm{,}j\right)$ sont estimées par

$${\widehat{\pi }}_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{B\times H}{\displaystyle \sum _{b\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^B{n}_{ij}^{\left(b\right)}}\mathrm{.}$$

Cet estimateur suppose que les probabilités d’inclusion ${\pi }_{hij}$ sont constantes en $h.$ Cela est vrai parce que le plan de sondage est invariant en cas de réétiquetage des jours, voir la section 3.1.

Comme il est soutenu à la section 3.2, l’estimateur calé ${\widehat{Y}}_{ij}$ est sans biais par rapport au plan sous les deux algorithmes. Nous comparons leurs écarts-types,

$${\text{Sd}}_{{\widehat{Y}}_{ij}}={\left\{\frac{1}{B-1}{\displaystyle \sum _{b\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^B{\left({\widehat{Y}}_{ij}^{\left(b\right)}-{\overline{\widehat{Y}}}_{ij}\right)}^2}\right\}}^{1/2}\text{}\mathrm{,}$$

où ${\overline{\widehat{Y}}}_{ij}$ est la moyenne des $B$ valeurs simulées. Les écarts-types des tailles d’échantillon sont également calculés en se servant de (3.2). Observons que ${\widehat{\pi }}_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}{\overline{n}}_{ij}/H.$ Les résultats de simulation sont présentés aux tableaux 4.1, 4.2 et 4.3.

Dans les tableaux 4.1 et 4.2, la méthode du cube maintient les probabilités de sélection et donne un estimateur du total présentant les écarts-types les plus petits. Prendre ${\gamma }^2$ égale au ${50}^{\text{e}}$ centile de la distribution de ${\chi }_8^2$ pour l’algorithme réjectif donne de mauvais résultats, tant en ce qui concerne les probabilités de sélection que les écarts-types de ${\overline{y}}_{sij}.$ Pour les probabilités de sélection, les biais les plus importants se produisent aux valeurs de $x$ extrêmes dans le tableau 4.2. La probabilité de sélection pour le site $j\mathrm{<mo>=</mo>\; 4}$ est sous-estimée de 11 % par la méthode réjective fondée sur le ${50}^{\text{e}}$ centile et de 5 % par celle fondée sur le $5^{\text{e}}$ centile. La probabilité est surestimée pour les sites dont les valeurs de $x$ sont grandes.

Aux tableaux 4.1 et 4.2, l’écart-type de ${\widehat{Y}}_{ij}$ est, dans la plupart des cas, le plus petit pour la méthode du cube et le plus grand pour l’algorithme réjectif fondé sur le ${50}^{\text{e}}$ centile. Les écarts-types pour l’algorithme réjectif sont jusqu’à 10 % plus grands que ceux obtenus pour la méthode du cube. Dans le tableau 4.2, le gain d’efficacité le plus important de la méthode du cube par rapport à l’algorithme réjectif $R5\mathrm{<mi>\%</mi>}$ (égal au ratio des carrés des écarts-types) est de 23 %; il s’observe quand $j\mathrm{<mo>=</mo>\; 4}$ et $x\mathrm{<mo>=</mo>\; 1.}$ Ces écarts-types sont dictés par la variabilité des tailles d’échantillon $n_{ij}.$ Le tableau 4.3 donne les écarts-types des tailles d’échantillon. Puisque les nombres prévus de visites au secteur 1 et aux sites 1, 2, et 3 sont des entiers, la méthode du cube permet d’obtenir des tailles d’échantillon égales à leurs espérances pour ce secteur et les écarts-types des tailles d’échantillon sont nuls. Cela n’est pas possible pour les secteurs 2 et 3, car les tailles prévues d’échantillon pour ces secteurs ne sont pas des valeurs entières. En général, les algorithmes réjectifs donnent des tailles d’échantillon dont les écarts-types sont nettement plus variables que ceux des échantillons obtenus pour la méthode du cube. Les estimateurs des totaux produits par l’algorithme réjectif sont donc plus variables que ceux obtenus par la méthode du cube.

L’estimateur de variance conditionnelle pour l’effort de pêche ${\widehat{Y}}_{ij}$ au site $\left(i\mathrm{,}j\right)$ proposé à la section 3.2 est

$$v\left({\widehat{Y}}_{ij}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{H^2\left(1-n_{ij}/H\right)}{n_{ij}}{\displaystyle \sum _{h\in s_{ij}}\frac{{\left(y_{hij}-{\overline{y}}_{sij}\right)}^2}{n_{ij}-1}}\mathrm{.}$$

Les propriétés d’échantillonnage conditionnelles, sachant $n_{ij},$ de cet estimateur de variance ont été examinées dans le cadre de l’étude Monte Carlo avec $B\mathrm{<mo>=</mo>}$10 000 échantillons équilibrés pour les trois plans de sondage. Pour chaque site et pour chaque taille d’échantillon $n_{ij}$ , nous avons évalué la variance conditionnelle $\text{Var}\left({\widehat{Y}}_{ij}|n_{ij}\right)$ et l’espérance conditionnelle de l’estimateur de variance $\text{E}\left\{v\left({\widehat{Y}}_{ij}\right)\right\}$ en nous servant des échantillons Monte Carlo pour lesquels la taille d’échantillon pour le site $\left(i\mathrm{,}j\right)$ était $n_{ij}.$ Nous avons ensuite calculé le biais relatif conditionnel de l’estimateur de variance $\text{E}\left\{v\left({\widehat{Y}}_{ij}\right)\right\}/\text{Var}\left({\widehat{Y}}_{ij}|n_{ij}\right)-1.$ Puis, nous avons agrégé les biais relatifs conditionnels en pondérant chaque taille d’échantillon $n_{ij}$ par sa fréquence dans les 10 000 échantillons Monte Carlo; les résultats sont présentés au tableau 5.1.

Au tableau 5.1, les biais relatifs agrégés sont inférieurs à 3 % en valeur absolue pour les trois algorithmes de sélection. Cela valide l’estimateur de variance conditionnelle proposé à la section 3.2 pour une seule cellule du tableau croisé. Les variances conditionnelles de sommes telles que ${\widehat{Y}}_{ij}+{\widehat{Y}}_{i{j}^{\prime }}$ sont plus compliquées à calculer, car elles font intervenir les probabilités de sélection conjointe; l’estimation de ces variances n’est pas examinée ici. Voir Breidt et Chauvet (2011) pour une discussion de l’estimation de la variance sous la méthode du cube.

La conclusion de cette étude Monte Carlo est que l’algorithme réjectif modifie les probabilités de sélection, les sites de faible importance étant sous-représentés dans les échantillons réjectifs, tandis que la méthode du cube préserve très bien les probabilités de sélection. Sous les deux algorithmes, l’estimateur calé du total de $y$ dans un domaine est sans biais. Cependant, l’algorithme du cube produit de plus petites variances, car il donne des tailles d’échantillon de domaine moins variables que l’algorithme réjectif.

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