Utilisation de l’échantillonnage équilibré dans les enquêtes sur les prises des pêcheurs sportifs
Section 2. Échantillonnage équilibré

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Soit $U$ une population finie de taille $N$ échantillonnée selon un plan de sondage dont les probabilités de sélection sont données par $\left\{{\pi }_i:i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots ,N\right\}.$ Si $x$ est une variable auxiliaire connue pour toutes les unités de la population, alors l’échantillon est équilibré sur $x$ si l’estimateur de Horvitz-Thompson du total de $x$ est égal au total connu de $x.$ Autrement dit, pour tout échantillon équilibré $s,$ l’équation qui suit doit être satisfaite,

$${\displaystyle \sum _{i\in s}\frac{x_i}{{\pi }_i}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N{x}_i}\mathrm{.}(2.1)$$

Pour les enquêtes dont il est question ici, nous équilibrons sur la variable indicatrice $I_i\left(\omega \right)$ qui est égale à 1 si l’unité $i$ est du type $\omega$ et à 0 sinon. Si toutes les unités $i$ pour lesquelles $I_i\left(\omega \right)$ est égal à 1 ont la même probabilité de sélection ${\pi }_{\omega },$ alors l’équation (2.1) se réduit à ${\displaystyle {\sum }_{i\in s}{I}_i\left(\omega \right)}/{\pi }_{\omega }\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N{I}_i\left(\omega \right)}.$ Dans ce contexte, l’équation d’équilibrage demande simplement que le nombre d’unités échantillonnées de type $\omega ,$ $n_{\omega }\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{i\in s}{I}_i\left(\omega \right),}$ soit égal à son espérance,

$$n_{\omega }\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^N{I}_i\left(\omega \right){\pi }_{\omega }}\mathrm{.}(2.2)$$

Pour mettre en œuvre l’échantillonnage équilibré, nous utilisons la méthode du cube de Deville et Tillé (2004), ainsi que l’extension de Hasler et Tillé (2014) pour traiter les populations très stratifiées. À la section 4, nous comparons cette méthode à l’application de la méthode réjective proposée par Fuller (2009). Dans le contexte de la présente étude, nous équilibrons sur $T$ types d’unités; nous voulons que les nombres échantillonnés d’unités pour les $T$ types, $\tilde{n}={\left(n_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{n}_T\right)}^{ㄒ}\text{},$ soient égaux à leurs espérances, $E\left(\tilde{n}\right),$ sous le plan d’échantillonnage. Sous la méthode réjective, l’échantillon est dit équilibré si

$$Q_{T\text{}\mathrm{,}n}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(\tilde{n}-E\left(\tilde{n}\right)\right)}^{ㄒ}{\left[\text{Var}\left(\tilde{n}\right)\right]}^{-1}\left(\tilde{n}-E\left(\tilde{n}\right)\right)\mathrm{<mo><</mo>}{\gamma }^2(2.3)$$

où $\text{Var}\left(\tilde{n}\right)$ représente la matrice de covariance sous le plan de $\tilde{n},$ et ${\gamma }^2$ est une valeur de tolérance qui détermine la condition d’équilibrage. Les échantillons qui ne satisfont pas à l’équation d’équilibrage $Q_{T\text{}\mathrm{,}n}\mathrm{<mo><</mo>}{\gamma }^2$ sont simplement rejetés.

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