Une comparaison d’estimateurs non paramétriques pour les fonctions de répartition de populations finies 1. Introduction
Depuis la publication de l’article fondamental de Chambers et Dunstan (1986), plusieurs estimateurs ont été proposés pour les fonctions de répartition de populations finies. La plupart sont fondés sur différents types de valeurs prédites ou sur différents moyens de combiner ces valeurs en un estimateur. Ainsi, l’estimateur proposé par Chambers et Dunstan (1986) s’appuie sur des valeurs prédites tirées d’un modèle de superpopulation dans lequel le lien entre la variable étudiée et une variable auxiliaire est donné par un modèle de régression linéaire à composantes d’erreur indépendantes dont les variances sont supposées connues. En remplaçant les fonctions indicatrices non observées par les valeurs prédites dans la définition de la fonction de répartition de la population de la variable étudiée, on obtient l’estimateur de Chambers et Dunstan. Rao, Kovar et Mantel (1990) intègrent les poids de sondage dans les valeurs prédites de Chambers et Dunstan, puis utilisent celles-ci dans un estimateur par la différence généralisée. Kuo (1988) recourt à la régression non paramétrique pour estimer directement la relation de régression entre les fonctions indicatrices et la variable auxiliaire, et obtient des valeurs prédites qui admettent pratiquement n’importe quel modèle de superpopulation. Comme Chambers et Dunstan, elle remplace les fonctions indicatrices non observées par les valeurs prédites correspondantes et obtient un estimateur fondé sur un modèle. Chambers, Dorfman et Wehrly (1993) combinent les valeurs prédites de Chambers et Dunstan (1986) et de Kuo (1988) et proposent un autre estimateur fondé sur un modèle qui vise à être plus efficace que l’estimateur de Kuo si le modèle de superpopulation linéaire supposé par Chambers et Dunstan est vérifié, et qui ne souffre pas d’un biais de spécification incorrecte du modèle autrement. À la suite de ces premiers travaux, un assez grand nombre de propositions ont été faites en vue de réaliser un gain d’efficacité par rapport à l’estimateur de Horvitz-Thompson, tout en préservant la robustesse de ce dernier et parfois aussi l’une de ses propriétés souhaitables suivantes ou les deux, à savoir i) le fait qu’il s’agit d’une combinaison linéaire des fonctions indicatrices dans l’échantillon dont les coefficients ne dépendent pas de la variable étudiée et ii) le fait qu’il produit toujours des estimations non décroissantes pour la fonction de répartition.
Le présent travail part de l’idée d’améliorer les valeurs prédites proposées par Kuo (1988) en y incorporant une estimation de la fonction de régression à la moyenne (voir la section 2). Cette idée, avancée dans un ouvrage récent de Chambers et Clark (2012), repose sur l’hypothèse d’un modèle de superpopulation sous-jacent caractérisé par une relation de régression lisse entre la variable étudiée et une variable auxiliaire, ainsi qu’une variation lisse des distributions des composantes de l’erreur. Selon cette idée, les valeurs prédites sont le résultat d’une procédure en deux étapes : à la première étape, la fonction de régression à la moyenne est estimée par régression paramétrique ou non paramétrique, et à la deuxième étape, en utilisant les résidus de cette régression, les fonctions de répartition des composantes de l’erreur sont estimées par régression non paramétrique afin de tenir compte de la possibilité d’une variation lisse des distributions des composantes de l’erreur. En combinant les deux estimations, on peut calculer les valeurs prédites pour les fonctions indicatrices qui figurent dans la fonction de répartition de la population finie de la variable étudiée. Chambers et Clark (2012) analysent l’estimateur fondé sur un modèle obtenu en remplaçant les fonctions indicatrices non observées par les valeurs prédites correspondantes, et ils esquissent une preuve qui mène à une expression pour la variance sous le modèle de l’estimateur résultant. Dans cette preuve, ils supposent que la fonction de régression à la moyenne est estimée au moyen d’un estimateur convergent et que la contribution de son erreur d’estimation à la variance sous le modèle de l’estimateur de la fonction de répartition finale peut être négligée. Dans le présent travail, nous considérons la régression linéaire locale pour estimer à la fois la fonction de régression à la moyenne sous le modèle et les distributions des composantes de l’erreur. Nous donnons des développements asymptotiques pour le biais et pour la variance sous le modèle de l’estimateur résultant et les comparons à ceux correspondant à l’estimateur de Kuo fondé sur la régression linéaire locale. Il s’avère que les termes principaux dans les variances sous le modèle sont les mêmes et que, pour des suites de fenêtres de lissage choisies comme il convient, le carré du biais sous le modèle des deux estimateurs tend vers zéro plus rapidement que la variance sous le modèle. Pour établir quel estimateur est asymptotiquement plus efficace du point de vue de la modélisation, il est donc nécessaire de connaître les termes d’ordre deux des variances sous le modèle. Cependant, ces derniers dépendent d’hypothèses plus précises que celles considérées dans le présent travail et, du moins pour l’estimateur fondé sur les valeurs prédites modifiées, il semble que la détermination des termes d’ordre deux des variances sous le modèle ne soit pas une tâche facile. La question de savoir quel estimateur est le plus efficace du point de vue de la modélisation reste donc à résoudre.
En plus des estimateurs fondés sur un modèle susmentionnés, nous analysons les estimateurs par la différence généralisée fondés sur les deux types de valeurs prédites dans leurs versions pondérées selon le plan de sondage. Les résultats présentés à la section 3 montrent que les vitesses de convergence de leurs biais et de leurs variances sous le modèle sont les mêmes que pour leurs équivalents fondés sur un modèle. Les propriétés sous le plan de sondage sont discutées dans une certaine mesure à la section 4, de même que la question de l’estimation de la variance. Il serait évidemment intéressant d’établir et de comparer les développements asymptotiques pour les biais et les variances sous le plan de sondage. Breidt et Opsomer (2000) obtiennent sous des conditions faibles une expression générale pour le terme d’ordre un dans l’erreur quadratique moyenne sous le plan des estimateurs de régression par polynômes locaux, dont l’estimateur par la différence généralisée fondé sur les valeurs prédites de Kuo est un cas particulier. L’estimateur par la différence généralisée fondé sur les valeurs prédites modifiées ne rentre toutefois pas dans cette classe. À l’instar de Särndal, Swensson et Wretman (1992), nous conjecturons que, sous des conditions générales, le terme d’ordre un de son erreur quadratique moyenne sous le plan est le même que celui de l’estimateur par la différence généralisée fondé sur les valeurs prédites de Kuo. Des preuves formelles pourraient peut-être être obtenues en adaptant et en étendant certains résultats présentés dans Wang et Opsomer (2011). Pour vérifier cette conjecture et comparer la performance de l’estimateur par la différence généralisée et de l’estimateur fondé sur un modèle dans diverses conditions, nous effectuons une étude en simulation dont les résultats sont présentés à la section 5.
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