Une comparaison d’estimateurs non paramétriques pour les fonctions de répartition de populations finies 3. Propriétés sous le modèleUne comparaison d’estimateurs non paramétriques pour les fonctions de répartition de populations finies 3. Propriétés sous le modèle

À la présente section, nous donnons des développements asymptotiques pour le biais et la variance sous le modèle des estimateurs présentés à la section précédente. Ces développements s’appuient sur les hypothèses suivantes :

(C1) $N \to \infty$ et les suites de valeurs $x_{i}$ et de plans de sondage sont telles que

$H_{N, s} (x) := \frac{1}{n} \sum_{i \in s} I (x_{i} \leq x)$

$H_{N, \bar{s}} (x) := \frac{1}{N - n} \sum_{i \notin s} I (x_{i} \leq x)$

convergent vers des fonctions de répartition absolument continues $H_{s} (x) : = \int_{a}^{x} h_{s} (z) d z$ et $H_{\bar{s}} (x) : = \int_{a}^{x} h_{\bar{s}} (z) d z$ respectivement. Le support de $H_{s} (x)$ et $H_{\bar{s}} (x)$ est donné par un intervalle borné $[a, b]$ et les dérivées premières des fonctions de densité $h_{s} (x)$ et $h_{\bar{s}} (x)$ sont bornées pour $x \in (a, b) .$ $h_{s} (x)$ possède une borne inférieure strictement positive.
(C2) La fonction noyau $K (u)$ est symétrique, a pour support $[- 1, 1]$ et possède une dérivée bornée pour $u \in (- 1, 1) .$ La suite de fenêtres de lissage $λ$ tend vers zéro suffisamment lentement pour que

$α := \max {\sup_{x \in [a, b]} | H_{N, s} (x) - H_{s} (x) |, \sup_{x \in [a, b]} | H_{N, \bar{s}} (x) - H_{\bar{s}} (x) |}$

soit d’ordre $o (λ) .$
(C3) Les valeurs $y_{i}$ de la population sont générées à partir du modèle (2.1). La fonction $m (x)$ est telle que

$| m (x) - m (x_{0}) - m^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) - \frac{1}{2} m^{''} (x_{0}) {(x - x_{0})}^{2} | \leq C {| x - x_{0} |}^{2 + δ}$

pour un certain $δ > 0,$ et la famille des fonctions de répartition des composantes de l’erreur $G (ε | x)$ est telle que

$\begin{array}{l} | \begin{array}{l} G (ε | x) - G (ε_{0} | x_{0}) - G^{(1,0)} (ε_{0} | x_{0}) (ε - ε_{0}) - G^{(0,1)} (ε_{0} | x_{0}) (x - x_{0}) \\ - \frac{1}{2} (G^{(2,0)} (ε_{0} | x_{0}) {(ε - ε_{0})}^{2} + 2 G^{(1,1)} (ε_{0} | x_{0}) (ε - ε_{0}) (x - x_{0}) + G^{(0,2)} (ε_{0} | x_{0}) {(x - x_{0})}^{2}) \end{array} | \\ \leq C ({| ε - ε_{0} |}^{2 + δ} + {| x - x_{0} |}^{2 + δ}) \end{array}$

pour $C > 0$ et $δ > 0,$ où

$G^{(r, s)} (ε | x) := \partial^{r + s} G (ε | x) / (\partial ε^{r} \partial x^{s}) pour r, s =0,1,2.$

L’hypothèse (C1) impose une contrainte sur la façon dont les valeurs $x_{i}$ dans l’échantillon et hors de celui-ci sont générées. Conjuguée à l’hypothèse (C2), elle fait en sorte que les erreurs d’estimation des estimateurs à noyau de la densité pour $h_{s} (x)$ et $h_{\bar{s}} (x)$ tendent vers zéro uniformément pour $x \in [a + λ, b - λ]$ et qu’elles sont bornées uniformément pour $x \in [a, b] .$ Le remplacement de (C1) par des hypothèses plus précises pourrait permettre de relâcher (C2) et d’accroître la vitesse de convergence uniforme pour l’erreur d’estimation des estimateurs à noyau de la densité (voir par exemple les résultats dans Hansen 2008). Enfin, l’hypothèse (C3) est nécessaire pour que les erreurs quadratiques moyennes des deux estimateurs sous le modèle convergent vers zéro. Elle peut être relâchée au prix d’une réduction des vitesses de convergence. En plus des hypothèses (C1) à (C3), nous aurons besoin de l’hypothèse (C4) qui suit pour nous assurer que les erreurs quadratiques moyennes des estimateurs par la différence généralisée sous le modèle tendent vers zéro :

(C4) Les probabilités d’inclusion d’ordre un dans l’échantillon sont données par

$π_{i} := n^{*} \frac{π (x_{i})}{\sum_{j \in U} π (x_{j})}, i \in U,$

où $n^{*}$ est la taille d’échantillon espérée et $π (x)$ est une fonction dont la borne inférieure est strictement positive et qui possède une dérivée première bornée pour $x \in (a, b) .$

Proposition 1. Sous les hypothèses (C1) à (C3), il s’ensuit que :

$\begin{array}{l} E (\hat{F} (t) - F_{N} (t)) & = λ^{2} \frac{N - n}{N} \frac{μ_{2}}{2 μ_{0}} \int_{a}^{b} [G^{(2,0)} (t - m (x) | x) {(m^{'} (x))}^{2} - G^{(1,0)} (t - m (x) | x) m^{''} (x) \\ - 2 G^{(1,1)} (t - m (x) | x) m^{'} (x) + G^{(0,2)} (t - m (x) | x)] h_{\bar{s}} (x) d x + o (λ^{2}) \end{array}$

$\begin{array}{l} var (\hat{F} (t) - F_{N} (t)) & = \frac{1}{n} {(\frac{N - n}{N})}^{2} \int_{a}^{b} [G (t - m (x) | x) - G^{2} (t - m (x) | x)] [h_{\bar{s}} (x) / h_{s} (x)] h_{\bar{s}} (x) d x \\ + \frac{1}{N - n} {(\frac{N - n}{N})}^{2} \int_{a}^{b} [G (t - m (x) | x) - G^{2} (t - m (x) | x)] h_{\bar{s}} (x) d x + o (n^{- 1}), \end{array}$

où $μ_{r} : = \int_{- 1}^{- 1} K (u) u^{r} d u$ pour $r = 0, 1, 2.$

En ajoutant l’hypothèse (C4), on peut montrer que

$\begin{array}{l} E (\tilde{F} (t) - F_{N} (t)) & = λ^{2} \frac{N - n}{N} \frac{μ_{2}}{2 μ_{0}} \int_{a}^{b} [G^{(2,0)} (t - m (x) | x) {(m^{'} (x))}^{2} - G^{(1,0)} (t - m (x) | x) m^{''} (x) \\ - 2 G^{(1,1)} (t - m (x) | x) m^{'} (x) + G^{(0,2)} (t - m (x) | x)] h (x) d x + o (λ^{2}), \end{array}$

où

$h (x) := h_{\bar{s}} (x) + (1 - π^{- 1} (x)) h_{s} (x),$

et l’on peut montrer que

$var (\tilde{F} (t) - F_{N} (t)) = var (\hat{F} (t) - F_{N} (t)) + o (n^{- 1}) .$

Proposition 2. Sous les hypothèses (C1) à (C3) et en supposant que

i) la fonction

$σ^{2} (x) := \int_{- \infty}^{\infty} ε^{2} d G (ε | x)$

possède une dérivée première bornée pour $x \in (a, b),$
ii)

$\sup_{x \in [a, b]} \int_{- \infty}^{\infty} ε^{4} d G (ε | x) < \infty,$

on peut montrer que

$\begin{array}{l} E ({\hat{F}}^{*} (t) - F_{N} (t)) & = λ^{2} \frac{N - n}{N} \frac{μ_{2}}{μ_{0}} \int_{a}^{b} G^{(0,2)} (t - m (x) | x) h_{\bar{s}} (x) d x \\ + \frac{1}{n λ} \frac{N - n}{N} [\frac{K (0) - κ}{μ_{0}} \int_{a}^{b} G^{(1,0)} (t - m (x) | x) (t - m (x)) h_{s}^{- 1} (x) h_{\bar{s}} (x) d x \\ + \frac{κ - θ}{μ_{0}^{2}} \int_{a}^{b} G^{(2, 0)} (t - m (x) | x) σ^{2} (x) h_{s}^{- 1} (x) h_{\bar{s}} (x) d x] + o (λ^{2} + {(n λ)}^{- 1}), \end{array}$

où $κ : = \int_{- 1}^{1} K^{2} (u) d u$ et $θ : = \int_{- 1}^{1} K (v) \int_{- 1}^{1} K (u + v) K (u) d u d v,$ et on peut montrer que

$var ({\hat{F}}^{*} (t) - F_{N} (t)) = var (\hat{F} (t) - F_{N} (t)) + o (n^{- 1} + λ^{5}) .$

En ajoutant l’hypothèse (C4), on peut également montrer que

$\begin{array}{l} E ({\tilde{F}}^{*} (t) - F_{N} (t)) & = λ^{2} \frac{N - n}{N} \frac{μ_{2}}{μ_{0}} \int_{a}^{b} G^{(0,2)} (t - m (x) | x) h (x) d x \\ + \frac{1}{n λ} \frac{N - n}{N} [\frac{K (0) - κ}{μ_{0}} \int_{a}^{b} G^{(1,0)} (t - m (x) | x) (t - m (x)) h_{s}^{- 1} (x) h (x) d x \\ \begin{array}{l} + \frac{κ - θ}{μ_{0}^{2}} \int_{a}^{b} G^{(2,0)} (t - m (x) | x) σ^{2} (x) h_{s}^{- 1} (x) h (x) d x] \\ + o (λ^{2} + {(n λ)}^{- 1}) \end{array} \end{array}$

et que

$var ({\tilde{F}}^{*} (t) - F_{N} (t)) = var (\hat{F} (t) - F_{N} (t)) + o (n^{- 1} + λ^{5}) .$

Les preuves des propositions sont données en annexe. Dorfman et Hall (1993) ont dérivé des développements similaires pour l’estimateur de Kuo en utilisant des poids de régression locaux constants au lieu de linéaires.

Notons qu’étant donné les développements asymptotiques, il est possible de choisir des suites de fenêtres de lissage $λ$ de manière à être certain que les carrés des biais de modèle soient d’un ordre de grandeur inférieur aux variances sous le modèle correspondantes. Pour les estimateurs fondés sur les valeurs prédites de Kuo, cette condition est réalisée quand $λ = o (n^{- 1 / 4}),$ tandis que pour les estimateurs utilisant les valeurs prédites modifiées, cela exige que $λ$ tende vers zéro plus rapidement que $O (n^{- 1 / 4})$ et plus lentement que $O (n^{- 1 / 2}) .$ Les vitesses de convergence pour les biais des derniers estimateurs sous le modèle sont optimisées quand $λ = O (n^{- 1 / 3})$ et, dans ce cas, les biais sous le modèle résultants sont tous deux d’ordre $O (n^{- 2 / 3}) .$ Pour les estimateurs fondés sur les valeurs prédites de Kuo, la convergence des biais sous le modèle peut être rendue plus rapide, en fonction des suites $H_{N, s} (x)$ et $H_{N, \bar{s}} (x)$ et de la suite de fenêtres de lissage $λ .$

Étant donné les considérations susmentionnées concernant les biais sous le modèle et vu que les termes principaux des variances sous le modèle sont les mêmes pour les deux types de valeurs prédites, il serait intéressant de connaître les termes d’ordre deux de ces variances afin d’établir quel estimateur est le plus efficace sous l’angle de l’approche fondée sur un modèle. Les preuves présentées en annexe font toutefois penser que les termes d’ordre deux dépendent d’hypothèses plus spécifiques que (C1) à (C3) et que, en particulier pour les estimateurs fondés sur les valeurs prédites modifiées, ils sont difficiles à déterminer.

ISSN : 1712-5685

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Date de modification :: 2016-06-22

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