Une comparaison d’estimateurs non paramétriques pour les fonctions de répartition de populations finies 4. Propriétés sous le plan de sondageUne comparaison d’estimateurs non paramétriques pour les fonctions de répartition de populations finies 4. Propriétés sous le plan de sondage

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À la section précédente, nous avons montré que les estimateurs fondés sur le modèle $\widehat{F}\left(t\right)$ et ${\widehat{F}}^{*}\left(t\right)$ sont asymptotiquement sans biais sous le modèle et convergents en termes d’erreur quadratique moyenne sous le modèle. Cependant, ils ne sont pas sans biais sous le plan de sondage en général et ne devraient donc pas être utilisés quand les probabilités d’inclusion dans l’échantillon ne sont pas constantes. Dans ces cas, il convient de se servir des estimateurs par la différence généralisée $\tilde{F}\left(t\right)$ et ${\tilde{F}}^{*}\left(t\right).$ En fait, il découle des résultats présentés dans Breidt et Opsomer (2000) que, sous des conditions assez générales, $\tilde{F}\left(t\right)$ est asymptotiquement sans biais sous le plan de sondage et que son erreur quadratique moyenne sous le plan est donnée par

$$E_d\left({\left|\tilde{F}\left(t\right)-F_N\left(t\right)\right|}^2\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{N^2}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{,}j\in U}}\frac{{\pi }_{i\mathrm{,}j}-{\pi }_i{\pi }_j}{{\pi }_i{\pi }_j}\left[I\left(y_i\le t\right)-{\overline{G}}_i\left(t\right)\right]\left[I\left(y_j\le t\right)-{\overline{G}}_j\left(t\right)\right]+o\left(n^{-1}\right)\mathrm{,}$$

où $E_d(\cdot )$ désigne l’espérance par rapport au plan de sondage, ${\pi }_{i,j}$ désigne la probabilité d’inclusion conjointe des unités $i$ et $j$ dans l’échantillon (il est entendu que ${\pi }_{i,i}={\pi }_i),$ et où

$${\overline{G}}_i\left(t\right)\mathrm{<mo>:=</mo>}{\displaystyle \sum _{j\in U}{\overline{w}}_{i\mathrm{,}j}I\left(y_j\le t\right)}\mathrm{.}$$

Les poids de régression ${\overline{w}}_{i,j}$ qui figurent dans la définition de ${\overline{G}}_i\left(t\right)$ s’appliquent à la population finie entière $U$ et sont donnés par

$${\overline{w}}_{i\mathrm{,}j}\mathrm{<mo> :</mo>\; <mo>=</mo>}\frac{1}{N\lambda }K\left(\frac{x_i-x_j}{\lambda }\right)\frac{{\overline{M}}_{\mathrm{2,}s}\left(x_i\right)-\left(\frac{x_i-x_j}{\lambda }\right){\overline{M}}_{\mathrm{1,}s}\left(x_i\right)}{{\overline{M}}_{\mathrm{2,}s}\left(x_i\right){\overline{M}}_{\mathrm{0,}s}\left(x_i\right)-{\overline{M}}_{\mathrm{1,}s}^2\left(x_i\right)}\mathrm{,}$$

où

$${\overline{M}}_{r\mathrm{,}s}\left(x\right)\mathrm{<mo>:=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\in U}}\frac{1}{N\lambda }K\left(\frac{x-x_k}{\lambda }\right){\left(\frac{x-x_k}{\lambda }\right)}^r\mathrm{,}r\mathrm{<mo>=</mo>\; 0,1,2.}$$

En outre, selon Breidt et Opsomer (2000),

$$\tilde{V}\left(\tilde{F}\left(t\right)\right)\mathrm{<mo>:=</mo>}\frac{1}{N^2}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{,}j\in s}}\frac{{\pi }_{i\mathrm{,}j}-{\pi }_i{\pi }_j}{{\pi }_{i\mathrm{,}j}{\pi }_i{\pi }_j}\left[I\left(y_i\le t\right)-{\tilde{G}}_i\left(t\right)\right]\left[I\left(y_j\le t\right)-{\tilde{G}}_j\left(t\right)\right]$$

est un estimateur convergent pour l’erreur quadratique moyenne sous le plan de $\tilde{F}\left(t\right).$

Malheureusement, on ne peut appliquer les résultats de Breidt et Opsomer (2000) à l’estimateur par la différence généralisée ${\tilde{F}}^{*}\left(t\right),$ puisque celui-ci ne rentre pas dans la classe des estimateurs de régression par polynômes locaux en raison de la présence des estimateurs des fonctions de régression ${\tilde{m}}_i$ et ${\tilde{m}}_j$ à l’intérieur des fonctions indicatrices dans les valeurs prédites ${\tilde{G}}_i^{*}\left(t\right).$ Cependant, les résultats pour $\tilde{F}\left(t\right)$ donnent à penser que, dans les grands échantillons, ${\tilde{G}}_i^{*}\left(t\right)$ et

$${\overline{G}}_i^{*}\left(t\right)\mathrm{<mo>:=</mo>}{\displaystyle \sum _{j\in U}{\overline{w}}_{i\mathrm{,}j}I\left(y_j-{\overline{m}}_j\le t-{\overline{m}}_i\right)}\mathrm{,}$$

où les ${\overline{m}}_i:={\displaystyle {\sum }_{j\in U}{\overline{w}}_{i,j}{y}_j,}$ sont approximativement les mêmes et que

$$E_d\left({\left|{\tilde{F}}^{*}\left(t\right)-F_N\left(t\right)\right|}^2\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{N^2}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{,}j\in U}}\frac{{\pi }_{i\mathrm{,}j}-{\pi }_i{\pi }_j}{{\pi }_i{\pi }_j}\left[I\left(y_i\le t\right)-{\overline{G}}_i^{*}\left(t\right)\right]\left[I\left(y_j\le t\right)-{\overline{G}}_j^{*}\left(t\right)\right]+o\left(n^{-1}\right).$$

Partant de cette conjecture, nous avons testé

$$\tilde{V}\left({\tilde{F}}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\left(t\right)\right)\mathrm{<mo>:=</mo>}\frac{1}{N^2}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{,}j\in s}}\frac{{\pi }_{i\mathrm{,}j}-{\pi }_i{\pi }_j}{{\pi }_{i\mathrm{,}j}{\pi }_i{\pi }_j}\left[I\left(y_i\le t\right)-{\tilde{G}}_i^{*}\left(t\right)\right]\left[I\left(y_j\le t\right)-{\tilde{G}}_j^{*}\left(t\right)\right]$$

comme estimateur pour l’erreur quadratique moyenne sous le plan de l’estimateur par la différence généralisée ${\tilde{F}}^{*}\left(t\right)$ dans l’étude en simulation décrite à la section suivante.

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