Répartition optimale assistée par modèle pour des domaines planifiés en utilisant l’estimation composite 1. IntroductionRépartition optimale assistée par modèle pour des domaines planifiés en utilisant l’estimation composite 1. Introduction

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Les enquêtes par sondage représentent depuis longtemps un moyen rentable de recueillir des données, mais il arrive fréquemment que les enquêtes polyvalentes ne permettent pas de produire des statistiques d’une précision adéquate pour des sous-populations d’intérêt (souvent appelées domaines). Les domaines peuvent être fondés géographiquement sur des régions telles que les États. Ils peuvent aussi être le résultat de classifications croisées d’une petite région géographique et d’un groupe démographique ou social particulier. Un domaine est considéré comme étant petit si l’échantillon propre au domaine n’est pas suffisamment grand pour produire un estimateur direct d’une précision satisfaisante.

Dans le présent article, nous supposons que l’on utilise un échantillonnage stratifié comprenant $H$ strates définies par les petits domaines et désignées par l’indice $h\in U^1.$ L’ensemble des $N$ unités dans la population est désigné par $U$ et l’ensemble des $H$ strates est désigné par $U^1.$ Cela revient à supposer en fait que les petits domaines peuvent être identifiés d’avance, ce qui n’est pas toujours le cas (Marker 2001). Néanmoins, le concepteur de l’enquête peut parfois faire une estimation éclairée concernant les domaines d’intérêt, ce qui aboutit encore à un plan amélioré, même si de nouveaux besoins de statistiques au niveau du domaine surviennent après l’exécution de l’enquête. La population de $N_h$ unités dans la strate $h$ est désignée par $U_h$ et l’échantillon de $n_h$ unités sélectionnées par échantillonnage aléatoire simple sans remise (EASSR) dans la strate $h$ est désigné par $s_h$ . Soit $Y_j$ la valeur de la caractéristique d’intérêt pour la $j^{\text{e}}$ unité dans la population. La moyenne de population du petit domaine provenant de la strate $h$ est ${\overline{Y}}_h$ et la moyenne nationale est $\overline{Y}.$ Les estimateurs sur l’échantillon correspondants sont ${\overline{y}}_h$ et $\overline{y},$ respectivement; ${\overline{y}}_h=n_h^{-1}{\displaystyle {\sum }_{j\in s_h}{y}_j}$ et $\overline{y}={\displaystyle {\sum }_{h\in U^1}{P}_h{\overline{y}}_h},$ où $P_h=N_h/N.$ Les variances d’échantillonnage sont $v_h={\text{var}}_p\left({\overline{y}}_h\right)$ et $v={\text{var}}_p\left(\overline{y}\right).$

Longford (2006) considère le problème des tailles d’échantillon optimales pour l’estimation sur petits domaines sous le plan susmentionné. Son approche est fondée sur la minimisation de la somme pondérée des erreurs quadratiques moyennes des estimateurs des moyennes des petits domaines planifiés et d’un estimateur global de la moyenne. Le poids appliqué à chaque domaine est proportionnel à la population du domaine élevée à la $q^{\text{e}}$ puissance, de sorte que la valeur $0\le q\le 2$ spécifie l’importance relative des grands domaines comparativement aux domaines plus petits. L’erreur quadratique moyenne de l’estimateur de la moyenne sur l’ensemble des strates est multipliée par $G,$ où $G$ indique la priorité perçue de cet estimateur. Une solution analytique existe pour le cas où $G=0,$ mais elle possède des propriétés indésirables en pratique et peut parfois aboutir à des tailles d’échantillon nulles ou minimales pour certaines strates. Quand $G\text{>}0,$ Longford (2006) propose une optimisation numérique.

Choudhry, Rao et Hidiroglou (2012) étudient l’utilisation de la programmation non linéaire (PNL) pour répartir efficacement l’échantillon entre les strates dans des conditions où l’on peut appliquer des limites aux tailles d’échantillon de strate et donner la priorité aux estimateurs de variables multiples pour des domaines définis globalement, par strate et par recoupement de strates. L’article est axé principalement sur les estimateurs de domaine directs fondés sur le plan de sondage, mais les auteurs considèrent aussi le critère objectif de Longford (2006) pour l’estimation composite. Pour l’Enquête mensuelle sur le commerce de détail au Canada, ils montrent que la répartition de Longford produit des tailles d’échantillon de strate très inégales, pour $q$ égal à 0,5, 1 et 1,5. Par exemple, quand $q=1,5,$ le coefficient de variation (CV) de strate le plus élevé est de 112 %, et même pour $q=0,5,$ le coefficient de variation le plus élevé est de 24 %, ce que les auteurs ont jugé excessif. Il n’est pas indiqué clairement si ces CV se rapportent à des estimateurs directs ou composites  $–$ de si grands CV seraient surprenants pour des estimateurs composites, car leurs CV possèdent une borne supérieure, même quand la taille de l’échantillon tend vers zéro. Choudhry et coll. (2012) n’ont pas étudié la question de savoir si d’autres plans, tels que la répartition exponentielle, donnent de faibles valeurs du critère de Longford.

L’objectif du présent article est de trouver la meilleure répartition possible entre les strates pour une combinaison linéaire des erreurs quadratiques moyennes des estimateurs composites sur petits domaines et d’un estimateur global de la moyenne, comme dans Longford (2006). À la section 2, nous reformulons l’objectif en termes d’estimation assistée par modèle, introduisons l’utilisation de variables explicatives et dérivons un estimateur composite assisté par modèle. La section 3 est consacrée à l’optimisation du plan. À la sous-section 3.1, nous discutons de l’optimisation directe, par exemple par PNL. À la sous-section 3.2, nous décrivons la répartition exponentielle en choisissant l’exposant afin de minimiser numériquement le critère objectif. À la section 4, nous présentons une étude numérique des diverses méthodes en utilisant les données sur les cantons suisses de Longford (2006) et à la section 5, nous présentons nos conclusions.

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