Répartition optimale assistée par modèle pour des domaines planifiés en utilisant l’estimation composite 2. Estimation compositeRépartition optimale assistée par modèle pour des domaines planifiés en utilisant l’estimation composite 2. Estimation composite

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Les estimateurs composites pour petits domaines sont définis comme des combinaisons convexes d’un estimateur direct (sans biais) et d’un estimateur synthétique (avec biais). Un exemple simple est la composition $\left(1-{\varphi }_h\right){\overline{y}}_h+{\varphi }_h\overline{y}$ de la moyenne d’échantillon ${\overline{y}}_h$ pour le domaine cible $h$ et de la moyenne d’échantillon globale $\overline{y}$ de la variable cible. La valeur des coefficients ${\varphi }_h$ est fixée en vue de minimiser l’erreur quadratique moyenne (EQM) de l’estimateur, voir par exemple Rao (2003, section 4.3). Les coefficients servant à minimiser l’EQM dépendent de certains paramètres inconnus qui doivent être estimés.

De meilleurs résultats peuvent être obtenus s’il existe des variables explicatives $x_i$ pour lesquelles on dispose des moyennes de population, ainsi que de données d’échantillon au niveau de l’unité ou au niveau du domaine permettant de calculer la régression de $Y$ sur $x.$ Un estimateur synthétique pour le domaine $h$ est alors défini par ${\widehat{\overline{Y}}}_{h\left(\text{syn}\right)}={\widehat{\beta }}^T{\overline{X}}_h,$ où $\widehat{\beta }$ est le coefficient de régression estimé et ${\overline{X}}_h$ est la moyenne des variables explicatives dans la population du domaine. Un estimateur direct efficace particulièrement approprié quand les tailles de domaine risquent d’être petites est ${\overline{y}}_{hr}={\overline{y}}_h+{\widehat{\beta }}^T\left({\overline{x}}_h-{\overline{X}}_h\right)$ (Hidiroglou et Patak 2004), où ${\overline{y}}_h$ et ${\overline{x}}_h$ sont les moyennes d’échantillon de $Y$ et $X$ dans le domaine $h.$ On peut alors construire un estimateur composite de la forme ${\tilde{y}}_h^{\mathcal{C}}=\left(1-{\varphi }_h\right){\overline{y}}_{hr}+{\varphi }_h{\widehat{\beta }}^T{\overline{X}}_h\mathrm{.}$

L’EQM fondée sur le plan de sondage de l’estimateur composite est donnée par :

$${\text{EQM}}_p\left({\tilde{y}}_h^{\mathcal{C}};{\overline{Y}}_h\right)={\left(1-{\varphi }_h\right)}^2{v}_{hr}+{\varphi }_h^2\left\{v_{h\left(\text{syn}\right)}+B_h^2\right\}+2{\varphi }_h\left(1-{\varphi }_h\right)c_h$$

où $c_h$ est la covariance d’échantillonnage de ${\overline{y}}_{hr}$ et ${\widehat{\overline{Y}}}_{h\left(\text{syn}\right)},v_{hr}$ est la variance d’échantillonnage de l’estimateur direct ${\overline{y}}_{hr},v_{h\left(\text{syn}\right)}$ est la variance d’échantillonnage de l’estimateur synthétique ${\widehat{\overline{Y}}}_{h\left(\text{syn}\right)},$ et $B_h={\beta }_U^T{\overline{X}}_h-{\overline{Y}}_h$ est le biais dû à l’utilisation de ${\widehat{\overline{Y}}}_{h\left(\text{syn}\right)}$ pour estimer ${\overline{Y}}_h,$ avec ${\beta }_U$ désignant l’espérance sous le plan de sondage approximative de $\widehat{\beta }.$ En outre,

$${\text{EQM}}_p\left({\tilde{y}}_h^{\mathcal{C}};{\overline{Y}}_h\right)\approx {\left(1-{\varphi }_h\right)}^2{v}_{h\left(\text{syn}\right)}+{\varphi }_h^2{B}_h^2(2.1)$$

parce que $c_h\ll v_h$ et $v\ll v_h$ quand le nombre de petits domaines est grand, sous des conditions de régularité.

Nous supposerons un modèle linéaire à deux niveaux $\xi$ conditionnel sur les valeurs de $x,$ avec effets aléatoires de strate $u_h$ et résidus au niveau de l’unité ${\epsilon }_i$ non corrélés :

$$\begin{array}{r}\hfill Y_i={\beta }^T{x}_i+u_h+{\epsilon }_i\\ \hfill E_{\xi }\left[u_h\right]=E_{\xi }\left[{\epsilon }_i\right]=0\\ \hfill {\text{var}}_{\xi }\left[u_h\right]={\sigma }_{uh}^2\\ \hfill {\text{var}}_{\xi }\left[{\epsilon }_j\right]={\sigma }_{eh}^2\end{array}\}(2.2)$$

pour $h\in U^1$ et $i\in U_h.$ Cela implique que ${\text{var}}_{\xi }\left[Y_i\right]={\sigma }_{uh}^2+{\sigma }_{eh}^2={\sigma }_h^2$ pour tout $i\in U,$ et que la covariance ${\text{cov}}_{\xi }\left[Y_i\mathrm{,}{Y}_j\right]$ est égale à ${\rho }_h{\sigma }_h^2$ pour les unités $i\ne j$ dans la même strate et 0 pour les unités provenant de strates différentes, où ${\rho }_h={\sigma }_{uh}^2/\left({\sigma }_{uh}^2+{\sigma }_{eh}^2\right).$ Pour simplifier, nous supposerons que les ${\rho }_h=\rho$ sont égaux pour toutes les strates.

Sous le modèle (2.1),

$$\begin{array}{ll}{E}_{\xi }\left[v_{hr}\right]\hfill & =E_{\xi }\left[n_h^{-1}{S}_{hw}^2\right]=n_h^{-1}{\sigma }_h^2\left(1-\rho \right)\hfill \end{array}$$

où $S_{hw}^2$ est la variance d’échantillon de $y_i-{\beta }_U^T{x}_i$ dans la strate h et

$$\begin{array}{ll}{E}_{\xi }\left[B_h^2\right]\hfill & =E_{\xi }\left[{\left({\overline{Y}}_h-{\overline{Y}}_{h\left(\text{syn}\right)}\right)}^2\right]\approx E_{\xi }\left[{\left({\overline{Y}}_h-{\beta }^T{\overline{X}}_h\right)}^2\right]\hfill \\ \hfill & ={\text{var}}_{\xi }\left[{\overline{Y}}_h\right]={\sigma }_h^2{N}_h^{-1}\left[1+\left(N_h-1\right)\rho \right]\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

Pour simplifier les expressions, nous supposons que $n,N_h$ et $H$ sont tous grands, quoique nous ne calculons pas des résultats asymptotiques rigoureux. En supposant que $N_h$ est grand, nous obtenons d’abord $E_{\xi }\left[B_h^2\right]\approx {\sigma }_h^2\rho$ . En remplaçant $E_{\xi }\left[v_{hr}\right]$ et $E_{\xi }\left[B_h^2\right]$ par leur valeur dans (2.1), nous obtenons l’EQM attendue ou l’erreur quadratique moyenne assistée par modèle approximative, désignée par ${\text{EQMA}}_h:$

$${\text{EQMA}}_h=E_{\xi }{\text{EQM}}_p\left({\tilde{y}}_h^{\mathcal{C}};{\overline{Y}}_h\right)\approx {\left(1-{\varphi }_h\right)}^2{n}_h^{-1}{\sigma }_h^2\left(1-\rho \right)+{\varphi }_h^2{\sigma }_h^2\rho .(2.3)$$

Sous optimisation par rapport à ${\varphi }_h$ , nous obtenons immédiatement le poids optimal ${\varphi }_h$ donné par :

$$\begin{array}{l}{\varphi }_{h\left(\text{opt}\right)}=\left(1-\rho \right){\left[1+\left(n_h-1\right)\rho \right]}^{-1}\mathrm{.}\hfill \end{array}(2.4)$$

Nous substituons le poids optimal (2.4) dans (2.3) pour obtenir l’EQM attendue optimale approximative :

$$\begin{array}{ll}{\text{EQMA}}_h\hfill & =E_{\xi }{\text{EQM}}_p\left({\tilde{y}}_h^{\mathcal{C}}\left[{\varphi }_{h\left(\text{opt}\right)}\right];{\overline{Y}}_h\right)\hfill \\ \hfill & \approx {\left(n_h\rho {\left[1+\left(n_h-1\right)\rho \right]}^{-1}\right)}^2{n}_h^{-1}{\sigma }^2\left(1-\rho \right)+{\left(\left(1-\rho \right){\left[1+\left(n_h-1\right)\rho \right]}^{-1}\right)}^2{\sigma }^2\rho \hfill \\ \hfill & ={\sigma }_h^2\rho \left(1-\rho \right){\left[1+\left(n_h-1\right)\rho \right]}^{-1}\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

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