Répartition optimale assistée par modèle pour des domaines planifiés en utilisant l’estimation composite 5. ConclusionRépartition optimale assistée par modèle pour des domaines planifiés en utilisant l’estimation composite 5. Conclusion

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L’EQM attendue est un critère objectif raisonnable pour l’élaboration du plan de sondage, parce que l’échantillon particulier qui est sélectionné n’est pas connu avant l’enquête. Donc, il est approprié de choisir un critère qui représente une moyenne sur l’ensemble des échantillons possibles. Särndal et coll. (1992, chapitre 12) fondent leurs plans optimaux sur la variance attendue, qui de façon similaire représente une moyenne sur les réalisations du modèle ainsi que la sélection de l’échantillon, quoiqu’ils considèrent uniquement des estimateurs approximativement sans biais sous le plan.

Quand on est tenu de calculer des estimateurs composites par strate ainsi que des estimateurs globaux, il est logique d’optimiser un critère objectif qui est une combinaison linéaire des EQM attendues pertinentes. Les répartitions qui sont optimales en ce sens donnent des valeurs plus faibles de la fonction objectif que la répartition proportionnelle ou la répartition égale. Une répartition exponentielle optimale, $n_h\propto N_h^p$ où $p$ est obtenu numériquement de manière à minimiser la fonction objectif est plus simple et évite la possibilité d’obtenir des tailles d’échantillon négatives qui doivent être tronquées. Sous certaines conditions, cette répartition est très près d’être aussi efficace que la répartition optimale. Quand l’estimation nationale $\left(G=0\right)$ n’est pas une priorité, l’exposant optimal s’avère être proche de $p=q/2,$ où $q$ est l’exposant appliqué aux tailles de population de strate dans le critère objectif. Cela rend l’optimisation non nécessaire. Donc, nous recommandons un critère objectif très semblable à celui de Longford (2006), mais nous proposons une répartition exponentielle simple avec $p=q/2$ quand $G=0,$ plutôt que la répartition optimale pour $F.$ Cela étend le domaine d’application de la répartition exponentielle aux sondages utilisant des estimateurs composites au niveau de la strate.

Au lieu de simplement s’appuyer sur le critère objectif global pour équilibrer comme il convient les ressources entre les strates, il est souvent souhaitable d’imposer également des tailles d’échantillon de strate minimales ou des RREQM de strate maximales. Ces contraintes ont été appliquées avec succès en faisant appel à la PNL. Dans l’exemple des cantons suisses à la section 4, une limite supérieure de 8 % pour les RREQM de strate réduisait significativement la RREQM la plus élevée en n’entraînant qu’une faible perte dans le critère objectif. Des contraintes plus complexes, par exemple sur des domaines par recoupement de strates ou pour des variables d’intérêt multiples, pourraient également être appliquées en utilisant la PNL.

Remerciements

Les auteurs remercient les professeurs Raymond Chambers et David Steel de leurs suggestions utiles concernant le présent article.

Annexe

Calcul de (3.2)

Les étapes de ce calcul sont similaires à celles qui figurent dans Longford (2006), quoique $F$ est définie différemment et que des coûts inégaux sont permis. Un point stationnaire de (3.1) sous la contrainte $C_f={\displaystyle \sum C_h{n}_h}$ est donné par

$$\begin{array}{ll}0\hfill & =\frac{\partial F}{\partial n_h}+\lambda C_h\hfill \\ \hfill & =-N_h^q{\sigma }_h^2{\rho }^2\left(1-\rho \right){\left(1+\left(n_h-1\right)\rho \right)}^{-2}+\lambda C_h.\hfill \end{array}$$

En écrivant $\gamma =\lambda {\rho }^{-2}{\left(1-\rho \right)}^{-1}$ et en réarrangeant l’expression, on obtient

$$\begin{array}{ll}\hfill {\left(1+\left(n_h-1\right)\rho \right)}^{-2}& =\gamma C_h{N}_h^{-q}{\sigma }_h^{-2}\hfill \\ \hfill 1+\left(n_h-1\right)\rho & ={\gamma }^{-1/2}\sqrt{C_h^{-1}{N}_h^q{\sigma }_h^2}\hfill \\ \hfill n_h& ={\gamma }^{-1/2}{\rho }^{-1}\sqrt{C_h^{-1}{N}_h^q{\sigma }_h^2}-\frac{1-\rho }{\rho }.(\text{A}\text{.1})\hfill \end{array}$$

Par substitution dans la contrainte $C_f={\displaystyle \sum C_h{n}_h}$ et en résolvant pour trouver $\gamma ,$ on obtient

$${\gamma }^{-1/2}=\frac{C_f\rho +\left(1-\rho \right)H\overline{C}}{{\displaystyle \sum _h}\sqrt{{\sigma }_h^2{N}_h^q{C}_h^{-1}}}$$

où $\overline{C}=H^{-1}{\displaystyle {\sum }_h{C}_h}.$ La substitution inverse pour retourner à (A.1) et le réarrangement de l’expression donnent le résultat.

Bibliographie

Bankier, M.D. (1988). Power allocations: Determining sample sizes for subnational areas. The American Statistician, 42, 174-177.

Choudhry, G.H., Rao, J.N.K. et Hidiroglou, M.A. (2012). À propos de la répartition de l’échantillon pour une estimation sur domaine efficace. Techniques d’enquête, 38, 1, 25-32.

Ghalanos, A., et Theussl, S. (2011). Rsolnp: General Non-linear Optimization Using Augmented Lagrange Multiplier Method. http://cran.r-project.org/package=Rsolnp, R package version 1.11.

Hidiroglou, M.A., et Patak, Z. (2004). Estimation par domaine par la régression linéaire. Techniques d’enquête, 30, 1, 73-85.

Kalton, G., Brick, J. et Lê, T. (2005). Household Sample Surveys in Developing and Transition Countries, United Nations: Statistics Division, Department of Economic and Social Affairs, no. 96 dans la série F, http://unstats.un.org/unsd/hhsurveys/pdf/Household_surveys.pdf [accessed 24-May-2013].

Longford, N.T. (2006). Calcul de la taille de l’échantillon pour l’estimation pour petits domaines. Techniques d’enquête, 32, 1, 97-106.

Marker, D.A. (2001). Production d’estimations régionales d’après les données d’enquêtes nationales : méthodes visant à réduire au minimum l’emploi d’estimateurs indirects. Techniques d’enquête, 27, 2, 201-207.

Molefe, W., et Clark, R.G. (2014). Model-assisted optimal allocation for planned domains using composite estimation. http://niasra.uow.edu.au/publications/UOW167055.html, document de travail de statistique 08-14.

Molefe, W.B. (2011). Sample Design for Small Area Estimation. Thèse de doctorat, University of Wollongong, http://ro.uow.edu.au/theses/3495.

R Development Core Team (2012). R: A Language and Environment for Statistical Computing. http://www.R-project.org/, ISBN 3-900051-07-0.

Rao, J.N.K. (2003). Small Area Estimation. New York: John Wiley & Sons, Inc.

Särndal, C., Swensson, B. et Wretman, J. (1992). Model Assisted Survey Sampling. New York: Springer-Verlag.

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