Répartition optimale assistée par modèle pour des domaines planifiés en utilisant l’estimation composite 4. Étude numériqueRépartition optimale assistée par modèle pour des domaines planifiés en utilisant l’estimation composite 4. Étude numérique

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Nous utilisons des données sur les 26 cantons de la Suisse (Longford 2006); les tailles de population de ces cantons varient de 15 000 (Appenzell-Innerrhoden) à 1,23 million (Zürich). La population de la Suisse est de 7,26 millions. Nous supposons que $n=\text{10}\text{000},\rho =\text{0,025}$ et $\sigma /\mu =1$ (à l’instar de Longford 2006). La dernière hypothèse n’a d’incidence que sur la grandeur de $F$ et les racines carrées relatives des erreurs quadratiques moyennes (RREQM), mais non sur les valeurs relatives pour les diverses méthodes. Elle est satisfaite si, par exemple, un taux de prévalence de 50 % est estimé. Tous les calculs ont été effectués dans l’environnement statistique R (R Development Core Team 2012). Nous avons utilisé les valeurs de $q=0;\text{0,5;}1;\text{1,5}$ et $2,$ et les valeurs de $G=0;10$ et $100,$ comme à la section 5.2 de Choudhry et coll. (2012). Le programme qui a servi à produire tous les résultats est disponible dans l’annexe de Molefe et Clark (2014).

Six répartitions différentes sont évaluées dans les tableaux 4.1 à 4.3. La valeur de $F$ est donnée pour chaque plan, par rapport à la valeur pour la répartition égale. Les tailles d’échantillon des strates ont été contraintes, dans toutes les répartitions, à être comprises entre 1 et les tailles de population, tout en maintenant leur somme égale à $n.$ Le premier plan est la répartition égale, puis vient la répartition proportionnelle. Le troisième plan est le plan optimal, qui minimise $F$ dans (3.1) par PNL sous la contrainte que les tailles d’échantillon de toutes les strates soient au moins égales à 1. Le quatrième plan minimise $F$ sous la contrainte que la RREQM soit égale ou inférieure à 8 % dans toutes les strates ce qui, selon la formule (3.1), équivaut à une taille minimale d’échantillon de strate de 113. Pour les troisième et quatrième plans, la PNL a été exécutée en utilisant le package R $Rsolnp$ (Ghalanos et Theussl 2011). Le cinquième plan correspond à la répartition exponentielle, où l’exposant $p$ est calculé de manière à minimiser $F.$ Le sixième plan est la répartition exponentielle avec les tailles d’échantillon de toutes les strates contraintes à être égales ou supérieures à 113, et avec $p$ calculé de manière à minimiser $F$ reflétant ces contraintes. Dans les cinquième ainsi que sixième cas, $p$ a été calculé en utilisant la fonction optimize en R.

Le tableau 4.1 montre l’efficacité des diverses méthodes quand $G=0,$ où l’efficacité s’entend des valeurs réalisées de $F$ au moyen de la formule (3.1), qui est une combinaison pondérée des EQM des estimateurs composites par domaine et d’un estimateur de la moyenne global. Quand $q=0,$ la répartition égale est alors optimale pour $F,$ et toutes les méthodes de répartition sauf la répartition proportionnelle retournent une répartition égale. Pour les plus grandes valeurs de $q,$ la répartition optimale pour estimateur composite est la plus efficace, comme prévu. Imposer la contrainte d’une RREQM maximale de domaine de 8 % augmente $F$ de 4 % quand $q=2,$ et a un effet négligeable (1,4 % ou moins) pour les plus petites valeurs de $q.$ La répartition exponentielle optimale a une efficacité quasi identique à la répartition optimale pour estimateur composite, avec et sans la contrainte imposée à la RREQM de domaine. Les répartitions optimales pour estimateur composite et exponentielle non contraintes sont plus efficaces que la répartition proportionnelle quand $q$ est petit, et à peu près aussi efficaces pour $q\ge \text{1,5}.$ Quand la contrainte de RREQM de domaine est imposée, ces plans souffrent d’une petite pénalité, mais demeurent plus efficaces que la répartition proportionnelle, sauf quand $q=2.$

Le tableau 4.2 montre les efficacités relatives pour $G=10.$ Comme pour $G=0,$ la répartition optimale pour estimateur composite et la répartition exponentielle optimale donnent des résultats fort semblables, avec un effet similaire de la contrainte concernant les RREQM de domaine. La principale différence comparativement à $G=0$ est que la répartition proportionnelle est plus efficace quand $G$ est plus grand. Les plans optimaux, même sous la contrainte imposée, demeurent plus efficaces que la répartition proportionnelle, sauf pour $q\ge \text{1,5}.$

Le tableau 4.3 donne les efficacités pour une grande valeur de $G\left(G=100\right).$ Ici, la répartition proportionnelle est le meilleur plan pour presque toutes les valeurs de $q.$ Elle est à peu près équivalente aux plans optimaux non contraints pour tout $q\ge \text{0,5},$ et plus efficace que les plans optimaux contraints pour tout $q\ge 1.$ La performance relative des quatre plans optimaux est à peu près la même que pour $G=0$ et $G=10.$

La figure 4.1 donne la distribution des RREQM de domaine entre les 26 cantons pour $q\in \text{{0,5;}1;\text{1,5;}2\text{}}$ quand $G=0$ pour les quatre plans optimaux. Les résultats pour $q=0$ ne sont pas présentés, parce que les tailles d’échantillon de canton sont alors toutes égales pour les plans optimaux. La répartition optimale pour estimateur composite (en haut à gauche) présente un intervalle assez serré pour les RREQM de domaine quand $q=\text{0,5},$ la dispersion augmentant quand $q$ augmente. Les RREQM maximales sont égales à 6,6 %, 9,4 %, 13,8 % et 15,6 % pour $q=\text{0,5;}1;\text{1,5}$ et $2,$ respectivement. Donc, pour $q\ge 1,$ certaines RREQM sont excessivement grandes. La répartition optimale pour estimateur composite avec contraintes force toutes les RREQM de domaine à être égales ou inférieures à 8 %, comme le montre le graphique en haut à droite. Les deux graphiques inférieurs donnent les répartitions exponentielles optimales correspondantes. La répartition exponentielle non contrainte est, dans les grandes lignes, similaire à la répartition optimale pour estimateur composite non contrainte, mais moins dispersée, avec des RREQM de domaine maximales plus petites. Les deux plans avec contraintes sont fort semblables.

Le tableau 4.4 donne les valeurs des exposants optimaux calculés pour les plans exponentiels optimaux pour chaque $q$ et $G.$ Quand $G$ est égal à 0 ou 10, l’exposant optimal $p$ de la répartition exponentielle est très proche de $q/2,$ où $q$ est l’exposant dans la définition de $F$ en (3.1). Pour $G=100,$ l’exposant optimal est assez proche de 1, reflétant le fait que pour une grande valeur de $G,F$ traduit essentiellement la variance de la moyenne globale, de sorte que la répartition proportionnelle est quasi optimale. Le tableau 4.5 donne les exposants de la répartition exponentielle optimale quand on applique les contraintes de RREQM de domaine. L’application de ces contraintes a peu d’effet sur la valeur optimale de $p.$

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