1 Introduction

Jun Shao, Eric Slud, Yang Cheng, Sheng Wang et Carma Hogue

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L’Annual Survey of Public Employment and Payroll (ASPEP) des États-Unis fournit des estimations courantes de l’emploi et de la rémunération à temps plein et à temps partiel dans les administrations publiques d’État et locales par fonction (par exemple, enseignement primaire et secondaire, enseignement supérieur, services de police, services de protection contre l’incendie, administration financière, services judiciaires et juridiques, etc.). Cette enquête a pour champ d’observation les administrations publiques d’État et locales (89 526 selon le Census of Governments de 2007), qui englobent les comtés, les villes, les cantons, les administrations appelées « districts spéciaux » et les districts scolaires. L’ASPEP, qui est la seule source de données sur l’emploi dans le secteur public par fonction administrative et catégorie d’emploi, fournit des données sur le nombre et la rémunération des employés à temps plein et à temps partiel, ainsi que le nombre d’heures travaillées par les employés à temps partiel. Habituellement, la collecte des données débute en mars et se poursuit pendant environ sept mois, en prenant la période de paye incluant le 12 mars comme période de référence.

Soit $U$ la population finie de $N$ unités subdivisée en $H$ strates, $U_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{U}_H,$ où $U_h$ contient $N_h$ unités et $N_1+\cdots +N_H=N.$ Le plan de sondage habituel de l’ASPEP est un plan avec probabilité proportionnelle à la taille (PPT), où les strates sont construites en se basant sur l’État et le type d’administration publique, à savoir le comté, le sous-comté (grande ou petite ville), le district spécial ou le district scolaire. La taille de chaque unité (administration publique) est mesurée par la masse salariale totale, et l’échantillonnage est effectué indépendamment dans les diverses strates. En 2009, on a élaboré un plan d’échantillonnage modifié, qui comprend la division de certaines strates $U_h$ en deux sous-strates, $U_{h1}$ et $U_{h2}$ contenant $N_{h1}$ et $N_{h2}$ unités, respectivement, où $U_{h1}$ contient les unités de petite taille (Cheng et coll. 2009). L’idée était d’économiser des ressources et de réduire le fardeau de réponse en sélectionnant dans $U_{h1}$ un échantillon plus petit sous le plan modifié que sous le plan habituel. Soit $S_{hj}$ un échantillon PPT de taille $n_{hj}$ provenant de $U_{hj},$ $j=1,2,$ $n_{h1}+n_{h2}=n_h.$ Notons que $n_{h1}$ peut encore être plus grand que $n_{h2}$ , parce que $N_{h1}$ est habituellement beaucoup plus grand que $N_{h2}.$

Pour l’unité $i\in U,$ soit $y_i$ une variable étudiée clé (p. ex., l’emploi à temps plein, la rémunération à temps plein, l’emploi à temps partiel, la rémunération à temps partiel, les heures travaillées à temps partiel), $x_i$ une variable auxiliaire, disons la même variable que $y_i$ provenant du recensement le plus récent, et soit $z_i$ la covariable utilisée comme variable de taille dans l’échantillonnage PPT. Les valeurs des covariables $x_i$ et $z_i$ sont observées pour tout $i\in U,$ tandis que $y_i$  est observée uniquement pour chaque unité i échantillonnée.

L’estimateur de Horvitz-Thompson du total inconnu $Y={\displaystyle {\sum }_{i\in U}}{y}_i$ est

$${\widehat{Y}}_{\text{HT}}={\displaystyle \sum _h}{\displaystyle \sum _j}{\displaystyle \sum _{i\in S_{hj}}}{y}_i/{\pi }_i\mathrm{,} (1.1)$$

où ${\pi }_i$ est la probabilité d’inclusion d’ordre un de l’unité $i$ dans $S_{hj},$ une fonction connue des $z_i.$ Pour utiliser la variable auxiliaire $x_i$ et accroître la précision de l’estimation de $Y,$ l’approche assistée par modèle (Särndal, Swensson et Wretman 1992) a été adoptée. L’application de la régression dans chaque échantillon $S_{hj}$ conduit à l’estimateur par la régression de $Y$ de la forme

$${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}={\displaystyle \sum _h}{\displaystyle \sum _j}\left[\frac{N_{hj}{\widehat{Y}}_{hj}}{{\widehat{N}}_{hj}}+{\widehat{\beta }}_{hj}\left(X_{hj}-\frac{N_{hj}{\widehat{X}}_{hj}}{{\widehat{N}}_{hj}}\right)\right]\mathrm{,} (1.2)$$

où $X_{hj}={\displaystyle {\sum }_{i\in U_{hj}}}{x}_i,$ ${\widehat{Y}}_{hj}={\displaystyle {\sum }_{i\in S_{hj}}}{y}_i/{\pi }_i,$ ${\widehat{X}}_{hj}={\displaystyle {\sum }_{i\in S_{hj}}}{x}_i/{\pi }_i,$ ${\widehat{N}}_{hj}={\displaystyle {\sum }_{i\in S_{hj}}}1/{\pi }_i,$ et

$${\widehat{\beta }}_{hj}=\frac{{\displaystyle {\sum }_{i\in S_{hj}}\left(x_i-{\widehat{X}}_{hj}/{\widehat{N}}_{hj}\right)y_i/{\pi }_i}}{{\displaystyle {\sum }_{i\in S_{hj}}{\left(x_i-{\widehat{X}}_{hj}/{\widehat{N}}_{hj}\right)}^2/{\pi }_i}}\mathrm{.}$$

Autrement, la combinaison des deux sous-strates $S_{h1}$ et $S_{h2}$ donne l’estimateur par la régression suivant. (Un examinateur fait remarquer correctement que ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$ dans (1.3) n’est pas l’estimateur groupé que l’on utiliserait si les droites de régression dans la strate $h$ étaient combinées mais que les deux sous-strates ne l’étaient pas; cependant, il est l’estimateur naturel lorsque non seulement les droites de régression, mais aussi les sous-strates sont combinées.) 

$${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}={\displaystyle \sum _h}\left[\frac{N_h{\widehat{Y}}_h}{{\widehat{N}}_h}+{\widehat{\beta }}_h\left(X_h-\frac{N_h{\widehat{X}}_h}{{\widehat{N}}_h}\right)\right]\mathrm{,} (1.3)$$

où ${\widehat{Y}}_h={\displaystyle {\sum }_j}{\widehat{Y}}_{hj},$ ${\widehat{X}}_h={\displaystyle {\sum }_j}{\widehat{X}}_{hj},$ ${\widehat{N}}_h={\displaystyle {\sum }_j}{\widehat{N}}_{hj},$ et

$${\widehat{\beta }}_h=\frac{{\displaystyle {\sum }_j{\displaystyle {\sum }_{i\in S_{hj}}\left(x_i-{\widehat{X}}_h/{\widehat{N}}_h\right)y_i/{\pi }_i}}}{{\displaystyle {\sum }_j{\displaystyle {\sum }_{i\in S_{hj}}{\left(x_i-{\widehat{X}}_h/{\widehat{N}}_h\right)}^2/{\pi }_i}}}\mathrm{.}$$

Puisque ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$ ainsi que ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}$ sont des estimateurs assistés par modèle, ils sont convergents sous échantillonnage répété, que le modèle de régression soit ou non vérifié. Si les droites de régression par les moindres carrés dans les deux sous-strates $U_{hj}$ sont les mêmes, ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$ peut être plus efficace que ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}.$ Par ailleurs, si les droites de régression sont différentes, ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}$ peut être plus efficace que ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}.$

Cheng et coll. (2010) ont proposé une méthode fondée sur un test de décision qui consiste à appliquer un test d’hypothèse pour décider s’il faut combiner $S_{h1}$ et $S_{h2}.$ À l’intérieur de la strate $h,$ on teste l’hypothèse d’égalité des pentes des droites de régression dans $U_{h1}$ et $U_{h2}$ . Soit

$$\begin{array}{lll}{\widehat{\alpha }}_{hj}\hfill & =\hfill & \frac{{\widehat{Y}}_{hj}-{\widehat{\beta }}_{hj}{\widehat{X}}_{hj}}{{\widehat{N}}_{hj}}\mathrm{,}{\widehat{\sigma }}_{xe\mathrm{,}hj}^2=\frac{n_{hj}}{{\widehat{N}}_{hj}^2}{\displaystyle \sum _{i\in S_{hj}}}{\left(x_i-\frac{{\widehat{X}}_{hj}}{{\widehat{N}}_{hj}}\right)}^2\frac{{\left(y_i-{\widehat{\alpha }}_{hj}-{\widehat{\beta }}_{hj}{x}_i\right)}^2}{{\pi }_i^2}\mathrm{,}\hfill \\ {\widehat{\sigma }}_{xhj}^2\hfill & =\hfill & {\displaystyle \sum _{i\in S_{hj}}}\frac{{\left(x_i-{\widehat{X}}_{hj}/{\widehat{N}}_{hj}\right)}^2}{{\pi }_i{\widehat{N}}_{hj}}\mathrm{,}{t}_h=\sqrt{n_h-4}\left({\widehat{\beta }}_{h1}-{\widehat{\beta }}_{h2}\right)/\sqrt{n_h{\displaystyle \sum _{j=1}^2}\frac{{\widehat{\sigma }}_{xe\mathrm{,}hj}^2}{n_{hj}{\widehat{\sigma }}_{xhj}^4}}\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

Si $\left|t_h\right|\text{>}{t}_{1-\tau /\mathrm{2,}{n}_h-4}$ , où $t_{1-\tau /\mathrm{2,}\nu }$ est le ( $1-\tau /2$ )^e quantile de la distribution t avec $\nu$ degrés de liberté, alors nous rejetons l’hypothèse d’une pente commune et nous utilisons ${\widehat{\beta }}_{hj}$ (et fixons ${\zeta }_h=1$ ). Ici, $\tau$ est un seuil de signification nominal fixé par défaut à 0,05, mais nous considérerons d’autres choix de la valeur de $\tau$ à la section consacrée aux simulations. La définition de la statistique de test faisant intervenir $n_h-4$ degrés de liberté est un choix légèrement artificiel conçu afin de rendre les probabilités de rejet d’un échantillon modéré plus proches de la valeur nominale, mais la théorie asymptotique en grand échantillon justifiant ce test est donnée à la partie (c) du théorème 1. Si $\left|t_h\right|\le t_{1-\tau /\mathrm{2,}{n}_h-4},$ alors nous acceptons l’hypothèse d’une pente commune, nous combinons les sous-strates $S_{h1}$ et $S_{h2},$ et nous utilisons ${\widehat{\beta }}_h$ $\left(\text{en fixant}{\zeta }_h=0\right).$ Les tests sont effectués de manière indépendante dans les diverses strates $h=1,\dots \mathrm{,}H.$ L’estimateur de $Y$ fondé sur le test de décision est alors

$${\widehat{Y}}_{\text{dec}}={\displaystyle \sum _h}{\displaystyle \sum _j}{\zeta }_h\left[\frac{N_{hj}{\widehat{Y}}_{hj}}{{\widehat{N}}_{hj}}+{\widehat{\beta }}_{hj}\left(X_{hj}-\frac{N_{hj}{\widehat{X}}_{hj}}{{\widehat{N}}_{hj}}\right)\right]+{\displaystyle \sum _h}\left(1-{\zeta }_h\right)\left[\frac{N_h{\widehat{Y}}_h}{{\widehat{N}}_h}+{\widehat{\beta }}_h\left(X_h-\frac{N_h{\widehat{X}}_h}{{\widehat{N}}_h}\right)\right]\mathrm{.}(1.4)$$

Puisque les deux droites de régression ayant une pente commune peuvent avoir des ordonnées à l’origine différentes, on pourrait tester une hypothèse supplémentaire concernant les ordonnées à l’origine pour décider s’il faut combiner les deux sous-strates. Cependant, des points de population $\left(x_i\mathrm{,}{y}_i\right)$ se trouvant sur deux droites de régression de sous-strate parallèles, mais non identiques seraient discontinus autour du seuil entre les deux sous-strates $U_{h1}$ et $U_{h2},$ ce qui ne semble ne se produire que rarement dans les situations pratiques. Par exemple, dans l’ASPEP, Cheng et coll. (2010) ont étudié les pentes et les ordonnées à l’origine de sous-strates dans les ensembles de donnés des recensements des administrations publiques de 2002 et de 2007, et ont constaté que l’hypothèse d’une ordonnée à l’origine commune ne pouvait jamais être rejetée lorsque l’hypothèse d’une pente commune ne pouvait pas l’être. Donc, l’estimateur fondé sur un test de décision donné dans (1.4) dépend uniquement du test de l’hypothèse d’égalité des pentes des droites de régression des sous-strates.

Les estimateurs à deux degrés étudiés ici sont des cas particuliers de procédures nommées antérieurement estimateurs après un test préliminaire (preliminary test estimators). Il existe une littérature abondante traitant de l’utilisation de ce genre de procédures dans les enquêtes, y compris une bibliographie de Bancroft et Han (1977), un livre publié par Saleh (2006) et un traitement proposé par Fuller (2009, section 6.7). Une idée de Saleh (2006) consiste à estimer les coefficients par une combinaison convexe des coefficients estimés à partir des strates distinctes en faisant dépendre les proportions d’une statistique de test. Les estimateurs lissés de ce genre pourraient être plus efficaces que nos procédures fondées sur un test de décision. Si les ordonnées à l’origine et les pentes propres aux strates étaient considérées comme aléatoires, on pourrait aussi essayer d’appliquer à l’estimation une approche bayésienne empirique fondée sur un modèle.

Les estimateurs fondés sur un test de décision (1.4) sont nouveaux, parce qu’ils sont assistés par modèle et convergents sous le plan dans le contexte des sondages, et utilisent explicitement les tailles de population de sous-strate connues. Dans un esprit à peu près semblable, Rao et Ramachandran (1974) avaient effectué antérieurement une comparaison exacte des estimateurs par le ratio distincts et combinés sous un modèle de ratio similaire au modèle de régression considéré dans le présent article.

L’objectif de l’article est d’illustrer certaines propriétés asymptotiques et empiriques des estimateurs de $Y$ décrits plus haut et des estimateurs de leur variance. La convergence et la normalité asymptotique de ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}},$ ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}},$ et ${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$ sont établies à la section 2, dans le contexte de la théorie asymptotique fondée sur le plan de sondage ou assistée par modèle. Bien que les résultats asymptotiques d’ordre un favorisent ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}},$ ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$ pourrait être meilleur quand certaines tailles d’échantillon de sous-strate $n_{h2}$ sont modérées, un effet asymptotique d’ordre deux. L’avantage de l’estimateur fondé sur un test de décision ${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$ tient à l’adaptation en vue d’être proche de ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$ ou de ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}$ selon celui qui est le meilleur. Comme l’indique la discussion du paragraphe (III) de la section 4.4, les simulations montrent que l’avantage de cette adaptabilité est de réduire l’EQM d’une quantité allant jusqu’à quelques pour cent sous des conditions de paramétrisation raisonnables, et de plus grandes quantités sous des conditions plus étranges.

L’estimation de la variance de l’estimateur fondé sur un test de décision est traitée à la section 3. Même si la théorie asymptotique exposée à la section 2 laisse entendre que des estimateurs convergents de variance sont obtenus par substitution des quantités inconnues dans les formules de variance asymptotique, nous étudions aussi les estimateurs bootstrap de la variance proposés dans Cheng et coll. (2010), qui ont généralement de meilleures propriétés en échantillon fini que les estimateurs par substitution. Les résultats empiriques sont présentés à la section 4, les interprétations et les conclusions étant formulées à la sous-section 4.4. Toutes les preuves techniques sont données en annexe.

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