4 Résultats des simulations pour $H=1$

Jun Shao, Eric Slud, Yang Cheng, Sheng Wang et Carma Hogue

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La théorie en grand échantillon présentée plus haut ne convient pas pour indiquer si les résultats asymptotiques décrivent adéquatement le comportement des estimateurs ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}},$ ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}$ et ${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$ , et des estimateurs de leur variance dans des échantillons de taille modérée, ou si ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$ et ${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$ fournissent jamais des améliorations utiles de l'erreur quadratique moyenne dans des échantillons de taille moyenne. Nous présentons certains résultats de simulations pour étudier ces questions, ainsi que les problèmes de petit échantillon qui se posent lorsqu'on applique ces méthodes dans le contexte de l'ASPEP.

Dans les simulations, les valeurs dans la population servant de base de sondage $U$ sont soit générées sous un modèle soit tirées des recensements des administrations publiques de 2002 et 2007 en utilisant les poids de sondage de l'ASPEP de 2007. Le premier jeu de simulations (présenté dans les tableaux 4.1 à 4.6) résume le comportement moyen sur de nombreuses populations servant de bases de sondage générées par un modèle. Dans le deuxième jeu de simulations portant sur des données artificielles, résumé au tableau 4.8, la population servant de base de sondage demeure fixe tout au long de la simulation. Toutes les populations servant de bases de sondage sont constituées d'une seule strate $\left(H=1\right)$ décomposée en deux sous-strates $\left(j=1,2\right)$ selon que la valeur d'une variable de taille se situe en-dessous ou au-dessus d'un quantile particulier, habituellement le quantile 0,8. Dans toutes les simulations décrites à la présente section, l'échantillonnage des populations servant de bases de sondage est effectué selon un plan PPT avec remise.

4.1 Considérations concernant les petits échantillons

Avant de décrire les simulations, nous discutons de certaines caractéristiques particulières de l'échantillonnage PPT avec remise (PPTAR) qui, lorsqu'il est appliqué dans des conditions où les échantillons sont petits et les variables de taille ne sont pas équilibrées, requiert une approche de calcul spéciale. Des résultats numériquement irréguliers peuvent être obtenus lorsque les petits échantillons sélectionnés sont utilisés par strate, puis soumis au bootstrap pour estimer les variances.

Les poids ${\pi }_i^{-1}=1/\left(n_j{p}_{ij}\right)$ dans l'échantillonnage PPTAR ne sont tous supérieurs à 1 que si les probabilités de tirage simples $p_{ij}=z_i/{\displaystyle {\sum }_{i^{\prime }\in U_j}}{z}_{i^{\prime }}$ sont toutes inférieures à $1/n_j.$ Pour éviter les résultats anormaux en petit échantillon et pour que les plans PPTAR imitant les plans PPT sans remise demeurent pertinents, toute unité $i\in U_j$ avec $n_j{p}_{ij}\ge 1$ est rendue autoreprésentative (AR), c.-à-d. qu'elle est échantillonnée avec certitude mais une seule fois, et si ces unités sont au nombre de $k_j$ , alors les probabilités $\left\{p_{ij}:i\in U_j\mathrm{,}{n}_j{p}_{ij}\text{<}1\right\}$ sont renormalisées pour tirer un échantillon PPTAR de taille $n_j-k_j$. S'il reste des probabilités renormalisées $\ge 1/(n_j-k_j),$ leurs unités deviennent aussi autoreprésentatives et une nouvelle renormalisation est effectuée. Ce processus est répété aussi souvent qu'il est nécessaire. Donc, les petits échantillons dont les distributions des variables de taille sont très inégales pourraient ne pas être compatibles avec l'échantillonnage PPTAR, situation qui se présente dans certains cas de données réelles de l'ASPEP examinés plus loin.

Nous aurions pu faire un autre choix, mais nous nous conformons à la pratique de l'ASPEP consistant à inclure toutes les unités autoreprésentatives dans l'ajustement des estimateurs par régression pondérés par les poids de sondage ${\widehat{\beta }}_2$ et $\widehat{\beta }.$ Cependant, sous ce choix, l'échantillonnage PPTAR suivi par le rééchantillonnage bootstrap des petits échantillons peut donner lieu à un comportement très imprévisible, qui doit être reconnu quand on résume le comportement des estimateurs bootstrap de la variance. Le problème tient au fait que, quand un petit nombre $m$ d'unités non autoreprésentatives sont échantillonnées selon un plan PPTAR, en plus d'un ensemble d'unités autoreprésentatives, puis sont traitées par la méthode du bootstrap, la probabilité que l'échantillon bootstrap contienne seulement une unité non autoreprésentative unique peut être étonnamment grande, ce qui donne lieu à une très forte variabilité du bootstrap. Ce phénomène a été observé dans les simulations présentées plus loin, pour une sous-strate de grande taille contenant 20 éléments ou moins et des variables de taille ayant une distribution très asymétrique, dans les cas de variables $x_i$ lognormales ou de l'ASPEP.

4.2 Données artificielles générées par un modèle

Toutes les populations artificielles servant de bases de sondage ont été générées au moyen de $N=$ 2 000 triplets $(x_i\mathrm{,}{y}_i\mathrm{,}{z}_i)$ iid satisfaisant l'équation (2.7), pour $U_1$ constituée des $N_1=$ 1 600 d'entre-eux pour lesquels la valeur de $x_i$ était inférieure à leur 80^e percentile empirique $c=\left(x_{\left(1,600\right)}+x_{\left(1,601\right)}\right)/2,$ et $U_2$ constituée des 400 autres. Dans la plupart des cas, les variables $z_i$ ont été générées comme $N\left(30+x_i\mathrm{,100}\right)$ variables conditionnées pour qu'elles soient positives (ce qui a nécessité à l'occasion une resimulation dans les modèles lognormaux de $x_i$ ci-dessous) et étaient conditionnellement indépendantes de $y_i$ sachant $x_i.$ (Cependant, dans certains cas, des échantillons non pondérés ont été tirés en prenant les $z_i$ identiquement égales.) Des échantillons PPT avec remise stratifiés de tailles $\left(n_1\mathrm{,}{n}_2\right)=\left(\mathrm{100,50}\right),\left(\mathrm{100,20}\right),$ ou $\left(\mathrm{50,20}\right)$ ont été tirés dans des exécutions de simulation successives, en utilisant les variables de taille $z_i,$ à partir de la même base de sondage.

Les modèles générant $(x_i\mathrm{,}{y}_i)$ sont indexés comme il suit. Dans les modèles dont le préfixe est $M1,$ les variables indépendantes $x_i$ suivent une loi Gamma $(4;0,1)$ dont le quantile 0,8 est égal à 55,2, tandis que dans les modèles  $M2,$ les variables $x_i$ suivent une loi lognormale (1;6,25) dont le quantile 0,8 est égal à 22,3. Les populations  $M1$ , et les modèles  $M2$ avec le suffixe  $E$ ont une variance conditionnelle de 100 pour $y_i$ sachant $x_i,$ tandis que les modèles  $M2$ sans le suffixe  $E$ ont une variance conditionnelle de  $20x_i.$ Les moyennes conditionnelles $E\left(y_i|x_i\right)$ sont toutes linéaires, égales à $20+1,5x_i$ dans les modèles indicés $H0$ et égales à $20+x_i+0,5\left(x_i-c\right)I_{\left[j=2\right]}$ dans la sous-strate $U_j$ dans les modèles  $H1.$ Les ordonnées à l'origine des modèles de régression sont choisies de manière que les droites se coupent à $x=c$, que les pentes soient égales ou non (voir la discussion à la section 1). Le tableau 4.1 donne la moyenne et l'écart-type (É.T.) pour les totaux $Y$ générés à partir des attributs de la population servant de base de sondage ${\left\{y_i\right\}}_{i=1}^{\text{2 000}}$ sous les divers modèles. Les variables $x_i$ ainsi que les totaux $Y$ ont une distribution à queue plus longue sous les modèles lognormaux.

Tableau 4.1
Moyennes et écarts-types des totaux Y sous les modèles de simulation
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Moyennes et écarts-types des totaux Y sous les modèles de simulation. Les données sont présentées selon Modèle (titres de rangée) et Gamma et Lognormaux (figurant comme en-tête de colonne).

Modèle	Gamma		Lognormaux
	M1.H0	M1.H1	M2.H0	M2.H0E	M2.H1	M2.H1E
E(Y)	160 000	123 177	225 603	225 603	173 485	173 485
É.T.(Y)	1 414,2	653,5	94 380	94 368	62 362	62 344

Modèles de population simulés

$M1.H0$ :$x_i\sim \text{Gamma}\left(\mathrm{4;0,1}\right)$ (paramètre de forme 4, paramètre d'échelle 10),
$y_i\sim N\left(20+1,5x_i\mathrm{;100}\right)$ (variance 100), tout $i\in U.$

$M1.H1$ :$x_i\sim \text{Gamma}\left(\mathrm{4;0},1\right),$ $y_i\sim N\left(20+x_i+0,5\left(x_i-c\right)I_{\left[x_i\ge c\right]}\mathrm{;100}\right),\text{ tout }i.$

$M2.H0$ :$\log \left(x_i\right)\sim N\left(\mathrm{1;6},25\right)\mathrm{,}{y}_i\sim N\left(20+1,5x_i\mathrm{;20}{x}_i\right)\mathrm{,}\text{tout}i.$

$M2.H0E$ :$\log \left(x_i\right)\sim N\left(\mathrm{1;6},25\right)\mathrm{,}{y}_i\sim N\left(20+1,5x_i\mathrm{;100}\right)\mathrm{,}\text{tout}i.$

$M2.H1$ :$\log \left(x_i\right)\sim N\left(\mathrm{1;6},25\right)\mathrm{,}{y}_i\sim N\left(20+x_i+0,5\left(x_i-c\right)I_{\left[x_i\ge c\right]}\mathrm{;20}{x}_i\right)\mathrm{,}\text{tout}i.$

$M2.H1E$ :$\log \left(x_i\right)\sim N\left(\mathrm{1;6},25\right)\mathrm{,}{y}_i\sim N\left(20+x_i+0,5\left(x_i-c\right)I_{\left[x_i\ge c\right]}\mathrm{;100}\right)\mathrm{,}\text{tout}i.$

Les résultats des simulations et les résultats bootstrap présentés dans les tableaux 4.2 à 4.5 ont été générés suivant le plan de sondage et de présentation des résultats qui suit. Pour chaque type de population, 60 populations servant de bases de sondage distinctes ont été générées, et 50 expériences d'échantillonnage indépendantes ont été exécutées avec chacune de ces populations. Dans les cas où les résultats de l'échantillonnage pondéré et non pondéré ont été comparés, ces échantillons ont été tirés indépendamment l'un de l'autre à partir du même ensemble de 60 populations servant de bases de sondage. Donc, on disposait de 3 000 répliques indépendantes pour le calcul de la moyenne Monte Carlo des résultats statistiques, pour trois tailles d'échantillon stratifiées différentes, et 400 itérations bootstrap ont été effectuées pour chaque échantillon généré de cette façon.

Tableau 4.2
É.T. empiriques et estimés et couverture de l’IC, d’après les simulations du modèle M1
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de É.T. empiriques et estimés et couverture de l’IC. Les données sont présentées selon Tailles (titres de rangée) et Stat., M1.H0 et M1.H1, calculées selon xxx unités de mesure (figurant comme en-tête de colonne).

Tailles	Stat.	M1.H0			M1.H1
		${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$	${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}$	${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$	${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$	${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}$	${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$
100,50	$\text{É}\text{.T}{\text{.}}_{MC}$	1 785,5	1 794,3	1 788,0	1 817,6	1 773,5	1 774,4
	$\text{É}\text{.T}{\text{.}}_S$	1 757,1	1 751,5	1 755,6	1 794,6	1 735,2	1 735,8
	$\text{É}\text{.T}{\text{.}}_B$	1 752,4	1 762,0	1 758,4	1 788,1	1 742,9	1 747,0
	${\text{PC}}_S$	94,47	94,37	94,50	93,93	93,73	93,77
	${\text{PC}}_B$	94,60	94,53	94,67	93,93	94,03	94,07
100,20	$\text{É}\text{.T}{\text{.}}_{MC}$	1 930,0	1 944,8	1 934,0	2 008,4	1 944,4	1 960,4
	$\text{É}\text{.T}{\text{.}}_S$	1 888,3	1 876,6	1 884,1	1 944,4	1 861,0	1 866,5
	$\text{É}\text{.T}{\text{.}}_B$	1 878,8	1 901,4	1 895,8	1 936,1	1 885,6	1 897,9
	${\text{PC}}_S$	94,20	93,83	94,13	93,53	93,20	93,07
	${\text{PC}}_B$	93,80	94,00	93,97	93,60	93,83	93,97
50,20	$\text{É}\text{.T}{\text{.}}_{MC}$	2 583,5	2 610,7	2 593,5	2 591,3	2 522,8	2 535,4
	$\text{É}\text{.T}{\text{.}}_S$	2 509,2	2 490,8	2 505,1	2 562,2	2 465,0	2 474,5
	$\text{É}\text{.T}{\text{.}}_B$	2 498,5	2 538,0	2 522,9	2 550,3	2 508,5	2 525,6
	${\text{PC}}_S$	93,70	93,13	93,57	93,97	93,63	93,43
	${\text{PC}}_B$	93,63	93,73	93,87	93,83	93,77	94,10

 

Tableau 4.3
É.T. empiriques et estimés et couverture de l’IC, d’après les simulations du modèle M2
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de É.T. empiriques et estimés et couverture de l’IC. Les données sont présentées selon Tailles (titres de rangée) et Stat., M2.H0 et M2.H1, calculées selon xxx unités de mesure (figurant comme en-tête de colonne).

Tailles	Stat.	M2.H0			M2.H1
		${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$	${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}$	${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$	${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$	${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}$	${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$
100,50	$\text{É}\text{.T}{\text{.}}_{MC}$	3 400,1	3 475,4	3 406,8	3 481,9	3 483,8	3 482,2
	$\text{É}\text{.T}{\text{.}}_S$	3 420,6	3 400,0	3 417,0	3 537,8	3 405,0	3 463,7
	$\text{É}\text{.T}{\text{.}}_B$	3 590,0	3 715,2	3 623,4	3 852,0	3 921,9	3 898,4
	${\text{PC}}_S$	95 10	93 43	94 83	95 03	93 40	94 13
	${\text{PC}}_B$	95 67	95 77	95 77	95 63	95 77	95 70
100,20	$\text{É}\text{.T}{\text{.}}_{MC}$	5 655,2	6 184,0	5 698,6	5 853,0	6 181,1	5 955,6
	$\text{É}\text{.T}{\text{.}}_S$	5 644,9	5 575,7	5 640,9	5 798,3	5 587,3	5 697,3
	$\text{É}\text{.T}{\text{.}}_B$	5 565,1	6 687,3	5 857,8	5 907,8	6 838,0	6 466,6
	${\text{PC}}_S$	93 83	88 47	93 40	92 77	88 30	90 70
	${\text{PC}}_B$	92 33	93 67	93 37	92 63	94 33	94 17
50,20	$\text{É}\text{.T}{\text{.}}_{MC}$	5 773,2	6 319,2	5 833,9	5 934,2	6 230,6	6 009,8
	$\text{É}\text{.T}{\text{.}}_S$	5 800,2	5 677,2	5 785,8	6 012,6	5 755,4	5 919,2
	$\text{É}\text{.T}{\text{.}}_B$	5 728,5	6 825,2	6 086,0	6 102,2	6 978,1	6 522,1
	${\text{PC}}_S$	94 60	88 67	93 97	94 07	89 37	92 27
	${\text{PC}}_B$	93 40	94 23	94 27	93 47	95 03	94 80

 

Tableau 4.4
É.T. pour ${\widehat{Y}}_{\text{HT}}$ vs ${\widehat{Y}}_{\text{dec}},$ et couverture des intervalles de confiance percentiles bootstrap pour ${\widehat{Y}}_{\text{dec}},$ pour $\tau =0,05$ vs $0,20$, pour les modèles M1 et M2, H0 et H1
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de É.T. pour XXX vs XXX et couverture des intervalles de confiance percentiles bootstrap pour XXX pour XXX vs 0. Les données sont présentées selon Modèle (titres de rangée) et Échantillons et xxx, calculées selon xxx unités de mesure (figurant comme en-tête de colonne).

Modèle	Échantillons	${\widehat{Y}}_{\text{dec}}\mathrm{,}\tau =0,05$		${\widehat{Y}}_{\text{HT}}$	${\widehat{Y}}_{\text{dec}}\mathrm{,}\tau =0,20$
		$\text{É}{\text{.T}}_{MC}$	${\text{PC}}_{PB}$	$\text{É}\text{.T}{\text{.}}_{\text{HT}}$	$\text{É}{\text{.T}}_{MC}$	${\text{PC}}_{PB}$
M1.H0	100,50	1 788,0	94,23	2 774,0	1 745,5	94,60
	100,20	1 934,0	93,50	3 032,6	1 915,9	94,10
	50,20	2 593,5	93,17	3 000,7	2 500,1	94,43
M1.H1	100,50	1 774,4	93,70	2 387,3	1 737,3	94,43
	100,20	1 960,4	93,27	2 678,9	1 948,0	93,23
	50,20	2 535,4	93,90	3 035,0	2 509,8	94,23
M2.H0	100,50	3 406,8	95,20	4 160,0	3 398,8	94,83
	100,20	5 698,6	91,13	6 720,2	5 705,7	92,57
	50,20	5 833,9	92,60	7 080,0	5 979,8	92,17
M2.H1	100,50	3 482,2	95,13	4 393,6	3 423,9	94,03
	100,20	5 955,6	92,07	7 413,1	5 917,3	92,40
	50,20	6 009,8	92,33	7 840,4	6 105,6	92,17

 

Tableau 4.5
Comparaisons des estimations de l’É.T. et de la couverture de l’IC pour H0 et H1 pour trois modèles lognormaux, pondérés (W) et non pondérés (U) dans M2, et pondérés (E) dans M2.E. Les couvertures en % des IC sont données pour les É.T. ainsi que les intervalles percentiles bootstrap
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Comparaisons des estimations de l’É.T. et de la couverture de l’IC pour H0 et H1 pour trois modèles lognormaux. Les données sont présentées selon Modèle (titres de rangée) et Taille, Stat, É.T. et xxx(figurant comme en-tête de colonne).

Modèle	Taille	Stat	É.T.	${\widehat{\text{É}\text{.T}\text{.}}}_S$	${\widehat{\text{É}\text{.T}\text{.}}}_B$	${\text{PC}}_S$	${\text{PC}}_B$	${\text{PC}}_{PB}$
H0.W	100,50	${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$	3 400,1	3 420,6	3 590,0	95,10	95,67	94,93
		${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}$	3 475,4	3 400,0	3 715,2	93,43	95,17	95,33
		${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$	3 406,8	3 417,0	3 623,4	94,83	95,77	95,20
H0.U		${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$	5 481,6	3 674,8	5 571,9	81,43	93,50	92,07
		${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}$	5 782,8	3 646,6	6 076,3	80,13	93,67	91,90
		${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$	5 525,5	3 669,0	5 726,8	81,07	93,83	92,20
H0.E		${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$	1 888,8	1 930,1	1 904,7	94,73	94,53	94,23
		${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}$	1 888,6	1 911,1	1 893,2	94,43	94,30	94,20
		${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$	1 892,9	1 926,5	1 905,0	94,67	94,57	94,20
H0.W	50,20	${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$	5 773,2	5 800,2	5 728,5	94,60	93,40	92,00
		${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}$	6 319,2	5 677,2	6 825,2	88,67	94,23	92,60
		${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$	5 833,9	5 785,8	6 086,0	93,97	94,27	92,60
H0.U		${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$	10 000,3	5 136,5	9 905,6	71,10	90,73	89,80
		${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}$	11 192,8	5 085,0	12 806,8	68,70	92,90	89,37
		${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$	10 134,1	5 120,7	11 245,9	70,73	92,37	90,27
H0.E		${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$	2 811,4	2 831,6	2 769,5	94,13	94,00	93,93
		${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}$	2 811,9	2 753,8	2 741,1	93,47	93,77	93,30
		${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$	2 817,4	2 821,8	2 777,0	93,83	93,90	93,77
H1.W	100,50	${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$	3 481,9	3 537,8	3 852,0	95,03	95,63	95,27
		${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}$	3 483,8	3 405,0	3 921,9	93,40	95,77	95,10
		${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$	3 482,2	3 463,7	3 898,4	94,13	95,70	95,13
H1.U		${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$	5 631,4	3 774,8	5 614,6	80,90	92,33	91,07
		${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}$	5 838,3	3 699,6	6 010,5	79,13	92,73	91,37
		${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$	5 727,0	3 732,8	5 870,5	80,40	92,93	91,63
H1.E		${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$	2 005,5	2 094,2	2 019,1	95,60	94,97	94,60
		${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}$	1 909,9	1 908,2	1 892,5	94,83	94,77	94,17
		${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$	1 931,9	1 941,7	1 934,6	94,97	95,20	94,83
H1.W	50,20	${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$	5 934,2	6 012,6	6 102,2	94,07	93,47	91,97
		${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}$	6 230,6	5 755,4	6 978,1	89,37	95,03	92,23
		${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$	6 009,8	5 919,2	6 522,1	92,27	94,80	92,33
H1.U		${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$	9 315,8	5 350,9	10 040,0	74,17	93,10	90,57
		${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}$	10 583,8	5 229,6	12 476,8	71,23	94,57	90,87
		${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$	9 989,6	5 295,4	11 479,5	72,53	94,33	91,47
H1.E		${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$	3 096,1	3 137,7	2 795,6	94,63	93,43	93,37
		${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}$	2 880,6	2 766,8	2 745,7	93,10	93,40	93,47
		${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$	2 977,3	2 929,2	2 882,0	93,77	93,77	93,77

Nous avons calculé les quantités qui suivent pour chaque combinaison de modèles, pondérations et tailles d'échantillon : les biais en pourcentage de ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}},$ ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}},$ ${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$ (avec $\tau =$ 0,05 dans tous les tableaux, sauf le tableau 4.4 où $\tau =$ 0,05 ou 0,20) en tant qu'estimateurs de $Y;$ les écarts-types (É.T.) Monte Carlo, $\text{É}\text{.-T}{\text{.}}_{MC},$ de ces trois estimateurs; les É.T. estimés des estimateurs, en utilisant les estimateurs de l'É.T. par substitution $\left({\widehat{\text{É}\text{.T}\text{.}}}_S\right)$ et bootstrap $\left({\widehat{\text{É}\text{.T}\text{.}}}_B\right)$ , respectivement, décrits à la section 3; la probabilité de couverture, $P{\text{C}}_u,$ des intervalles de confiance à 95 % nominaux pour $Y:$ $\widehat{Y}\pm 1,960\cdot {\widehat{\text{É}\text{.T}\text{.}}}_u,$ où $\widehat{Y}$ est l'un des trois estimateurs de $Y,$ et $u=S$ ou $B;$ et les intervalles de confiance bootstrap percentiles (et leur pourcentage de couverture $P{\text{C}}_{BP}$ ) obtenus d'après les quantiles 0,025 et 0,975 empiriques des (400) valeurs bootstrap de chacun des trois estimateurs $\widehat{Y}$ de $Y.$ En outre, nous avons calculé les biais empiriques des estimations de Horvitz-Thompson ${\widehat{Y}}_{\text{HT}}$ dans (1.1) et leurs écarts-types empiriques $\text{É}\text{.T}{\text{.}}_{\text{HT}}$ . (De ces quantités calculées, seuls les biais ne sont pas présentés, puisqu'ils étaient tous nettement inférieurs à 0,5 % sauf pour le modèle  $M2\text{.}H1\text{.}U,$ et même dans ce cas, la valeur la plus importante du biais était de l'ordre de 1 %.) Deux autres statistiques, calculées et présentées au tableau 4.6 pour chacun des estimateurs $\widehat{Y}$ de $Y,$ sont les erreurs-types sur l'ensemble des populations servant de bases de sondage générées aléatoirement des estimations Monte Carlo et bootstrap intrapopulation des É.T. des estimateurs $\widehat{Y}.$

Tableau 4.6
Erreurs-types sur l’ensemble des populations des É.T. empiriques et bootstrap estimés pour les estimateurs ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}\mathrm{,}{\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}},$ et ${\widehat{Y}}_{\text{dec}},$ pour certains modèles et pondérations
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Erreurs-types sur l’ensemble des populations des É.T. empiriques et bootstrap estimés pour les estimateurs XXX et XXX pour certains modèles et pondérations. Les données sont présentées selon Modèle (titres de rangée) et Tailles et xxx(figurant comme en-tête de colonne).

Modèle	Tailles	${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$		${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}$		${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$
		É.T.	${\widehat{\text{É}\text{.T}\text{.}}}_B$	É.T.	${\widehat{\text{É}\text{.T}\text{.}}}_B$	É.T.	${\widehat{\text{É}\text{.T}\text{.}}}_B$
M1.H0	100,50	198	35	196	35	197	35
	50,20	210	52	208	51	210	51
M1.H1	100,50	204	39	183	40	184	41
	50,20	319	57	298	62	302	62
M2.H0	100,50	404	345	450	383	405	351
	50,20	825	518	1,075	916	889	631
M2.H0.E	100,50	187	49	185	45	184	47
	50,20	294	85	293	71	298	82
M2.H1	100,50	409	409	410	421	408	414
	50,20	767	624	946	929	841	730
M2.H1.E	100,50	208	59	196	46	204	50
	50,20	258	141	261	82	239	102
M2.H1.U	100,50	1 676	1 351	1 773	1 539	1 726	1 467
	50,20	2 397	2 543	3 425	3 454	3 102	3 159

4.3 Données réelles du recensement des administrations publiques

Nos simulations fondées sur l'échantillonnage répété à partir de bases de sondage contenant des données réelles s'appuient sur un ensemble de données nationales au niveau des états rassemblées par Yang Cheng. La base de sondage de l'ASPEP réalisée auprès des administrations publiques pour l'année de référence 2007, qui était aussi une année de recensement, est la même que celle du fichier du recensement des administrations publiques (Census of Governments) de 2007. Notre ensemble de données contient les valeurs des variables de l'ASPEP de 2002 et de 2007 (nombre d'employés, rémunération et heures travaillées à temps plein et à temps partiel) tirées des recensements de ces années, ainsi que les poids de sondage de 2007 et les variables indicatrices de présence dans l'échantillon pour l'ASPEP. Un poids égal à 1 signifie que l'administration publique en question était autoreprésentative, au sens où elle a été choisie avec certitude en vue d'être incluse dans l'ASPEP. La variable de taille $z_i$ pour l'échantillonnage PPT dans l'ASPEP est égale à la somme des masses salariales à temps plein et à temps partiel provenant du recensement le plus récent, de sorte que nous nous limitons à l'examen des 53 402 administrations publiques figurant dans le fichier pour lesquelles la valeur de cette variable était positive. Le tableau 4.7 donne les administrations publiques de type sous-comté et district spécial (les seules qui sont subdivisées en sous-strates de petites et de grandes unités) dans neuf états, ainsi que les nombres d'unités autoreprésentatives et les nombres d'unités échantillonnées en 2007. Comme il est mentionné à la sous-section 4.1, le nombre final d'unités autoreprésentatives (AR) pour l'échantillonnage PPT avec remise peut dépasser le nombre d'unités sélectionnées initialement en vue d'être incluses avec certitude, et les nombres plus élevés, qui correspondent à la taille de l'échantillon effectivement sélectionné en 2007, sont indiqués dans les colonnes AR du tableau 4.7. L'inspection de ce tableau montre que plusieurs combinaisons état-type d'administration publique ont une population nulle dans une sous-strate ou ne contiennent qu'un nombre trop faible d'unités non autoreprésentatives pour être utile dans la simulation d'échantillons répétés. À titre de règle empirique, nous prenons 15 comme nombre minimal d'unités non autoreprésentatives et nous recommandons que les paires de sous-strates contenant un nombre plus faible d'unités non autoreprésentatives dans la strate des grandes unités soient fusionnées sans recourir à la stratégie fondée sur un test de décision étudiée dans le présent article.

Tableau 4.7
Population de recensement, tailles d’échantillon de l’ASPEP et nombre d’administrations publiques de types sous-comté et district spécial autoreprésentatives par sous-strate en 2007, pour neuf États choisis
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Population de recensement. Les données sont présentées selon (titres de rangée) et Sous-comté, District spécial, Petites unités et Grandes unités(figurant comme en-tête de colonne).

	Sous-comté					District spécial
	Petites unités		Grandes unités			Petites unités		Grandes unités
	Pop.	Éch.	Pop.	Éch.	AR	Pop.	Éch.	Pop.	Éch.	AR
AL	378	15	55	45	26	0	0	400	102	64
CA	0	0	475	104	86	1 595	39	107	107	107
CO	0	0	265	34	18	627	16	65	55	33
FL	317	16	81	54	36	0	0	330	48	24
GA	461	17	49	36	20	0	0	293	70	32
MO	980	25	101	101	101	799	27	106	66	42
NY	1 473	25	69	69	69	606	16	33	23	4
PA	2 409	55	123	81	31	921	21	37	37	37
WI	1 702	36	129	71	44	281	16	61	40	20

Pour neuf combinaisons d'administration publique par type comprenant 15 unités non autoreprésentatives ou plus et au moins 17 unités non autoreprésentatives non échantillonnées de la strate des grandes unités (sauf pour les états AL, CO, et GA pour lesquels il existait respectivement 9, 10 et 11 unités non autoreprésentatives non échantillonnées), le tableau 4.8 donne les résultats pour les estimateurs fondés sur un test de décision et les estimations de la variance dans les paires de sous-strates. Dans chacune des combinaisons état-type d'administration publique, 3 000 échantillons PPTAR stratifiés ayant les tailles indiquées ont été tirés de la base de sondage de l'ASPEP et du recensement des administrations publiques décrites plus haut, avec $x_i$ et $y_i$ désignant, respectivement, la masse salariale des employés à temps plein de l'administration publique concernée telle qu'enregistrée aux recensements des administrations publiques de 2002 et de 2007, et $z_i$ désignant la masse salariale totale (temps plein plus temps partiel) en 2002. Pour chaque échantillon simulé, on a calculé les estimateurs ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}\mathrm{,}{\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}\mathrm{,}{\widehat{Y}}_{\text{dec}}$ et estimé les variances empiriques. La variance de ${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$ a également été estimée par les méthodes de la formule de substitution et du bootstrap comme dans les simulations basées sur des données artificielles. (Mais il convient de souligner que, comme il a été décrit plus haut, dans chaque échantillon de sous-strate, les échantillons bootstrap ont été tirés uniquement parmi les unités non autoreprésentatives.) Les résultats sont présentés au tableau 4.8. Les efficacités relatives des estimateurs par la régression stratifiés combinés et distincts peuvent être évaluées d'après le ratio correspondant des É.T. donné dans la colonne 5 du tableau. Les autres É.T. présentés sont les estimateurs empiriques, par substitution et bootstrap de l'écart-type de ${\widehat{Y}}_{\text{dec}}.$

Tableau 4.8
Sommaire des simulations par échantillonnage répété à partir de la base de sondage de l’ASPEP de 2007. La masse salariale totale des employés à temps plein ( Y ) est exprimée en multiples de 100 millions de dollars, et les estimations de l’É.T. données dans les colonnes 6 à 8 sont exprimées en unités de 1 million de dollars ${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$ . $\text{É}\text{.T}{\text{.}}_1/\text{É}\text{.T}{\text{.}}_2$ dans la colonne 5 est le ratio de l’É.T. empirique de ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$ à celui de ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}$ .
Sommaire du tableau
Le tableau montre les résultats de Sommaire des simulations par échantillonnage répété à partir de la base de sondage de l’ASPEP de 2007. La masse salariale totale des employés à temps plein ( Y ) est exprimée en multiples de 100 millions de dollars. Les données sont présentées selon État (titres de rangée) et Strate, Y, Taille et XXX(figurant comme en-tête de colonne).

État	Strate	Y	Taille	$\text{É}\text{.T}{\text{.}}_1/\text{É}\text{.T}{\text{.}}_2$	$\widehat{\text{É}\text{.T}\text{.}}$	${\widehat{\text{É}\text{.T}\text{.}}}_S$	${\widehat{\text{É}\text{.T}\text{.}}}_B$
AL	Sous-comté	1,2	25,46	2,14	4,90	3,67	5,71
CA	Distr. spécial	4,3	30,90	0,98	29,4	21,2	26,8
CO	Distr. spécial	0,6	25,55	1,14	3,77	2,58	3,00
FL	Sous-comté	4,3	25,54	1,16	11,9	9,4	12,2
GA	Sous-comté	1,5	25,38	1,15	4,38	3,26	4,88
MO	Distr. spécial	0,6	40,70	2,13	2,99	2,20	2,99
NY	Sous-comté	23,6	35,52	1,53	13,6	12,0	14,1
PA	Sous-comté	3,0	40,70	1,12	7,28	5,79	7,60
WI	Sous-comté	1,4	40,70	2,06	5,00	4,45	5,17

4.4 Discussion des résultats des simulations

L'exposé qui suit est un résumé et une interprétation des résultats des tableaux, ainsi que d'autres résultats non présentés.

I) Bon nombre des simulations au moyen de données artificielles servent à confirmer les résultats théoriques en grand échantillon des théorèmes. Nous avons déjà mentionné que, dans les tableaux 4.2 et 4.3, les biais des trois estimateurs de $Y$ $\left({\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}\mathrm{,}{\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}\mathrm{,}{\widehat{Y}}_{\text{dec}}\right)$ sont généralement faibles. Dans le tableau 4.2, qui se rapporte aux modèles avec variables indépendantes et poids reliés à la loi Gamma dans les modèles  $M1,$ les estimateurs de variance par substitution et par bootstrap de chaque estimateur de $Y$ sont assez précis et proches l'un de l'autre, et les intervalles de confiance ont tous une couverture proche de la couverture nominale. Sous $M1.H0$ ainsi que $M1.H1,$ pour les plus petites tailles d'échantillon $n_2$ , on note une tendance des estimateurs ${\widehat{\text{É}\text{.T}\text{.}}}_S$ et ${\widehat{\text{É}\text{.T}\text{.}}}_B$ à sous-estimer légèrement les écarts-types réels ou empiriques, mais ${\widehat{\text{É}\text{.T}\text{.}}}_B$ semble suivre l'écart-type de plus près que ${\widehat{\text{É}\text{.T}\text{.}}}_S$ pour ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}$ et ${\widehat{Y}}_{\text{dec}}.$

II) La distribution des valeurs de la variable $x_i$ lognormale dans les modèles  $M2$ est beaucoup plus dispersée et asymétrique que dans les modèles  $M1,$ mais les résultats des simulations appuient néanmoins la théorie asymptotique quand $n_2=50,$ quoique pas si $n_2=20.$ Les intervalles de confiance de $Y$ fondés sur l'estimateur par substitution en ce qui concerne ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}$ ont une probabilité de couverture beaucoup trop faible lorsque l'on utilise l'estimateur de variance par substitution. Dans le tableau 4.3, pour chaque type d'estimateur de $Y$ , l'estimateur de variance par substitution présente une tendance prononcée à sous-estimer la variance (empirique) réelle et l'estimateur par le bootstrap, à la surestimer.

Le tableau 4.5 clarifie le fait que le comportement extrême des estimateurs de variance sous les modèles  $M2$ résulte partiellement de ce que les distributions des variables indépendantes et de $y_i$ sont dispersées et asymétriques, et partiellement de ce que la variable de taille utilisée dans les pondérations PPT présente aussi ces propriétés. Les cas désignés par le suffixe  $W$ dans ce tableau sont les mêmes que dans le tableau 4.3. Les cas portant le suffixe  $E$ ont les mêmes variables $\left(x_i\mathrm{,}{z}_i\right)$ que dans le tableau 4.3, mais les variances conditionnelles de $y_i$ sachant $x_i$ ont la valeur constante de 100; grâce à ce changement, le comportement irrégulier des estimateurs de l'écart-type disparaît. Cependant, lorsque les variances de $y_i$ conditionnelles sont les mêmes que dans le modèle de base  $M2$ , mais que l'échantillonnage PPTAR est non pondéré, c.-à-d. lorsque toutes les variables $z_i$ sont remplacées par la valeur 1, les estimateurs empiriques et bootstrap de l'écart-type sont très proches et très grands, tandis que l'estimateur de variance par substitution est trop faible, et ce d'un facteur spectaculairement grand variant de $1/2$ à $3/4.$ Ce phénomène étrange s'observe de la même façon pour les trois estimateurs de  $Y$ . (Cependant, une variante de l'échantillonnage non pondéré dans le modèle  $M1$ ne modifie pas matériellement les résultats par rapport à ceux présentés au tableau 4.2.)

III) Un objectif des simulations était de savoir s'il existe jamais un avantage, en ce qui concerne l'erreur quadratique moyenne (EQM), à utiliser ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$ plutôt que ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}},$ faute de quoi il y aurait fort peu de raisons d'utiliser ${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$ . En effet, les théorèmes en grand échantillon disent que le terme principal de variance en grand échantillon est toujours optimal pour ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}$ (parce qu'il est le même que pour ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$ sous l'hypothèse nulle ou parce qu'il est strictement meilleur sous le modèle (2.7) avec des pentes distinctes). Toutefois, nous avons indiqué après le théorème 3, dans la borne (2.9), que ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$ peut avoir une EQM d'ordre deux plus petite que ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}},$ et les colonnes  $H0$ des tableaux 4.2 et 4.3 révèlent un avantage faible mais consistant de ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$ par rapport à ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}$ en ce qui concerne l'écart-type, avantage qui est plus prononcé pour  $M2.$ Cet avantage disparaît sous la version fixe $M1.H1$ , mais curieusement, pas sous $M2.H1.$ L'avantage léger, mais réel, de ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$ en ce qui concerne l'EQM conditionnelle quand les pentes dans les sous-strates sont très proches de l'égalité est discuté plus en détail par Slud (2012).

Les estimateurs ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}\mathrm{,}{\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}\mathrm{,}{\widehat{Y}}_{\text{dec}}$ considérés ici sont du type régression et il pourrait être intéressant de comparer le comportement de leur EQM dans les populations simulées à celles de l'estimateur plus simple de Horvitz-Thompson ${\widehat{Y}}_{\text{HT}}$ dans (1.1). Tous ces estimateurs sont presque sans biais, de sorte que les EQM sont essentiellement les mêmes que les variances, et une comparaison des troisième et cinquième colonnes du tableau 4.4 montre que les variances de ${\widehat{Y}}_{\text{HT}}$ sont considérablement plus grandes que celles de ${\widehat{Y}}_{\text{dec}}.$ La différence est moins prononcée pour les échantillons de plus grande taille, mais même dans ce cas, elle est de 30 % à 55 %. L'avantage de ${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$ reste encore très prononcé dans le modèle  $M2,$ où les variances sous le modèle et l'asymétrie de la distribution sont plus importantes, mais moins que dans le modèle  $M1.$

IV) La définition de ${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$ contient le seuil de signification nominal arbitraire $\tau ,$ qui dans tous les tableaux sauf le tableau 4.4 a été fixé à 0,05. Comme le laisse entendre la théorie en grand échantillon, les propriétés de l'estimateur fondé sur un test de décision sont comprises entre celles de ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$ et de ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}},$ et de plus grandes valeurs de $\tau$ rendent ${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$ plus souvent égal à ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}.$ Comme le montre la comparaison des colonnes 6 et 7 du tableau 4.4, le choix $\tau =$ 0,20 semble aboutir, dans les modèles simulés, à des écarts-types de ${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$ très légèrement plus faibles sous le modèle  $M1,$ tandis que sous le modèle  $M2,$ l'écart-type est plutôt plus grand pour les petites tailles d'échantillon. La conclusion est faible, parce que les différences sont relativement petites comparativement aux différences d'écart-type observées d'une population servant de base de sondage à l'autre. Nous préférons laisser une plus petite valeur de $\tau$ dicter le groupement fréquent de sous-strates, sauf quand il existe des différences prononcées de pente estimée entre les sous-strates. Cette constatation selon laquelle de plus grands seuils de signification $\tau$ n'améliorent pas les propriétés de ${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$ diffère de celle de Saleh (2006) voulant que de plus grands seuils de signification soient très avantageux dans d'autres contextes de tests préliminaires.

V) Le tableau 4.6 renseigne sur la variabilité des estimateurs de l'écart-type des estimateurs de $Y$ selon la population servant de base de sondage. Les estimateurs bootstrap de la variance semblent moins susceptibles de varier d'une population servant de base de sondage à l'autre, parce que la moyenne réalisée par le bootstrap les stabilise. Dans ce tableau, la principale constatation semble être que la variabilité entre les populations servant de bases de sondage est modérée, sauf sous le modèle  $M2$ non pondéré, où elle est remarquablement grande. Ce résultat semble expliquer l'inflation extrême des variances sous $M2.U$ observées dans le tableau 4.5.

VI) Dans de nombreuses applications bootstrap avec statistique suivant approximativement une loi normale, la mauvaise couverture des intervalles de confiance fondés sur la théorie normale due à la non-normalité de la statistique obtenue par bootstrap peut être atténuée en utilisant les intervalles bootstrap percentiles (BP) (Shao et Tu 1995, section 4.1). Dans les présentes simulations, le tableau 4.4 (colonnes 4 et 6) donne les pourcentages de couverture des intervalles BP pour ${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$ dans les conditions où les tableaux 4.2 et 4.3 donnent les couvertures des IC sous la théorie de la loi normale basées sur l'écart-type estimé par bootstrap. Quelle qu'en soit la raison, les tableaux montrent que, sous la théorie de la loi normale, ${\text{PC}}_B$ a systématiquement tendance à être légèrement inférieur à la valeur nominale mais néanmoins légèrement supérieur à la couverture des intervalles BP, ${\text{PC}}_{BP}.$ Donc, nos simulations indiquent que, dans ces conditions, la préférence va à l'intervalle plus simple ${\widehat{Y}}_{\text{dec}}\pm 1,96\cdot {\widehat{\text{É}\text{.T}\text{.}}}_B.$

VII) Il reste à tirer les leçons des simulations portant sur des données réelles du recensement des administrations publiques présentées à la section 4.3. Le premier commentaire qui s'impose est que l'étalement et l'asymétrie de la distribution des variables indépendantes $x_i$ correspondant à la masse salariale des employés à temps plein et de la variable de taille $z_i$ correspondant à la masse salariale totale sont très importants, et ressemblent davantage à ceux observés pour les modèles lognormaux  $M2$ que pour les modèles Gamma $M1.$ Le tableau 4.8 indique (dans la colonne 5) un avantage constant de ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}$ par rapport à ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$ en ce qui concerne l'EQM, sauf dans le cas CA-district spécial, bien que la différence soit faible dans le cas CO-district spécial et dans les cas FL, GA et PA-sous-comté. Il convient de souligner que, dans presque tous ces exemples, l'estimateur bootstrap de l'écart-type pour ${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$ est plus précis que l'estimateur par la formule de substitution, malgré les nombres assez faibles d'unités non autoreprésentatives échantillonnées et non échantillonnées et (dans plusieurs cas, comme le montre le tableau 4.7)  des nombres relativement élevés d'unités autoreprésentatives. Les estimations de l'écart-type par substitution sont systématiquement trop petites, tandis que les estimations bootstrap sont habituellement légèrement élevées (c.-à-d. qu'en général ${\widehat{\text{É}\text{.T}\text{.}}}_S\text{<}\widehat{\text{É}\text{.T}\text{.}}\text{<}{\widehat{\text{É}\text{.T}\text{.}}}_B$ ). L'erreur relative de ${\widehat{\text{É}\text{.T}\text{.}}}_B$ par rapport à $\widehat{\text{É}\text{.T}\text{.}}$ ne dépasse pas environ 5 % dans ces exemples, sauf dans les cas (AL, CO, GA) où les unités non autoreprésentatives non échantillonnées sont particulièrement peu nombreuses dans la sous-strate de grandes unités.

Les sous-strates de grandes unités dans l'ASPEP ont habituellement une petite population totale dans la base de sondage et contiennent souvent un nombre relativement grand d'unités autoreprésentatives. Bien que nos simulations aient montré que cela n'invalide pas complètement les inférences faites au moyen de ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}\mathrm{,}{\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}$ ou ${\widehat{Y}}_{\text{dec}},$ ces statistiques ont des distributions assez différentes de celles prévues par la théorie en grand échantillon, et de futures subdivisions des sous-strates permettraient peut-être d'obtenir des sous-strates de grandes unités un peu plus importantes en vue d'obtenir des inférences statistiques se comportant de la manière attendue.

Plus généralement, les résultats des simulations indiquent que l'estimateur fondé sur un test de décision avec l'estimateur des intervalles défini d'après les variances bootstrap se comporte bien et peut être recommandé, sauf pour des populations très dispersées et asymétriques ou des populations pour lesquelles les tailles d'échantillon de grandes unités sont plus petites que 20 à 25.

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