2 Convergence et normalité asymptotique

Jun Shao, Eric Slud, Yang Cheng, Sheng Wang et Carma Hogue

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Afin d’examiner les propriétés asymptotiques, nous considérons la population $U$ comme l’une d’une série de populations $\left\{U^{\left(m\right)}\mathrm{,}m=1,2,\dots \right\},$ où le nombre d’unités dans $U^{\left(m\right)}$ tend vers l’infini quand $m\to \infty .$ Nous ne traitons ici que le cas de strates desquelles est tiré un grand échantillon $n_h$ ; autrement dit, nous supposons que, pour chaque strate $h,$ la taille de l’échantillon $n_h$ dépend de $m$ et tend vers l’infini quand $m\to \infty ,$ mais nous omettons l’indice $m$ pour simplifier la notation. Tous les processus limites sont considérés pour $m\to \infty .$ À l’instar d’auteurs tels que Isaki et Fuller (1982) et Deville et Särndal (1992), nous donnons à ces conditions le nom de cadre asymptotique de superpopulation. Sous le cadre fondé sur le plan de sondage considéré à la section 2.1, les vecteurs d’attributs dans les populations sous-jacentes ne doivent pas être considérés comme des vecteurs aléatoires. Cependant, sous le cadre assisté par modèle considéré à la section 2.2, des modèles de régression hypothétiques sont associés aux vecteurs d’attributs.

Puisque chaque estimateur est une somme d’estimateurs indépendants construits dans chaque strate, pour simplifier, nous présentons les résultats asymptotiques pour le cas où $H=1.$ Les résultats et les conclusions s’appliquent directement au cas d’une valeur fixe de $H$ et peuvent aussi être étendus à la situation où $H$ tend vers l’infini. (Il est habituel que les grandes enquêtes contiennent de nombreuses strates, quoique dans l’ASPEP, le nombre de strates définies selon le type d’administration publique qui ont été subdivisées en sous-strates était un peu inférieur à 100.) Puisque nous considérons seulement le cas $H=1,$ nous omettons l’indice $h$ désignant la strate à la présente section, p. ex., $n_{hj}=n_j,$ $n_h=n,$ $N_{hj}=N_j$ et $N_h=N.$ En outre, pour $j=1,2,$ les estimateurs ${\widehat{\beta }}_j$ et $\widehat{\beta }$ sont définis par les formules présentées après les équations (1.2) et (1.3) avec l’indice inférieur $h$ supprimé, considérées conjointement avec

$$\begin{array}{lll}{\widehat{\mu }}_{xj}\hfill & =\hfill & {\widehat{X}}_j/{\widehat{N}}_j,{\widehat{\alpha }}_j={\widehat{Y}}_j/{\widehat{N}}_j-{\widehat{\beta }}_j{\widehat{\mu }}_{xj}\mathrm{,}{\widehat{\sigma }}_{xj}^2={\widehat{N}}_j^{-1}{\displaystyle \sum _{i\in S_j}}{\pi }_i^{-1}{\left(x_i-{\widehat{\mu }}_{xj}\right)}^2\hfill \\ {\widehat{\sigma }}_{xe\mathrm{,}j}^2\hfill & =\hfill & n_j{\displaystyle \sum _{i\in S_j}}{\left(x_i-{\widehat{\mu }}_{xj}\right)}^2{\left(y_i-{\widehat{\alpha }}_j-{\widehat{\beta }}_j{x}_i\right)}^2/\left({\pi }_i^2{\widehat{N}}_j^2\right).\hfill \end{array}$$

De surcroît, pour simplifier, nous n’examinons les résultats asymptotiques que sous échantillonnage avec remise. Les résultats peuvent être appliqués au cas de l’échantillonnage sans remise si la fraction d’échantillonnage $n/N$ est négligeable.

2.1 Cadre asymptotique fondé sur le plan de sondage

Premièrement, nous établissons la normalité asymptotique de ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$ et ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}$ sous échantillonnage répété, c’est-à-dire quand $y_i$ et $x_i$ sont fixes pour $i\in U,$ et $S_j$ est un échantillon PPT aléatoire.

Théorème 1 Supposons que $S_1$ et $S_2$ sont des échantillons PPT indépendants tirés avec remise de $U_1$ et $U_2,$ respectivement, où l’unité $i\in U_j$ possède la probabilité $p_{ij}=z_i/{\displaystyle {\sum }_{i\in U_j}}{z}_i\text{>}0$ d’être sélectionnée, et le poids d’échantillonnage ${\pi }_i^{-1}=1/\left(n_j{p}_{ij}\right)$ pour $j=1,2,$ et que les quatre conditions qui suivent sont vérifiées, à mesure que l’indice séquentiel de population $m$ tend vers $\infty .$

(C1) Il existe des constantes ${\phi }_j$ et ${\omega }_j$ telles que $\sqrt{n/n_j}\to {\phi }_j$ et $N_j/N\to {\omega }_j.$

(C2) Pour $j=1,2,$ il existe des constantes ${\mu }_{yj}\mathrm{,}{\mu }_{xj}$ et ${\beta }_j$ telles que

$${\overline{Y}}_j=Y_j/N_j={\displaystyle \sum _{i\in U_j}}{y}_i/N_j\to {\mu }_{yj}\mathrm{,}{\overline{X}}_j=X_j/N_j={\displaystyle \sum _{i\in U_j}}{x}_i/N_j\to {\mu }_{xj}$$

existent, de même que les limites $N_j^{-1}{\displaystyle {\sum }_{i\in U_j}}{\left(x_i-{\mu }_{xj}\right)}^2\to {\sigma }_{xj}^2\text{>}0,$ et en outre,

$$\left(\sqrt{n_j}/N_j\right){\displaystyle \sum _{i\in U_j}}{x}_i\left(y_i-Y_j/N_j-{\beta }_j\left(x_i-X_j/N_j\right)\right)\to 0\text{quand}n\mathrm{,}N\to \infty \mathrm{.}$$

(C3) Les limites $D_{N_j}={\displaystyle {\sum }_{i\in U_j}}{p}_{ij}{b}_{ij}{b}_{ij}^T/N_j^2\to D_j$ existent, où pour $i\in U_j,$

$$b_{ij}={\left[1/p_{ij}-N_j\mathrm{,}{x}_i/p_{ij}-X_j\mathrm{,}{y}_i/p_{ij}-Y_j\right]}^T\mathrm{,}$$

$v^T$ désigne la transposée vectorielle, et $D_j$ est définie positive. La limite ${\sigma }_{xe\mathrm{,}j}^2=$ $\lim N_j^{-2}{\displaystyle {\sum }_{i\in U_j}}{\left(x_i-{\mu }_{xj}\right)}^2{\left(y_i-{\alpha }_j-{\beta }_j{x}_i\right)}^2/p_{ij}$ existe aussi, pour ${\alpha }_j={\mu }_{yj}-{\beta }_j{\mu }_{xj}\mathrm{.}$

(C4) Les éléments de ${\Lambda }_j={\displaystyle {\sum }_{i\in U_j}}{p}_{ij}{c}_{ij}{c}_{ij}^T/N_j^4$ forment une séquence bornée, où pour $i\in U_j,$

$$c_{ij}={\left[{\left(1/p_{ij}-N_j\right)}^2\mathrm{,}{\left(x_i/p_{ij}-X_j\right)}^2\mathrm{,}{\left(y_i/p_{ij}-Y_j\right)}^2\right]}^T.$$

Alors, quand $m\to \infty ,$ les conclusions qui suivent sont vérifiées.

a) Pour $j=1,2,$ ${\widehat{\mu }}_{xj}{\to }_{{}_P}{\mu }_{xj}\mathrm{,}{\widehat{\mu }}_{yj}{\to }_{{}_P}{\mu }_{yj}\mathrm{,}{\widehat{\beta }}_j{\to }_{{}_P}{\beta }_j\mathrm{,}{\widehat{\alpha }}_j{\to }_{{}_P}{\alpha }_j,$ et ${\widehat{\sigma }}_{xj}^2{\to }_{{}_P}{\sigma }_{xj}^2,$ où ${\to }_{{}_P}$ désigne la convergence en probabilité.

b) L’estimateur pour la strate combinée $\widehat{\beta }$ possède l’expression exacte

$$\widehat{\beta }=\frac{{\displaystyle {\sum }_{j=1}^2{\widehat{\beta }}_j{\widehat{\sigma }}_{xj}^2{\widehat{N}}_j}+\left({\widehat{X}}_2-{\widehat{X}}_1\right)\left({\widehat{Y}}_2-{\widehat{Y}}_1\right){\widehat{N}}_1{\widehat{N}}_2/\left({\widehat{N}}_1+{\widehat{N}}_2\right)}{{\displaystyle {\sum }_{j=1}^2{\widehat{\sigma }}_{xj}^2{\widehat{N}}_j}+{\left({\widehat{X}}_2-{\widehat{X}}_1\right)}^2{\widehat{N}}_1{\widehat{N}}_2/\left({\widehat{N}}_1+{\widehat{N}}_2\right)}(2.1)$$

et la limite en probabilité

$$\beta =\frac{{\displaystyle {\sum }_{j=1}^2{\beta }_j{\sigma }_{xj}^2{\omega }_j}+\left({\mu }_{x2}-{\mu }_{x1}\right)\left({\mu }_{y2}-{\mu }_{y1}\right){\omega }_1{\omega }_2}{{\displaystyle {\sum }_{j=1}^2{\sigma }_{xj}^2{\omega }_j}+{\left({\mu }_{x2}-{\mu }_{x1}\right)}^2{\omega }_1{\omega }_2}\mathrm{.}$$

c) $\sqrt{n_j}\left({\widehat{\beta }}_j-{\beta }_j\right){\to }_{d}N\left(\mathrm{0,}{\sigma }_{xe\mathrm{,}j}^2/{\sigma }_{x\mathrm{,}j}^4\right),$ où ${\to }_d$ désigne la convergence en loi, et ${\widehat{\sigma }}_{xe\mathrm{,}j}^2{\to }_{{}_P}{\sigma }_{xe\mathrm{,}j}^2.$

d) Pour $k=1,2,$

$$\sqrt{n}\left({\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,}k}-Y\right)/N{\to }_{d}N\left(\mathrm{0,}{\sigma }_k^2\right) (2.2)$$

où ${\sigma }_k^2={\displaystyle {\sum }_{j=1}^2}{a}_{kj}^T{D}_j{a}_{kj}$ et

$$a_{1j}={\omega }_j{\phi }_j{\left[-\left({\mu }_y-\beta {\mu }_x\right)\mathrm{,}-\beta \mathrm{,1}\right]}^T\mathrm{,}{a}_{2j}={\omega }_j{\phi }_j{\left[-\left({\mu }_{yj}-{\beta }_j{\mu }_{xj}\right)\mathrm{,}-{\beta }_j\mathrm{,1}\right]}^T\mathrm{,}$$

${\mu }_x={\omega }_1{\mu }_{x1}+{\omega }_2{\mu }_{x2},$ ${\mu }_y={\omega }_1{\mu }_{y1}+{\omega }_2{\mu }_{y2},$ et $D_j$ est donnée dans la condition (C3).

Les conditions (C1) à (C4) du théorème 1 fournissent une formulation générale du cadre de superpopulation pour l’inférence statistique sous le plan de sondage en grand échantillon, dans laquelle les coefficients de régression selon l’enquête estiment des paramètres descriptifs bien définis de la population servant de base de sondage. Les résultats des parties (a) à (b) montrent que les limites en probabilité ${\beta }_j\mathrm{,}{\alpha }_j$ de ${\widehat{\beta }}_j\mathrm{,}{\widehat{\alpha }}_j$ possèdent l’interprétation classique de pentes et d’ordonnées à l’origine de droites des moindres carrés de superpopulation. (Ces paramètres de pente et d’ordonnée à l’origine conservent aussi leur interprétation sous un modèle habituelle sous le modèle (2.7) présenté à la section 2.2.) La théorie asymptotique pour ${\widehat{\beta }}_j$ dans la conclusion (c) nous permet de déduire le comportement en grand échantillon de ${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$ à partir de celui fourni dans (d) pour ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,}k}.$

Sous les conditions supplémentaires

$${\beta }_1={\beta }_2\mathrm{,}{\alpha }_1={\alpha }_2\mathrm{,} (2.3)$$

il découle clairement de la partie (b) du théorème 1 que ${\beta }_j=\beta ,$ et ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$ dans (2.2), de sorte que ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$ , ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}$ et ${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$ sont tous les trois asymptotiquement les mêmes jusqu’à des restes d’ordre plus faible que $N/\sqrt{n},$ comme nous allons le montrer maintenant. En outre, si ${\beta }_1\ne {\beta }_2,$ alors ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}-{\widehat{Y}}_{\text{dec}}$ continue d’être $o_P\left(N/\sqrt{n}\right),$ et le test d’égalité des pentes aboutit au rejet, c.-à-d. $P\left({\widehat{Y}}_{\text{dec}}={\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}\right)\to 1,$ et par conséquent ${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$ suit la même loi asymptotique que ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}},$ qui est plus efficace que ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$ selon le résultat de la section 2.2.

Théorème 2 Supposons que l’on formule les mêmes hypothèses (C1) à (C4) que pour le théorème 1.

a) Quand la condition (2.3) est vérifiée, alors quand $m\to \infty$

$$\sqrt{n}\left({\widehat{\beta }}_2-{\widehat{\beta }}_1\right){\to }_{d}N\left(\mathrm{0,}{\sigma }_d^2\right)\mathrm{,}{\sigma }_d^2={\displaystyle \sum _{j=1}^2}\frac{{\sigma }_{xe\mathrm{,}j}^2}{{\phi }_j^2{\sigma }_{xj}^4}\mathrm{,} (2.4)$$

et les estimateurs ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}\mathrm{,}{\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}$ et ${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$ suivent tous une loi asymptotiquement normale et sont équivalents au sens où

$$\frac{n}{N^2}\left[{\left({\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}-{\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}\right)}^2+{\left({\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}-{\widehat{Y}}_{\text{dec}}\right)}^2\right]{\to }_{{}_P}0.(2.5)$$

(b) Quand ${\beta }_1\ne {\beta }_2,$ $P\left({\widehat{Y}}_{\text{dec}}={\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}\right)\to 1$ et $\sqrt{n}\left({\widehat{Y}}_{\text{dec}}-Y\right)/N{\to }_{{}_d}N\left(\mathrm{0,}{\sigma }_2^2\right).$

Une étude plus perfectionnée du comportement asymptotique des estimateurs ${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$ peut être entreprise dans l’esprit de Saleh (2006), comme dans le cas des versions contiguës ou de Pitman pour les modèles statistiques hors du contexte des sondages, en supposant que $\sqrt{n}\left({\beta }_1-{\beta }_2\right)\to r$ pour une constante $r.$ Sous cette hypothèse, on peut montrer que ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}-{\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}=o_P\left(N/\sqrt{n}\right)$ et, par conséquent, que les trois estimateurs centrés et réduits $\sqrt{n}\left({\widehat{Y}}_{\text{dec}}-Y\right)\mathrm{,}$ $\sqrt{n}\left({\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}-Y\right)$ et $\sqrt{n}\left({\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}-Y\right)$ suivent tous la même loi normale asymptotique de moyenne 0. En outre,

$$P\left({\widehat{Y}}_{\text{dec}}={\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}\right)\to \Phi \left(-z_{\tau /2}+r/{\sigma }_d\right)+\Phi \left(-z_{\tau /2}-r/{\sigma }_d\right)\mathrm{,} (2.6)$$

où ${\sigma }_d^2$ est donné dans (2.4), et $z_{\tau /2}$ et $\Phi$ sont, repectivement, le point de pourcentage et la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Donc, $P\left({\widehat{Y}}_{\text{dec}}={\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}\right)$ possède une limite différente de 1. En particulier, dans (2.6), la limite est égale à $\tau$ quand ${\beta }_1={\beta }_2$ (c.-à-d. quand $r=0$ ).

2.2 Cadre asymptotique assisté par modèle

À la présente section, nous examinons le comportement des estimateurs ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,}k}\mathrm{,}{\widehat{Y}}_{\text{dec}}$ sous le modèle probabiliste hypothétique selon lequel les triplets $(x_i\mathrm{,}{y}_i\mathrm{,}{z}_i)$ dans la population finie, $i\in U_j,$ sont indépendants et identiquement distribués (iid), où les variables de taille $z_i\text{>}0$ sont utilisées pour définir les probabilités de sélection PPT avec remise $p_{ij}=z_i/{\displaystyle {\sum }_{i^{\prime }\in U_j}}{z}_{i^{\prime }},$ et où $x_i$ et $y_i$ suivent le modèle

$$y_i={\alpha }_j+{\beta }_j{x}_i+{\epsilon }_i\mathrm{,}i\in U_j\mathrm{,}(2.7)$$

avec ${\alpha }_j$ et ${\beta }_j$ représentant les paramètres ordonnée à l’origine et pente inconnus pour la régression dans la strate $U_j.$ Nous supposons que les erreurs ${\epsilon }_i\mathrm{,}i\in U_j,$ sont iid de moyenne 0 et de variance finie ${\sigma }_{\epsilon }^2$ , et qu’elles sont indépendantes de $(x_i\mathrm{,}{z}_i),$ et que les variables $x_i$ pour $i\in U_j$ ont une variance finie. En outre, pour permettre l’échantillonnage PPT, nous supposons que ${\max }_{i\in U_j}{n}_j{p}_{ij}\text{<}1$ avec la probabilité s’approchant de 1 quand $m$ est grand, c.-à-d. quand $n_j\mathrm{,}{N}_j$ sont grands.

À la présente section, les propriétés asymptotiques des estimateurs ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,}k}\mathrm{,}{\widehat{Y}}_{\text{dec}}$ sont considérées en regard du modèle de régression et de l’échantillonnage répété. En vertu du théorème 1, les estimateurs assistés par modèle ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$ et ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}$ sont encore convergents et asymptotiquement normaux pour les triplets $(x_i\mathrm{,}{y}_i\mathrm{,}{z}_i)$ iid à l’intérieur des strates, puisque les conditions (C1) à (C4) sont satisfaites sous les hypothèses de moments sur $z_i\mathrm{,}1/z_i$ , même si le modèle (2.7) est incorrect. Cependant, les estimateurs ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,}k}$ sont efficaces quand le modèle (2.7) est correct.

Théorème 3 Supposons que l’on a le modèle (2.7) ainsi que la condition (C1), avec $E\left(x_i^4\right)\text{<}\infty \mathrm{,}E\left({\epsilon }_i^4\right)\text{<}\infty ,$ $E\left(z_i\right)\text{<}\infty ,$ et $E\left(\left(1+x_i^4\right)/z_i^3\right)\text{<}\infty .$ Alors, toutes les conclusions du théorème 1 et du théorème 2 sont encore vérifiées. En particulier, quand ${\beta }_1\ne {\beta }_2,$ ${\sigma }_1^2,$ la variance asymptotique de $\sqrt{n}\left({\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}-Y\right)/N$ est plus grande que ${\sigma }_2^2,$ la variance asymptotique de $\sqrt{n}\left({\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}-Y\right)/N.$ En outre,

$$\sqrt{n}\left({\widehat{Y}}_{\text{dec}}-Y\right)/N{\to }_{d}N\left(\mathrm{0,}\left(1-\pi \right){\sigma }_1^2+\pi {\sigma }_2^2\right)\mathrm{,}(2.8)$$

où $\pi$ est la limite de $P\left({\widehat{Y}}_{\text{dec}}={\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}\right).$

Notons que, dans (2.8), $\pi$ est égal à 1 quand ${\beta }_1\ne {\beta }_2$ et égal à $\tau$ quand ${\beta }_1={\beta }_2.$

Selon le théorème 3, sous le modèle (2.7), les trois estimateurs définis dans (1.2) à (1.4) ont tous la même efficacité asymptotique quand ${\alpha }_1={\alpha }_2$ et ${\beta }_1={\beta }_2$ (condition (2.3)). De surcroît, ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$ est asymptotiquement pire que ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}$ quand ${\beta }_1\ne {\beta }_2.$ Donc, pourquoi n’utiliserions-nous pas systématiquement ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}?$

Les assertions du théorème 3 sont des résultats asymptotiques d’ordre un. Un résultat asymptotique d’ordre deux, plus affiné, sous les conditions du théorème 3 et la condition (2.3) quand les tailles $z_i$ sont toutes égales est que, jusqu’à un terme d’ordre $n_1^{-2}+n_2^{-2},$

$$\text{eqm}\left(\frac{{\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}}{N}\right)-\frac{{\sigma }_{\epsilon }^2}{n}\le \left[\text{eqm}\left(\frac{{\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}}{N}\right)-\frac{{\sigma }_{\epsilon }^2}{n}\right]\left[1-\frac{n_1{n}_2{\left({\overline{X}}_1-{\overline{X}}_2\right)}^2}{n{D}_n}\right]\mathrm{,}(2.9)$$

où l’eqm est l’erreur quadratique moyenne conditionnellement aux $x_i,$ ${\overline{X}}_j=N_j^{-1}{\displaystyle {\sum }_{i\in U_j}}{x}_i,$ et

$$D_n={\displaystyle \sum _{j=1}^2}{\displaystyle \sum _{i\in U_j}}{\left(x_i-{\overline{X}}_j\right)}^2+\frac{n_1{n}_2{\left({\overline{X}}_1-{\overline{X}}_2\right)}^2}{n}\mathrm{.}$$

Le résultat (2.9) indique que, lorsque les poids sont égaux et que ${\beta }_1={\beta }_2$ et ${\alpha }_1={\alpha }_2,$ la performance en échantillon fini de ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$ pourrait être meilleure que celle de ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}$ pour des valeurs modérées de $n_1$ et $n_2$ . Voir les résultats des simulations à la section 4. La preuve de (2.9) est un cas particulier d’un résultat plus général donné dans Slud (2012) et est donc omise.

Dans les applications, nous ne savons pas si ${\beta }_1={\beta }_2.$ Donc, l’estimateur fondé sur un test de décision ${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$ est une procédure adaptative pour sélectionner un bon estimateur. Compte tenu de (2.8), la performance de ${\widehat{Y}}_{\text{dec}}$ est proche (un peu moins bonne) de celle de ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,2}}$ quand ${\beta }_1\ne {\beta }_2,$ et est proche (un peu moins bonne) de celle de ${\widehat{Y}}_{\text{reg}\mathrm{,1}}$ quand ${\alpha }_1={\alpha }_2$ et ${\beta }_1={\beta }_2$ . Ces constatations sont également corroborées par les résultats des simulations à la section 4.

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