Commentaires à propos de l’article « Inférence statistique avec des échantillons d’enquête non probabiliste »
Section 2. Approches supplémentaires pour combiner les données d’enquêtes probabilistes et les données d’enquêtes non probabilistes

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L’article de Wu suit le principe général fondé sur les trois points suivants : 1) appliquer une estimation de modèle suivie d’un calibrage des estimations des distributions de covariables d’échantillons probabilistes; 2) élaborer des estimations de scores de propension selon les écarts entre les données d’échantillons probabilistes et celles d’échantillons non probabilistes; 3) trouver des méthodes doublement robustes qui combinent les points 1 et 2 pour faire en sorte qu’un seul des deux modèles sous-jacents soit exact.

2.1  Estimateurs de score de propension

Rivers (2007) semble avoir été le premier à suggérer d’estimer le score de propension en utilisant la régression logistique avec l’appartenance à l’échantillon non probabiliste comme résultat et en utilisant comme poids d’inclusion la réciproque des scores de propension résultants. Cette approche a été systématisée davantage dans Valliant et Dever (2011). Séparément, en utilisant des résultats simples du théorème de Bayes et de l’analyse discriminante décrite pour la première fois par Elliott et Davis (2005), Elliott, Resler, Flannagan et Rupp (2010) et Elliott (2013) ont élaboré un estimateur quelque peu différent prenant la forme

$${\widehat{\pi }}_i^A\left(x_i\mathrm{,}\alpha \right)\mathrm{<mo>=</mo>}\widehat{P}\left(i\in S_A\right)\propto P\left(i\in S_B\right)\frac{\widehat{P}\left(i\in S_A|i\in S_A\text{ou}i\in S_B\mathrm{,}{x}_i\mathrm{,}\alpha \right)}{\widehat{P}\left(i\in S_B|i\in S_A\text{ou}i\in S_B\mathrm{,}{x}_i\mathrm{,}\alpha \right)}\mathrm{.}(2.1)$$

Le segment $\widehat{P}\left(i\in S_A|i\in S_A\text{ou}i\in S_B\mathrm{,}{x}_i\mathrm{,}\alpha \right)$ peut être obtenu par une régression logistique, ou au moyen d’une série d’approches qui reposent sur l’apprentissage automatique, comme les machines à vecteurs de support (Soentpiet, 1999), l’estimation pondérée du maximum de vraisemblance (Van Der Laan et Rubin, 2006) ou les arbres de régression additifs bayésiens (Chipman, George et McCulloch, 2010), et où le segment $\widehat{P}\left(i\in S_A|i\in S_B\text{ou}i\in S_B\mathrm{,}{x}_i\mathrm{,}\alpha \right)$ est obtenu en tant que $1-\widehat{P}\left(i\in S_A|i\in S_A\text{ou}i\in S_B\mathrm{,}{x}_i\mathrm{,}\alpha \right).$ En principe, le segment $P\left(i\in S_B\right)\mathrm{<mo>=</mo>}1/d_i^B$ est connu, puisque les probabilités d’échantillonnage sont connues pour tous les éléments de la population, y compris ceux de l’échantillon non probabiliste, mais dans la pratique, les analystes qui n’ont accès qu’aux données à grande diffusion pourraient aussi avoir besoin d’estimer ce paramètre. (En outre, $d_i^B$ peut inclure des ajustements de calage et de non-réponse qui ne sont pas connus pour les éléments de l’échantillon non probabiliste.) Ce dernier point est essentiel, car l’utilisation de l’échantillon probabiliste pour établir des scores de propension en utilisant uniquement les écarts entre l’échantillon non probabiliste et l’échantillon probabiliste sera faussée à moins que l’échantillon probabiliste ne repose sur un plan à probabilités égales epsem pour equal probability selection methods, comme l’a souligné Wu.

Par contre, Chen, Li et Wu (2020) montrent que l’utilisation d’une approche de pseudo-vraisemblance pour estimer ${\widehat{\pi }}_i^A\left(x_i\mathrm{,}\alpha \right)$ directement à partir de la vraisemblance de population pour les indicateurs $I\left(i\in S_A\right)$ en fonction de $x_i$ produit un estimateur qui ne requiert pas le segment $P\left(i\in S_B\right)$ pour les éléments de l’échantillon non probabiliste, à condition que ${\pi }_i^A\left(x_i\mathrm{,}\alpha \right)$ suive un modèle linéaire généralisé avec un lien canonique, c’est-à-dire une régression logistique.

(Aucune de ces approches ne fournit la bonne ordonnée permettant d’obtenir un score de propension réel. Cependant, comme l’indique l’article de Wu, une estimation pondérée repose généralement sur des estimateurs de type Hájek [qui utilisent des poids pour estimer un total de population pour les dénominateurs; Hájek, 1971], de sorte que des scores de propension estimés jusqu’à l’obtention d’une constante de normalisation sont suffisants.)

2.2  Estimateurs doublement robustes

Si l’inférence est centrée sur une variable particulière $Y$ offerte seulement dans l’échantillon non probabiliste, on peut alors revenir aux estimateurs assistés par un modèle qui remontent à Cassel, Särndal et Wretman (1976) et qui posent comme postulat un modèle d’espérance $E\left(y_i|x_i\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{m}_i.$ La combinaison de ce modèle avec les estimations du score de propension de la probabilité de faire partie de l’échantillon non probabiliste (que nous traiterons comme un « échantillon probabiliste inconnu » et que nous examinerons plus en détail dans la section sur les hypothèses) permet d’obtenir les estimateurs de la formule

$$\frac{1}{{\widehat{N}}^A}{\displaystyle \sum _{i\in S_A}}\frac{y_i-{\widehat{m}}_i}{{\widehat{\pi }}_i^A}+\frac{1}{{\widehat{N}}^B}{\displaystyle \sum _{i\in S_B}}{d}_i^B{\widehat{m}}_i(2.2)$$

correspondant au segment ${\widehat{\mu }}_{\text{DR}2}$ de la formule (4.11) indiquée dans l’article de Wu. On pourrait penser que tout biais découlant d’une erreur de spécification du modèle dans l’estimation de $m_i$ dans $\frac{1}{{\widehat{N}}^B}{\displaystyle {\sum }_{i\in S_B}}{d}_i^B{\widehat{m}}_i$ sera égal et de signe opposé à $\frac{1}{{\widehat{N}}^A}{\displaystyle {\sum }_{i\in S_A}}\frac{y_i-{\widehat{m}}_i}{{\widehat{\pi }}_i^A}$ si le modèle pour ${\pi }_i^A$ est correctement spécifié. À l’inverse, si le modèle pour ${\pi }_i^A$ est mal spécifié alors que $m_i$ est correctement spécifié, $y_i-{\widehat{m}}_i$ sera iid avec une moyenne nulle et, par conséquent, $\frac{1}{{\widehat{N}}^A}{\displaystyle {\sum }_{i\in S_A}}\frac{y_i-{\widehat{m}}_i}{{\widehat{\pi }}_i^A}$ aura aussi une moyenne de zéro, ce qui donnera un estimateur sans biais. Chen, Valliant et Elliott (2019) ont utilisé la méthode LASSO pour les prévisions, de pair avec des estimateurs par la régression généralisée (McConville, Breidt, Lee et Moisen, 2017) lorsque $X$ est de grande dimension. Comme Wu le fait remarquer, Wu et Sitter (2001) montrent l’équivalence entre l’estimateur par la régression généralisée appliqué aux valeurs prédites et les estimateurs doublement robustes de la formule dans la section (2.2), qui indique que l’approche adoptée par Chen et coll. (2019) est équivalente à la formule de la section 2.2 avec estimation de la méthode LASSO pour $m_i$ et une hypothèse d’échantillonnage aléatoire simple pour l’échantillon non probabiliste.

Un inconvénient d’utiliser la formule (2.1) par rapport à la méthode de Chen et coll. (2020) comme estimateur de ${\pi }_i^A,$ et donc de $d_i^A,$ tient au fait qu’on doive connaître les poids de l’échantillon probabiliste $d_i^B,$ ou qu’il faille au moins les estimer pour l’échantillon non probabiliste. L’un des avantages de la formule (2.1) est que les modèles non linéaires et les méthodes d’apprentissage automatique peuvent être utilisés dans l’estimation. Rafei, Flannagan et Elliott (2020) utilisent les arbres de régression additifs bayésiens pour estimer $m_i$ et ${\pi }_i^A,$ ce qui permet de réduire l’incidence d’une erreur de spécification du modèle. Les simulations ont montré une amélioration considérable de la réduction du biais et de la variance par rapport à la méthode de Chen et coll. (2020) en cas de spécification erronée des modèles linéaires. On peut effectuer l’estimation de la variance en adaptant les règles d’imputation multiple de Rubin : à partir de $M$ tirages indépendants selon les arbres de régression additifs bayésiens, la moyenne des variances calculées traitant le tirage de $d_i^A$ comme connu reposant sur des estimateurs classiques d’un plan d’échantillonnage complexe et ajouté à $\frac{M+1}{M}$ fois la variance des estimations ponctuelles calculées pour les tirages de $d_i^A$ donne un estimateur de variance approximativement sans biais.

Une autre approche de l’estimation doublement robuste consiste à utiliser le score de propension comme « score d’équilibrage » le plus grossier possible qui contient toute l’information sur l’association entre l’indicateur d’échantillonnage et le résultat visé. Cela a mené à la mise au point d’estimateurs de la moyenne qui utilisent des fonctions lisses de pondération pour produire des estimateurs convergents susceptibles d’être plus efficaces lorsque les poids sont très variables ou faiblement liés au résultat (Elliott et Little, 2000; Zheng et Little, 2005). Zhou, Elliott et Little (2019) ont étendu cette idée à l’inférence causale dans les études non randomisées, où la probabilité d’attribution à un traitement ou à une exposition (score de propension) est estimée comme une fonction des covariables $P_Z\left(x_i\mathrm{,}\alpha \right)$ utilisant la régression logistique, puis les résultats possibles non observés $Y^z$ au volet de traitement $z_i^{{}^{\prime }}\ne z_i$  pour le traitement observé $z_i$ sont imputés à partir de

où $P^{*}$ est la transformation logit de $P,$ $s({\widehat{P}}_Z^{*}|{\theta }_Z)$  désigne une spline pénalisée avec nœuds fixes de propension (Eilers et Marx, 1996), et $g_Z({\widehat{P}}^{*}\mathrm{,}{x}_i|{\beta }_Z)$ représente une fonction générale des covariables, y compris les scores de propension. L’estimateur qui en résulte est doublement robuste en ce sens que si $P_Z\left(x_i\mathrm{,}\alpha \right)$ ou $E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Y}^z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>=</mo>}{g}_Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\widehat{P}}^{*}\text{}\mathrm{,}{x}_i|{\beta }_Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ est correctement spécifié, $Y^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ sera approximativement sans biais (voir Zhang et Little, 2009). Il peut être mis en œuvre dans l’échantillon non probabiliste en remplaçant ${\widehat{P}}_Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{,}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ dans le modèle de moyenne pour (2.3) par la valeur ${\widehat{\pi }}_i^A$ estimée à l’aide de (2.1) pour obtenir un tirage de $Y_i^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}.$ (Veuillez noter que cela nécessite l’obtention de ${\widehat{\pi }}_i^A$ pour les éléments de l’échantillon probabiliste nécessitant une prédiction.) L’inférence peut se faire en obtenant des tirages $b\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots ,B$ à partir de la distribution postérieure de la quantité estimée de population étudiée, par exemple pour la moyenne de la population

$$Y^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\displaystyle {\sum }_{i\in S_R}{N}_i^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{Y}_i^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}+{\displaystyle {\sum }_{i\in S_A}\left(y_i-Y_i^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right)}}{N}$$

où $N_i^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ est maintenant une estimation de la population représentée par le poids $d_i^R$ obtenu à partir du bootstrap bayésien en population finie (Little et Zheng, 2007). Des extensions plus complètes du bootstrap bayésien en population finie à des plans d’échantillonnage complexes qui comprennent des mises en grappes et des stratifications sont consultables dans Dong, Elliott et Raghunathan (2014).

Comme dans l’estimation de (2.1), la composante non paramétrique (spline) de (2.3) peut être remplacée par d’autres estimateurs d’apprentissage automatique; voir le chapitre 4 de Rafei (2021) pour la mise en œuvre à l’aide de processus gaussiens. En outre, les applications aux modèles non normaux sont directes, bien qu’elles ne soient pas nécessairement faciles à calculer.

2.3  Estimateurs poststratifiés

Wu décrit également l’utilisation d’estimateurs poststratifiés dans le contexte d’échantillonnage par quota, qui est non seulement une très vieille forme d’échantillonnage non probabiliste, mais en fait la norme avant que Neyman défende l’idée de l’échantillonnage aléatoire stratifié (Neyman, 1934). La section 5 de l’article de Wu propose une solution de rechange solide aux estimations de score de propension obtenues en classant les observations tirées de l’échantillon probabiliste par ${\widehat{\pi }}_i,$ en les stratifiant en $K$ strates fondées sur ce classement, et en calculant la proportion prédite de la population appartenant à la $k^{\text{e}}$ strate comme proportion des poids d’échantillonnage $W_k$ de cette strate en utilisant l’échantillon probabiliste à l’aide de la formule

$${\widehat{\mu }}_{\text{PST}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _k}{\widehat{W}}_k{\overline{y}}_k(2.4)$$

où ${\overline{y}}_k$ est la moyenne dans la $k^{\text{e}}$ strate de l’échantillon non probabiliste. Wu souligne le compromis entre le choix d’un $K$ suffisamment grand pour conserver l’homogénéité à l’intérieur des unités, mais assez petit pour obtenir des estimations stables de ${\overline{y}}_k,$ en indiquant 30 comme ancienne « règle empirique » pour les « tailles d’échantillon [suffisamment] grandes ». J’ajouterais qu’une approche plus officielle dont il est question dans Little (1986) consiste à adopter une méthode de création de strates (dans un contexte d’ajustement pour la non-réponse) qui limite l’erreur quadratique moyenne en maximisant la variance entre les strates à la variance dans la strate. Il semblerait qu’une telle approche conviendrait aussi à l’estimateur poststratifié des échantillons non probabilistes.

Une approche plus directe pour obtenir des estimations à l’aide d’un estimateur poststratifié est la régression multiniveau et la poststratification (Wang, Rothschild, Goel et Gelman, 2015; Downes et Carlin, 2020). Dans le cas présent, seules les données de l’échantillon non probabiliste sont utilisées dans le modèle de résultat

$$E\left(Y_{k\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\beta }_0+x_k^T\beta +{\displaystyle \sum _j}{a}_{l\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^j(2.5)$$

où $k\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots ,K$ indexe la poststrate créée à partir des variables $j\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots ,J,$ $a_{l\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^j~N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}{\sigma }_j^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ pour $l\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots ,L_j$ et $l\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ met en correspondance la cellule $k$ de la postrate avec la catégorie $l$ de la variable $j$ appropriée. L’estimateur poststratifié est toujours donné par (2.4), ${\widehat{W}}_k$ étant maintenant remplacé par les totaux $W_k$ de population connus; l’inférence postérieure est obtenue par les tirages postérieurs de ${\beta }_0,$ $\beta$ et $a_{l\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^j$ pour obtenir un tirage de

Bien que cet estimateur ne soit pas doublement robuste au sens strict, il a démontré son bon fonctionnement dans certaines applications où $J$ est suffisamment grand pour saisir tous les écarts importants entre un échantillon probabiliste et un échantillon non probabiliste, et lorsque l’échantillon non probabiliste est suffisamment grand pour permettre une estimation plutôt exacte de $a_{l\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^j.$ En l’absence de distributions conjointes connues de $X$ à grande dimensionnalité, cette approche présente la faiblesse de reposer sur des distributions estimées qui sont instables. Une solution de rechange possible consisterait à remplacer ${\overline{y}}_k$ par (2.5) dans l’estimateur poststratifié de Wu (2.4), en partant du principe que les poids d’échantillonnage $d_i^R$ résument l’information au sujet de $X$ dans l’échantillon probabiliste semblable à celle du score de propension pour l’échantillon non probabiliste.

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