Évaluer la couverture des intervalles de confiance en cas de non-réponse. Étude de cas sur la moyenne et les quantiles de revenu dans certaines municipalités de l’Enquête intercensitaire mexicaine de 2015
Section 2. Trois méthodes d’estimation des intervalles de confiance

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2.1 Estimation par échantillonnage à deux phases

Nous considérons une population finie $U\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\mathrm{1,}\mathrm{2,}\dots \mathrm{,}N\right\}$ et un échantillon probabiliste $s\subset U$ de taille fixe $n,$ avec des probabilités d’inclusion du premier et du second ordre ${\pi }_k$ et ${\pi }_{kl},$ $k\mathrm{,}l\in U,$ $k\ne l.$ Soit $y_k$ la $k^{\text{e}}$ valeur de la variable d’intérêt $y,$ et soit ${\theta }_0$ un paramètre de population et ${\widehat{\theta }}_0$ un estimateur de ${\theta }_0.$

Nous supposons que la valeur $y_k$ est disponible pour un sous-ensemble $r\subset s$ seulement. Soit ${\varphi }_k$ la probabilité de réponse de l’unité $k.$ Soit $I_k$ une variable indicatrice de réponse telle que $I_k\mathrm{<mo>=</mo>}1$ pour $k\in r$ et $I_k\mathrm{<mo>=</mo>}0$ pour $k\in s\backslash r.$ Nous supposons également qu’il y a un vecteur des variables auxiliaires $x$ observées pour tous les $k\in s.$  Nous formulons l’hypothèse de données manquantes au hasard (MAR pour missing at random) :

$$P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{I}_k\mathrm{<mo>=</mo>}1\mathrm{<mo>|</mo>}{y}_k\mathrm{,}{x}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>=</mo>}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{I}_k\mathrm{<mo>=</mo>}1\mathrm{<mo>|</mo>}{x}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>=</mo>}{\varphi }_k\forall k\in U\mathrm{.}$$

Les probabilités de réponse ${\varphi }_k$ servent à ajuster les poids de sondage. Nous supposons que le plan de sondage et le mécanisme de réponse sont indépendants, comme dans Berger (2020). À partir de la théorie de l’échantillonnage à deux phases (Särndal et coll., 1992, section 9.3), les poids ajustés pour la non-réponse sont définis comme étant ${\pi }_k^{*-1}\mathrm{<mo>=</mo>}1\mathrm{<mo>/</mo>}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\pi }_k{\varphi }_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ et les probabilités d’inclusion de second ordre comme étant ${\pi }_{kl}^{*}\mathrm{<mo>=</mo>}{\pi }_{kl}{\varphi }_k{\varphi }_l\mathrm{,}k\mathrm{,}l\in U,$ $k\ne l.$

L’intérêt réside dans l’estimation de la moyenne de population $\overline{Y}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{k\in U}{y}_k/N}$ et du quantile de population donné par

$$Y_q\mathrm{<mo>=</mo>}{y}_{\left(d-1\right)}+\frac{\left(y_{\left(d\right)}-y_{\left(d-1\right)}\right)\left[qN-N_{\left(d-1\right)}\right]}{N_{\left(d\right)}-N_{\left(d-1\right)}}\mathrm{,}(2.1)$$

où $y_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$  est la valeur de la $i^{\text{e}}$ unité arrangée en ordre croissant, $d\mathrm{<mo>=</mo>}\min \left\{l\mathrm{<mo>:</mo>}qN\mathrm{<mo><</mo>}{N}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}l\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots ,N\right\}$ et $N_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{j\in U}I\left(y_j\le y_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right)}\mathrm{,}l\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots ,N.$ On obtient la formule (2.1) en prenant en compte une interpolation linéaire par morceaux de la fonction de répartition par étapes $F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{k\in U}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_k\le y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}/N},$ où $I\left(y_k\le y\right)\mathrm{<mo>=</mo>}1$ quand $y_k\le y.$

Ces paramètres de population sont estimés respectivement par

$$\widehat{\overline{Y}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\displaystyle {\sum }_{k\in r}{y}_k/{\pi }_k^{*}}}{{\displaystyle {\sum }_{k\in r}1/{\pi }_k^{*}}}\mathrm{,}(2.2)$$

et

$${\widehat{Y}}_q\mathrm{<mo>=</mo>}{y}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}d-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+\frac{\left(y_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}d\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-y_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}d-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right)\left(q\widehat{N}-{\widehat{N}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}d-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right)}{{\widehat{N}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}d\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-{\widehat{N}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}d-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\mathrm{,}(2.3)$$

où $d\mathrm{<mo>=</mo>}\min \left\{l\mathrm{<mo>:</mo>}q\widehat{N}\mathrm{<mo><</mo>}{\widehat{N}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}l\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{1,}\dots ,n_r\right\},$ $\widehat{N}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{k\in r}1/{\pi }_k^{*}},$ ${\widehat{N}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{k\in r}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_k\le y_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}/{\pi }_k^{*}}$ et $n_r\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{k\in s}{I}_k}.$

Ces estimateurs et les IC décrits dans la sous-section suivante sont fondés sur l’hypothèse que les probabilités de réponse ${\varphi }_k$ sont connues, contrairement à ce que l’on a dans Berger (2020) et Kim et Kim (2007). Cependant, nous utilisons ${\widehat{\varphi }}_k$ au lieu de ${\varphi }_k$ dans les études par simulations, où

$${\widehat{\varphi }}_k\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\exp \left(x_k^T\widehat{\beta }\right)}{1+\exp \left(x_k^T\widehat{\beta }\right)}\forall k\in s\mathrm{,}$$

avec $\widehat{\beta }$ qu’on obtient en ajustant une régression logistique au moyen de $s.$ Cela donne des estimateurs connus sous le nom d’estimateurs empiriques par double dilatation (Haziza et Beaumont, 2017).

2.2 Méthodes d’estimation des intervalles de confiance

2.2.1 Linéarisation

La méthode de linéarisation se fonde sur l’hypothèse selon laquelle la distribution de ${\widehat{\theta }}_0$ est approximativement normale. Un IC pour ${\theta }_0$ est

$$\left[{\widehat{\theta }}_0-z_{1-\alpha /2}{\left[V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\widehat{\theta }}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]}^{1/2}\text{}\mathrm{,}{\widehat{\theta }}_0+z_{1-\alpha /2}{\left[V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\widehat{\theta }}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]}^{1/2}\right]\mathrm{,}(2.4)$$

où $1-\alpha$ est le niveau de confiance, aussi appelé couverture nominale; voir Särndal et coll. (1992, expression 5.2.3). En pratique, $V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\widehat{\theta }}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ est estimé. Pour les estimateurs donnés par (2.2) et (2.3), un estimateur de la variance est donné par

$$\widehat{V}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\widehat{\theta }}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\in r}{\displaystyle \sum _{l\in r}\frac{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\pi }_{kl}^{*}-{\pi }_k^{*}{\pi }_l^{*}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\pi }_{kl}^{*}}\frac{{\widehat{z}}_k}{{\pi }_k^{*}}\frac{{\widehat{z}}_l}{{\pi }_l^{*}}}}\mathrm{,}(2.5)$$

où ${\widehat{z}}_k\mathrm{<mo>=</mo>}\left(y_k-\widehat{\overline{Y}}\right)/\widehat{N}$ pour $\widehat{\overline{Y}}$ (Särndal et coll., 1992, résultat 5.7.1) et ${\widehat{z}}_k\mathrm{<mo>=</mo>}-\left(I(y_k\le {\widehat{Y}}_q)-q\right)/\left(f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\widehat{Y}}_q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\widehat{N}\right)$ pour ${\widehat{Y}}_q$ (Deville, 1999). La fonction de densité $f$ a été obtenue de deux façons, a) au moyen d’un noyau gaussien comme dans Osier (2009) et b) au moyen de la technique du plus proche voisin comme dans Graf et Tillé (2014). Nous présentons les résultats relatifs à a), étant donné que la technique en b) a donné des résultats similaires.

Nous remarquons que l’utilisation de (2.5) avec ${\widehat{\varphi }}_k$ au lieu de ${\varphi }_k$ peut entraîner une surestimation de la variance de l’estimateur empirique par double dilatation et des IC plus grands; voir l’expression (17) dans Kim et Kim (2007) associée aux estimateurs de $\overline{Y}.$

2.2.2 Méthode de la vraisemblance empirique

La méthode de la vraisemblance empirique suppose que ${\theta }_0$ est la seule solution de l’équation d’estimation $G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_{k\in U}{g}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>=</mo>}0}$ pour une fonction donnée $g_k.$ En particulier, nous utilisons :

1.     $g_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>=</mo>}{y}_k-\theta$ pour ${\theta }_0\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{Y}.$
2.    $g_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>=</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_k\mathrm{,}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-q$ pour ${\theta }_0\mathrm{<mo>=</mo>}{Y}_q,$ où $\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_k\mathrm{,}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>=</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_k\mathrm{<mo><</mo>}{y}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_k\mathrm{<mo>=</mo>}{y}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta -y_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}/\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-y_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ et $l\mathrm{<mo>=</mo>}\min \left\{j\mathrm{<mo>:</mo>}{y}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>></mo>}\theta \right\}.$

La fonction de log-vraisemblance empirique dans Berger et De La Riva Torres (2016) pour un plan de sondage à un degré sans stratification ni information auxiliaire est

$${\text{ℓ}}_{\max }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{m_k\mathrm{<mo>:</mo>}k\in s}{{\displaystyle \max }}\left\{{\displaystyle \sum _{k\in s}\log \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{m}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mo>:</mo>}{m}_k\mathrm{<mo>></mo>}0}\mathrm{,}{\displaystyle \sum _{k\in s}{m}_k{g}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>=</mo>}0}\mathrm{,}{\displaystyle \sum _{k\in s}{m}_k{\pi }_k\mathrm{<mo>=</mo>}n}\right\}\mathrm{,}(2.6)$$

où $\left\{m_k\mathrm{<mo>:</mo>}k\in s\right\}$ satisfait aux contraintes de plan et de paramètre ${\displaystyle {\sum }_{k\in s}{m}_k{\pi }_k\mathrm{<mo>=</mo>}n}$ et ${\displaystyle {\sum }_{k\in s}{m}_k{g}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>=</mo>}0}.$

En présence de non-réponse, nous utilisons (2.6) en remplaçant ${\displaystyle {\sum }_{k\in s}{m}_k{g}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>=</mo>}0}$ par ${\displaystyle {\sum }_{k\in s}{m}_k{I}_k{g}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}/{\varphi }_k\mathrm{<mo>=</mo>}0.$ Un IC pour ${\theta }_0$ est donné par

$$\left[\min \left\{\theta \mathrm{<mo>:</mo>}\widehat{R}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le {\chi }_1^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right\}\mathrm{,}\max \left\{\theta \mathrm{<mo>:</mo>}\widehat{R}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le {\chi }_1^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right\}\right]\mathrm{,}(2.7)$$

où $\widehat{R}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>=</mo>}2\left\{{\text{ℓ}}_{\max }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\widehat{\theta }}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\text{ℓ}}_{\max }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right\}$ et ${\chi }_1^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ est le $\left(1-\alpha \right)$ -quantile de la distribution ${\chi }_1^2.$ L’estimateur ${\widehat{\theta }}_0\mathrm{<mo>:=</mo>}{\text{argmax}}_{\mathrm{<mo>\{</mo>}\theta \mathrm{<mo>\}</mo>}}{\text{ℓ}}_{\max }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ correspond respectivement à (2.2) et (2.3).

Nous avons calculé (2.7) au moyen d’une méthode de recherche de racine, en calculant $\widehat{R}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ pour plusieurs valeurs de $\theta ,$ où l’on obtient ${\text{ℓ}}_{\max }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ pour une valeur donnée $\theta$ par un algorithme de Newton-Raphson modifié comme dans Wu (2004).

2.2.3 Méthode de Woodruff pour les quantiles

La méthode de Woodruff (1952) est fondée sur la fonction de répartition estimée $\widehat{F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Pour un quantile $Y_q,$ la variance de $\widehat{F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Y}_q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ peut être calculée approximativement au moyen de la méthode de linéarisation en séries de Taylor avec une variable linéarisée $z_k\mathrm{<mo>=</mo>}\left(I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_k\le Y_q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-q\right)/N,$ tandis que la variance est estimée au moyen de (2.5) avec ${\widehat{z}}_k\mathrm{<mo>=</mo>}\left(I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_k\le {\widehat{Y}}_q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-q\right)/\widehat{N}.$ Si l’on suppose la normalité de $\widehat{F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Y}_q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ et que l’on utilise (2.4), il est possible de trouver un IC $\left[c_1\mathrm{,}{c}_2\right]$ pour $F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Y}_q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>},$ ce qui donne $\left[{\widehat{F}}^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\widehat{F}}^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]$ pour $Y_q.$

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