Estimation des faux négatifs attribuables à la création des pochettes dans le couplage d’enregistrements
Section 4. Modèle de mélange fini

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Le couplage de deux sources est intéressant s’il s’agit d’une possibilité viable, même lorsque $N$ est très grand. Pour traduire l’essentiel dans de telles situations, nous posons les deux conditions suivantes en matière de régularité :

1. deux enregistrements appariés sont voisins avec une probabilité bornée loin de 0, quel que soit $N;$
2. deux enregistrements non appariés sont des voisins accidentels avec une probabilité de $O(1/N).$

Ces hypothèses impliquent que chaque enregistrement a un nombre espéré de voisins qui est borné et que $O(N)$ paires (plutôt que $O(mN)$ paires et même $O(N^2)$ paires si $m=O(N)$ ) sont sélectionnées par les critères de pochettes. Une autre implication est que les variables de couplage donnent assez d’information pour permettre de reconnaître les enregistrements appariés avec une probabilité de succès qui est bornée loin de zéro indépendamment de la taille de la population. Une dernière implication avec ces hypothèses est l’existence d’une distribution asymptotique particulière pour le nombre de voisins $n_i.$ Soit $n_i=n_{i|M}+n_{i|U},$ où $n_{i|M}$ est le nombre de voisins appariés et $n_{i|U}$ le nombre de voisins non appariés. À noter que ces dernières variables ne sont pas directement observées sauf si $n_i=0$ ou $n_i=N$ (voir le tableau 3.1). Elles sont conditionnellement indépendantes étant donné $v_i$ de sorte que $n_{i|M}|v_i~\text{Bernoulli}\text{(}p\text{(}{v}_i\text{)),}$ $n_{i|U}|v_i~\text{Binomial}\text{(}N-1,\lambda (v_i)/(N-1)\text{),}$ si un enregistrement non apparié est un voisin avec la probabilité $\lambda (v_i)/(N-1)$ indépendamment des autres enregistrements non appariés. Là où les fonctions $p(.)$ et $\lambda (.)$ ne dépendent pas de $N$ et où $N$ est élevé, nous avons $n_{i|U}|v_i\dot{ ~ }\text{Poisson}\text{(}\lambda \text{(}{v}_i\text{))}$ (Billingsley, 1995), où $\dot{ ~ }$ signifie « approximativement distributé comme ». Dans ce cas, $n_i|v_i\dot{ ~ }\text{Bernoulli}\text{(}p\text{(}{v}_i\text{))}\text{*}\text{Poisson}(\lambda (v_i)),$ où $*$ est l’opérateur de convolution. À noter qu’en général, les fonctions $p(.)$ et $\lambda (.)$ sont des paramètres inconnus de haute dimension. Pour simplifier, posons également que $(p(.),\lambda (.))$ est représenté (bien approché) par une fonction constante par morceaux avec $G$ niveaux, ce qui nous donne le modèle demélange fini $n_i~{\displaystyle {\sum }_{g=1}^G{\alpha }_g}(\text{Bernoulli}(p_g)*\text{Poisson}({\lambda }_g))$ qui se vérifie approximativement. Avec $G$ fixe, les paramètres inconnus du modèle sont donnés par le vecteur $\psi ={\left[({\alpha }_g,p_g,{\lambda }_g)\right]}_{1\le g\le G}$ qui peut être estimé par la procédure d’espérance-maximisation (EM) à la prochaine section.

Le lien entre les taux d’erreur et les paramètres du modèle s’établit si on note d’abord que les définitions du TFN et du TFP impliquent ce qui suit :

$$\begin{array}{ll}\text{TFN}\hfill & =\frac{1}{m}{\displaystyle \sum _{i=1}^m(1-n_{i|M})},\hfill \\ (N-1)\text{TFP}\hfill & =\frac{1}{m}{\displaystyle \sum _{i=1}^m{n}_{i|U}}.\hfill \end{array}(4.1)$$

Si $m=N$ presque sûrement, les équations qui précèdent impliquent que

$$\begin{array}{ll}E[\text{TFN}]\hfill & =1-E[n_{i|M}],\hfill \\ \hfill & =1-E[p(v_i)],\hfill \\ (N-1)E[\text{TFP]}\hfill & =E[n_{i|U}]\hfill \\ \hfill & =E[\lambda (v_i)],\hfill \end{array}(4.2)$$

où $E[p(v_i)]={\displaystyle {\sum }_{g=1}^G{\alpha }_g{p}_g}$ et $E[\lambda (v_i)]={\displaystyle {\sum }_{g=1}^G{\alpha }_g{\lambda }_g}$ avec le modèle de mélange fini. Si $m$ est aléatoire de sorte que

$$\begin{array}{ccc}\frac{1}{m}{\displaystyle \sum _{i=1}^m{n}_{i|M}}& \stackrel{p}{\to }& E[n_{i|M}],\\ \frac{1}{m}{\displaystyle \sum _{i=1}^m{n}_{i|U}}& \stackrel{p}{\to }& E[n_{i|U}],\end{array}(4.3)$$

et si $N\to \infty ,$ les taux d’erreur et les paramètres du modèle sont liés de la manière suivante :

$$\begin{array}{rrr}\hfill \text{TFN}& \hfill \stackrel{p}{\to }& \hfill 1-E[p(v_i)],\\ \hfill (N-1)\text{TFP}& \hfill \stackrel{p}{\to }& \hfill E[\lambda (v_i)].\end{array}(4.4)$$

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