Poids de calage « optimaux » dans les cas de non-réponse des unités lors de l’échantillonnage d’enquête
Section 2. Estimation par calage

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2.1  Estimateurs par calage dans les cas de réponse complète

En commençant par les cas de réponse complète $\left(r\mathrm{<mo>=</mo>}s\right)$ et en suivant la procédure établie par Deville et Särndal (1992), l’estimateur par calage est défini comme

$${\widehat{t}}_{y\text{cal}}={\displaystyle \sum _s}{w}_{ks}{y}_k,$$

où les poids dépendants de l’échantillon $w_{ks}$ sont choisis pour que

$${\displaystyle \sum _s}{w}_{ks}{x}_k=t_x\mathrm{,}(\text{l’équation du calage})(2.1)$$

tout en réduisant la mesure de la distance quadratique

$${\left(w_s-w_{0s}\right)}^{\prime }R\left(w_s-w_{0s}\right)\mathrm{,}$$

où $w_s\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(w_{ks}\right)}_{k\in s}\text{},$ $w_{0s}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(1/{\pi }_k\right)}_{k\in s}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(d_k\right)}_{k\in s}$ et $R$ sont des diagonales. (D’autres mesures de la distance sont envisagées dans Deville et Särndal (1992) et Haziza et Lesage (2016).)

En d’autres termes, étant donné la contrainte (2.1), $w_{ks}$ devrait être « le plus près possible » des poids déterminés par le plan d’échantillonnage $d_k,$ ce qui est souhaitable puisque ${\displaystyle {\sum }_s}{d}_k{y}_k$ est un estimateur sans biais de $t_y.$

Les poids qui en découlent sont

$$w_s=w_{0s}+R^{-1}{x}^{\prime }{\left(X{R}^{-1}{X}^{\prime }\right)}^{-1}\left(t_x-{\widehat{t}}_x\right).$$

Il s’ensuit que l’estimateur GREG homoscédastique assisté par modèle ${\widehat{t}}_{yr}$ (Särndal, Swensson et Wretman (1992)) est un estimateur par calage pour lequel

$$R\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(w_{0s}{I}_{n_s}\right)}^{-1}\mathrm{,}$$

où $I_{n_s}$ est la matrice diagonale unitaire de taille $n_s.$

Un autre estimateur par calage est l’estimateur de régression optimal ${\widehat{t}}_{y\text{opt}}$ (voir, par exemple, Rao (1994) et Montanari (1998)), selon lequel

$$R={\left(\frac{{\pi }_{kl}-{\pi }_k{\pi }_l}{{\pi }_{kl}{\pi }_k{\pi }_l}\right)}_{k\mathrm{,}l\in s}^{-1}\mathrm{,}$$

comme le montrent Andersson et Thorburn (2005).

D’une façon asymptotique, cet estimateur a une variance minimale (dans le sens qu’il est fondé sur le plan) parmi les estimateurs de régression linéaire.

2.2  Estimateurs par calage dans les cas de non-réponse

Dans les cas de non-réponse, un estimateur par calage possible est

$${\displaystyle \sum _r}{w}_{kr}{y}_k\mathrm{,}$$

où on devrait supposer que

$${\displaystyle \sum _r}{w}_{kr}{x}_k\mathrm{<mo>=</mo>}X\mathrm{,}(2.2)$$

où $X\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_U}{x}_k^{*},$ si les renseignements auxiliaires sont connus jusqu’au niveau de la population. Autrement, $X\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_s}{d}_k{x}_k^o,$ l’estimateur sans biais de $t_x.$ (Nous pouvons également combiner les deux types de renseignements dans la contrainte $X.)$

Dans de nombreux cas, des poids qui remplissent l’exigence (2.2) sont présentés, par exemple, par Särndal et Lundström (2005). À l’aide de l’approche directe, où tous les renseignements sont utilisés dans un seul calage, nous obtenons

$$w_{kr}=d_k\left(1+x_k^{\prime }{\left({\displaystyle \sum _r}{d}_k{x}_k{x}_k^{\prime }\right)}^{-1}\left(X-{\displaystyle \sum _r}{d}_k{x}_k\right)\right).(2.3)$$

L’estimateur ainsi obtenu sera dorénavant désigné comme ${\widehat{t}}_{y\text{cal}}.$ (D’autres approches, notamment les procédures en deux étapes, sont présentées et examinées, par exemple, par Andersson et Särndal (2016).)

Il faut se poser une question évidente : quelle mesure sous-jacente de la distance génère ces poids ? Särndal et Lundström (2005) ne font pas de commentaires sur cette question précise mais, selon Lundström et Särndal (1999), nous devrions choisir $«w_k$ “le plus près possible” de $d_k»,$ ce qui ne semble pas être tout à fait approprié dans les cas de non-réponse. Si nous retournons à Lundström (1997), nous pouvons constater que la mesure correspondante de la distance est effectivement

$${\left(w_r-w_{0r}\right)}^{\prime }{\left(w_{0r}{I}_{n_r}\right)}^{-1}\left(w_r-w_{0r}\right)\mathrm{,}$$

où $w_r\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(w_{kr}\right)}_{k\in r}$ et $w_{0r}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(d_k\right)}_{k\in r}\text{}.$

Si un mécanisme aléatoire génère l’ensemble des réponses $r$ de l’échantillon $s$ avec des probabilités ${\theta }_k$ d’inclusion, nous pouvons envisager les cas de non-réponse comme un plan de sondage à deux phases et c’est exactement l’hypothèse que nous ferons ci-après. Ensuite, nous devrions réduire la distance entre $w_{kr}$ et $d_k\cdot \left(1/{\theta }_k\right).$ Grâce à la modélisation, ${\theta }_k$ peut être estimé à l’aide de ${\widehat{\theta }}_k,$ afin d’être utilisé dans la minimisation de la distance. Toutefois, dans le présent document, nous n’irons pas dans la direction de l’inférence basée sur un modèle. Pour réduire l’effet du biais dans les cas de non-réponse, dans la mesure de la distance, nous pourrions plutôt penser à comparer $w_{kr}$ non pas avec $d_k,$ mais bien avec $d_{k\mathrm{,}\text{alt}}\mathrm{<mo>=</mo>}{d}_k\cdot c,$ où $c$ est une constante supérieure à 1, afin de compenser l’effet « moyen » de la non-réponse.

Or, Lundström (1997) montre que, dans bien des cas importants, notamment quand on peut trouver un vecteur $\mu$ pour lequel ${\mu }^{\prime }{x}_k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1},$ pour tous les $k,$ l’augmentation multiplicative de $d_{k\mathrm{,}\text{alt}}$ implique les mêmes poids de calage $w_{kr}$ ainsi obtenus. C’est ce qu’on obtient si ${\mu }^{\prime }{x}_k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1},$ pour tous les $k\in U,$ nous pouvons simplifier l’expression (2.3) de $w_{kr}$ comme ceci

$$w_{kr}\mathrm{<mo>=</mo>}{d}_k{x}_k^{\prime }{\left({\displaystyle \sum _r}{d}_k{x}_k{x}_k^{\prime }\right)}^{-1}X.$$

Par conséquent, nous avons une propriété d’invariance pour les poids. Ce résultat demeure valide quand la population est fractionnée en groupes et les poids initiaux sont gonflés à l’aide d’une constante dans chaque groupe. Il faut souligner que, si nous incluons une constante, par exemple, « 1 », comme première composante du vecteur auxiliaire $x_k,$ nous pouvons simplement supposer que ${\mu }^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\mathrm{1,}\mathrm{0,}\dots \mathrm{,}0\right)$ pour obtenir ${\mu }^{\prime }{x}_k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1.}$

Dans ce contexte, nous proposons d’utiliser d’autres poids « optimaux » découlant de la mesure de la distance

$${\left(w_r-w_{0r}\right)}^{\prime }{\left(\frac{{\pi }_{kl}-{\pi }_k{\pi }_l}{{\pi }_{kl}{\pi }_k{\pi }_l}\right)}_{k\mathrm{,}l\in r}^{-1}\left(w_r-w_{0r}\right)\mathrm{,}$$

ce qui donne ${\widehat{t}}_{y\text{opt}}.$ $({\pi }_{kl}$ désigne la probabilité d’inclusion de la paire $(k\mathrm{,}l).)$

Il faut observer que, comme dans les cas de réponse complète, il arrive parfois que les poids « optimaux » sont identiques à (2.3), par exemple, sous échantillonnage aléatoire simple.

L’emploi de guillemets autour du mot optimal est délibéré mais, dans le contexte de la réponse complète, le mot optimal a un sens très clair. Tel que susmentionné, l’estimateur de régression optimal a une variance minimale asymptotique parmi les estimateurs de régression linéaire. En raison de l’ajout de la non-réponse là où le mécanisme de non-réponse est au moins partiellement inconnu, il est plus difficile de bien définir les critères d’optimalité.

Pour cette mesure « optimale », il pourrait être utile de remplacer $d_k$ par $d_{k\mathrm{,}\text{alt}},$ où nous incluons dans $d_{k\mathrm{,}\text{alt}}$ la réciproque d’une estimation de la probabilité de réponse moyenne ${\overline{\theta }}_U\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_U}{\theta }_k/N.$ Voici un candidat simple :

$${\widehat{\overline{\theta }}}_U\mathrm{<mo>=</mo>}{n}_r/n_s,$$

ce qui donne $d_{k\mathrm{,}\text{alt}}\mathrm{<mo>=</mo>}{d}_k\cdot \left(n_s/n_r\right).$ Voici un autre choix naturel :

$${\widehat{\overline{\theta }}}_U\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _r}{d}_k/{\displaystyle \sum _s}{d}_k,(2.4)$$

puisque $E\left({\displaystyle {\sum }_s}{d}_k\right)\mathrm{<mo>=</mo>}N$ et $E\left({\displaystyle {\sum }_r}{d}_k\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_U}{\theta }_k\mathrm{<mo>=</mo>}N\overline{\theta },$ ce qui donne $E\left({\displaystyle {\sum }_r}{d}_k/{\displaystyle {\sum }_s}{d}_k\right)\approx {\overline{\theta }}_U.$ L’estimateur modifié ainsi obtenu est désigné par ${\widehat{t}}_{y\text{optm}}.$ (il faut aussi observer que $E\left(n_r/n_s\right)\approx {\displaystyle {\sum }_U}\left({\theta }_k/d_k\right)/{\displaystyle {\sum }_U}\left(1/d_k\right).$

Dans l’étude en simulation suivante, nous nous concentrons sur un plan d’échantillonnage où, en général, ${\widehat{t}}_{y\text{cal}}\ne {\widehat{t}}_{y\text{opt}},$ notamment l’échantillonnage de Poisson. L’indépendance des dessins simplifie la mesure de la distance « optimale » :

$${\displaystyle \sum _r}\frac{{\pi }_k^2}{1-{\pi }_k}{\left(w_{kr}-d_k\right)}^2\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _r}\frac{{\left(w_{kr}-d_k\right)}^2}{d_k\left(d_k-1\right)}$$

et la minimisation donne

$$w_{kr}\mathrm{<mo>=</mo>}{d}_k\left(1+\left(d_k-1\right)x_k^{\prime }{\left({\displaystyle \sum _r}{d}_k\left(1-d_k\right)x_k{x}_k^{\prime }\right)}^{-1}\left(X-{\displaystyle \sum _r}{d}_k{x}_k\right)\right).$$

Pour l’estimateur « optimal » modifié, $d_k$ est remplacé par $d_{k\text{alt}}\mathrm{<mo>=</mo>}{d}_k\cdot \left({1/\widehat{\overline{\theta }}}_U\right),$ avec ${\widehat{\overline{\theta }}}_U,$ comme dans (2.4).

2.2.1  Biais des estimateurs par calage dans les cas de non-réponse

Nous pouvons représenter ${\widehat{t}}_{y\text{cal}}$ comme suit

$${\widehat{t}}_{y\text{cal}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _r}{d}_k{y}_k+{\widehat{B}}_{U\mathrm{<mo>;</mo>}\theta }\left(X-{\displaystyle \sum _r}{d}_k{x}_k\right)\mathrm{,}(2.5)$$

où ${\widehat{B}}_{U\mathrm{<mo>;</mo>}\theta }\mathrm{<mo>=</mo>}\left({\displaystyle {\sum }_r}{d}_k{x}_k^{\prime }{y}_k\right){\left({\displaystyle {\sum }_r}{d}_k{x}_k{x}_k^{\prime }\right)}^{-1}.$ Afin d’obtenir une équation d’approximation du biais de ${\widehat{t}}_{y\text{cal}}$ et par la suite de ${\widehat{t}}_{y\text{opt}}$ et ${\widehat{t}}_{y\text{optm}},$ nous suivons le calcul présenté dans Särndal et Lundström (2005) et nous constatons d’abord que ${\widehat{t}}_{y\text{cal}}$ peut être réécrit comme suit :

$${\widehat{t}}_{y\text{cal}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _r}{d}_k{y}_k+B_{U\mathrm{<mo>;</mo>}\theta }\left(X-{\displaystyle \sum _r}{d}_k{x}_k\right)+\left({\widehat{B}}_{U\mathrm{<mo>;</mo>}\theta }-B_{U\mathrm{<mo>;</mo>}\theta }\right)\left(X-{\displaystyle \sum _r}{d}_k{x}_k\right)\mathrm{,}$$

où $B_{U\mathrm{<mo>;</mo>}\theta }\mathrm{<mo>=</mo>}\left({\displaystyle {\sum }_U}{\theta }_k{x}_k^{\prime }{y}_k\right){\left({\displaystyle {\sum }_U}{\theta }_k{x}_k{x}_k^{\prime }\right)}^{-1}.$

Si nous supposons que ${\widehat{t}}_{y\text{cal}}-t_y\mathrm{<mo>=</mo>}{A}_1+A_2,$ où $A_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\sum }_r}{d}_k{y}_k-t_y+B_{U\mathrm{<mo>;</mo>}\theta }\left(X-{\displaystyle {\sum }_r}{d}_k{x}_k\right)$ et $A_2\mathrm{<mo>=</mo>}\left({\widehat{B}}_{U\mathrm{<mo>;</mo>}\theta }-B_{U\mathrm{<mo>;</mo>}\theta }\right)\left(X-{\displaystyle {\sum }_r}{d}_k{x}_k\right),$ cela peut par ailleurs démontrer que

$$A_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _r}{d}_k{e}_{\theta k}-{\displaystyle \sum _U}{e}_{\theta k}+B_{U\mathrm{<mo>;</mo>}\theta }^o\left({\displaystyle \sum _s}{d}_k{x}_k^o-{\displaystyle \sum _U}{x}_k^o\right)\mathrm{,}$$

où $e_{\theta k}=y_k-B_{U\mathrm{<mo>;</mo>}\theta }{x}_k$ et $B_{U\mathrm{<mo>;</mo>}\theta }^o\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\displaystyle {\sum }_U}{\theta }_k{x}_k^o{x}_k^o{}^{\prime }\right)}^{-1}{\displaystyle {\sum }_U}{\theta }_k{x}_k^o{y}_k.$

Alors,

$$E\left({\widehat{t}}_{y\text{cal}}\right)-t_y\approx E\left(A_1\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _U}{\theta }_k{e}_{\theta k}-{\displaystyle \sum _U}{e}_{\theta k}\mathrm{<mo>=</mo>}-{\displaystyle \sum _U}\left(1-{\theta }_k\right)e_{\theta k}\mathrm{,}$$

puisque nous pouvons dire que ${\widehat{B}}_{U\mathrm{<mo>;</mo>}\theta }$ est un estimateur convergent de $B_{U\mathrm{<mo>;</mo>}\theta }$ et donc $E\left(A_2\right)\approx 0.$

L’approximation du biais de ${\widehat{t}}_{y\text{cal}}$ porte le nom de quasi-biais :

$$\text{quasi-biais}\left({\widehat{t}}_{y\text{cal}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}-{\displaystyle \sum _U}\left(1-{\theta }_k\right)e_{\theta k}.$$

Le quasi-biais de ${\widehat{t}}_{y\text{cal}}$ est zéro si ${\theta }_k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1},$ pour tous les $k\in U$ et/ou $y_k\mathrm{<mo>=</mo>}{B}_{U\mathrm{<mo>;</mo>}\theta }{x}_k,$ pour tous les $k\in U.$

Alors, si nous considérons ${\widehat{t}}_{y\text{opt}},$ nous supposons que

$${\widehat{t}}_{y\text{opt}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _r}{d}_k{y}_k+\left(X-{\displaystyle \sum _r}{d}_k{x}_k\right){\widehat{C}}_{U\mathrm{<mo>;</mo>}\theta }\mathrm{,}(2.6)$$

où

$${\widehat{C}}_{U\mathrm{<mo>;</mo>}\theta }\mathrm{<mo>=</mo>}\left({\displaystyle \sum _{k\in r}}{\displaystyle \sum _{l\in r}}\frac{{\pi }_{kl}-{\pi }_k{\pi }_l}{{\pi }_{kl}}\frac{x_k^{\prime }}{{\pi }_k}\frac{y_l}{{\pi }_l}\right){\left({\displaystyle \sum _{k\in r}}{\displaystyle \sum _{l\in r}}\frac{{\pi }_{kl}-{\pi }_k{\pi }_l}{{\pi }_{kl}}\frac{x_k}{{\pi }_k}\frac{x_l^{\prime }}{{\pi }_l}\right)}^{-1}.$$

Puisque ${\widehat{t}}_{y\text{opt}}$ peut être représenté comme (2.6), qui prend la même forme que ${\widehat{t}}_{y\text{cal}}$ sous (2.5), nous obtenons encore une fois l’expression du quasi-biais

$$\text{quasi-biais}\left({\widehat{t}}_{y\text{opt}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}-{\displaystyle \sum _U}\left(1-{\theta }_k\right)e_{\theta k}\mathrm{,}(2.7)$$

où $e_{\theta k}\mathrm{<mo>=</mo>}{y}_k-C_{U\mathrm{<mo>;</mo>}\theta }{x}_k$ et ${\theta }_{kl}$ désignent la probabilité de réponse de la paire : $\left(k\mathrm{,}l\right)$

$$C_{U\mathrm{<mo>;</mo>}\theta }\mathrm{<mo>=</mo>}\left({\displaystyle \sum _{k\in U}}{\displaystyle \sum _{l\in U}}{\theta }_{kl}\left({\pi }_{kl}-{\pi }_k{\pi }_l\right)\frac{x_k^{\prime }}{{\pi }_k}\frac{y_l}{{\pi }_l}\right){\left({\displaystyle \sum _{k\in U}}{\displaystyle \sum _{l\in U}}{\theta }_{kl}\left({\pi }_{kl}-{\pi }_k{\pi }_l\right)\frac{x_k}{{\pi }_k}\frac{x_l^{\prime }}{{\pi }_l}\right)}^{-1}.$$

Si nous utilisons la pondération de rechange $d_{k\mathrm{,}\text{alt}}\mathrm{<mo>=</mo>}{d}_k\cdot \left(1/\widehat{\overline{\theta }}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{d}_k\cdot \left({\displaystyle {\sum }_s}{d}_k/{\displaystyle {\sum }_r}{d}_k\right),$ nous obtenons ceci

$$\text{quasi-biais}\left({\widehat{t}}_{y\text{optm}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}E\left({\displaystyle \sum _r}{d}_{k\mathrm{,}\text{alt}}{e}_{\theta k}-{\displaystyle \sum _U}{e}_{\theta k}\right)\approx {\displaystyle \sum _U}\frac{{\theta }_k}{{\overline{\theta }}_U}{e}_{\theta k}-{\displaystyle \sum _U}{e}_{\theta k}\mathrm{<mo>=</mo>}-{\displaystyle \sum _U}\left(1-\frac{{\theta }_k}{{\overline{\theta }}_U}\right)e_{\theta k}\mathrm{,}$$

où ${\displaystyle {\sum }_U}\left(1-\left({\theta }_k/{\overline{\theta }}_U\right)\right)\mathrm{<mo>=</mo>\; 0},$ à comparer avec (2.7), où ${\displaystyle {\sum }_U}\left(1-{\theta }_k\right)\mathrm{<mo>=</mo>}N\left(1-{\overline{\theta }}_U\right).$

À moins que ${\mu }^{\prime }{x}_k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1},$ pour tous les $k\in U,$ nous pouvons obtenir une expression équivalente pour ${\widehat{t}}_{y\text{cal}}$ . Par contre, si la restriction ${\mu }^{\prime }{x}_k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1},$ pour tous les $k\in U,$ demeure valide, nous pouvons démontrer (Särndal et Lundström (2005)) que

$$\text{quasi-biais}\left({\widehat{t}}_{y\text{cal}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}-{\displaystyle \sum _U}{e}_{\theta k}\mathrm{,}$$

ce qui demeure valide, indépendamment du plan d’échantillonnage et qui est un résultat complètement conforme à la propriété d’invariance susmentionnée des poids de calage.

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