Un modèle hiérarchique bayésien bivarié pour estimer les taux de location au comptant de terres cultivées au niveau du comté
Section 4. Résultats pour les terres cultivées non irriguées en Iowa, au Kansas et au Texas

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Le modèle de la section 3 a été ajusté sur les taux de location au comptant de terres cultivées non irriguées déclarés lors des éditions de 2009 et de 2010 de la Cash Rent Survey pour l’Iowa, le Kansas et le Texas. Ces trois États ont été choisis afin de refléter une gamme de situations. Pour l’Iowa, des estimations des rendements en maïs sont disponibles pour tous les comtés, et la location au comptant est un mode relativement fréquent de location de terres cultivées non irriguées. Le Kansas présente une plus grande diversité agricole que l’Iowa. Selon les spécialistes de l’agriculture du NASS, dans de nombreuses régions du Texas, la location en métayage est plus fréquente que la location au comptant, ce qui pourrait expliquer pourquoi les tailles d’échantillon réalisées pour certains comtés texans sont aussi petites que zéro ou un.

4.1  Choix des covariables

Les covariables possibles pour l’Iowa, le Kansas et le Texas sont énumérées à la section 2.2. Pour chaque État, les covariables comprennent quatre variables liées au NCCPI, la valeur totale de la production pour un comté basée sur le Recensement de l’agriculture de 2007, les ventes prévues pour une exploitation enregistrée dans la base de sondage du NASS, le type d’exploitation agricole enregistré dans la base de sondage du NASS, et le nombre d’acres loués pour des terres cultivées non irriguées déclaré lors de la Cash Rent Survey du NASS. Pour l’Iowa, le rendement en maïs au niveau du comté est une covariable supplémentaire. Pour le Kansas, l’indice de rendement des terres cultivées non irriguées est une covariable supplémentaire.

Pour chaque État, les covariables ont été sélectionnées selon la procédure qui suit. D’abord, des modèles univariés ont été ajustés séparément aux données de 2009 et de 2010 en utilisant des estimations du maximum de vraisemblance. Le modèle univarié utilisé pour le choix des covariables est de la forme

$$y_{ijt}=x_{ijt}^{\prime }{\alpha }_t+{\nu }_{it}+{ϵ}_{ijt}\mathrm{,}(4.1)$$

où ${ϵ}_{ijt}\sim \text{N}\left(\mathrm{0,}{\sigma }_{ϵ\text{}\mathrm{,}t}^2\right),$ et ${\nu }_{it}\sim \text{N}\left(\mathrm{0,}{\sigma }_{\nu \text{}\mathrm{,}t}^2\right).$ Les données pour chaque exploitant agricole ayant déclaré un taux de location au comptant de terres cultivées non irriguées durant l’année $t$ ont été utilisées pour ajuster le modèle univarié pour l’année $t,$ que l’unité ait déclaré ou non un taux de location au comptant pour l’année $s\left(s\ne t\right).$ La fonction lmer du package nlme en R est utilisée pour l’estimation du maximum de vraisemblance. Pour chaque année, une sélection pas à pas en utilisant la fonction stepAIC en R est exécutée en utilisant la mesure BIC. Les covariables sélectionnées sont les variables figurant dans les modèles univariés dont le BIC est minimum pour 2009 ainsi que 2010. Nous reconnaissons que le modèle à BIC minimum est un minimum local identifié par la procédure stepAIC plutôt qu’un minimum global. Les covariables sélectionnées pour l’Iowa, le Kansas et le Texas sont les suivantes :

• Iowa : rendement en maïs, ventes prévues, acres non irrigués loués au comptant.
• Kansas : indice de rendement de terres cultivées non irriguées, ventes prévues, type d’exploitation agricole.
• Texas : max-NCCPI, ventes prévues, type d’exploitation agricole.

4.2  Estimations des paramètres de corrélation

L’analyse exploratoire de la section 2.1 porte à croire qu’il existe une corrélation importante entre les taux de location au comptant de terres cultivées non irriguées observés pour 2009 et pour 2010. Le tableau 4.1 résume les lois a posteriori des corrélations dans le modèle HB bivarié défini à la section 3.1. Les colonnes intitulées « Médiane » donnent les médianes a posteriori des corrélations, et les bornes inférieure et supérieure des intervalles de crédibilité à 95 % correspondent aux 2,5^e et 97,5^e centiles des lois a posteriori des corrélations. Même si les variances de $e_{ij09}$ et $e_{ij10}$ sont proportionnelles aux inverses des poids, la corrélation est une constante, parce que les poids s’annulent dans la définition de la corrélation.

Les médianes a posteriori des corrélations au niveau du comté et au niveau de l’unité dépassent 0,74 et 0,57, respectivement. Les bornes inférieures des intervalles de crédibilité à 95 % sont supérieures à 0,61 et 0,54 pour les corrélations au niveau du comté et au niveau de l’unité, respectivement. Pour chaque État, les corrélations au niveau du comté sont plus grandes que les corrélations pour les unités individuelles. Les corrélations importantes semblent indiquer la possibilité d’un gain d’efficacité pour les prédicteurs par rapport au modèle univarié.

4.3  Comparaison des prédicteurs pour 2010 pour les modèles bivarié et univarié

Afin de démontrer le gain d’efficacité dû à l’utilisation du modèle bivarié comparativement à un modèle univarié, nous comparons les erreurs quadratiques moyennes a posteriori des prédicteurs pour le modèle bivarié aux erreurs quadratiques moyennes a posteriori des prédicteurs pour un modèle univarié correspondant. Les hypothèses des modèles univariés sont les mêmes que celles des modèles bivariés, sauf que l’on suppose que les paramètres de covariance dans ${\Sigma }_{ee}$ et ${\Sigma }_{\nu \nu }$ sont nuls. Pour ajuster les modèles univariés, nous utilisons des lois a priori Gamma inverses pour ${\sigma }_{eet}$ et ${\sigma }_{\nu \nu t}$ $\left(t\mathrm{<mo>=</mo>\; 09,<mtext>\hspace{0.17em}</mtext>10}\right).$

Pour comparer les modèles bivarié et univarié, nous définissons l’EQM relative a posteriori (EQMrel) pour le comté $i$ par

$${\text{EQMrel}}_{i\text{}\mathrm{,}10}=\frac{{\text{EQM}}_{i10}^{B\text{réc}\text{.}}}{{\text{EQM}}_{i10}^{\text{UNIréc}\text{.}}}\mathrm{,}(4.2)$$

où ${\text{EQM}}_{i10}^{B\text{réc}\text{.}}$ est défini en (3.16) et ${\text{EQM}}_{i10}^{\text{UNIréc}\text{.}}$ est l’EQM a posteriori basée sur le modèle univarié correspondant. Les EQM relatives moyennes pour l’Iowa, le Kansas et le Texas valent 88,71 %, 97,27 % et 88,65 %, respectivement, où la moyenne des erreurs quadratiques moyennes relatives pour un État est $D^{-1}{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^D}{\text{EQMrel}}_{i\text{}\mathrm{,}10}.$ Notons que les effets de l’estimation de la moyenne des covariables, ainsi que de la réconciliation sont intégrés dans les formules de l’EQM a posteriori tant pour les modèles bivariés qu’univariés. En raison des corrélations importantes entre les erreurs de modélisation pour les deux points dans le temps, l’EQM a posteriori pour un modèle bivarié est plus petite que l’EQM a posteriori pour le modèle univarié correspondant, et les efficacités relatives moyennes sont inférieures à un.

Pour évaluer l’effet de l’estimation de la moyenne de population des covariables sur l’EQM du prédicteur, nous calculons la moyenne des ratios ${\widehat{\text{EQM}}}_{2i}{\widehat{\text{EQM}}}_{1i}^{-1}$ pour $i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1,}\dots \mathrm{,}D,$ où ${\widehat{\text{EQM}}}_{2i}$ et ${\widehat{\text{EQM}}}_{1i}$ sont définies en suivant (3.10). Les ratios sont de 18,21 %, 28,20 % et 21,07 % pour l’Iowa, le Kansas et le Texas, respectivement. Comparativement à l’Iowa et au Texas, la contribution à l’EQM de prédiction due à l’utilisation de la moyenne des covariables dans l’échantillon plutôt que de la moyenne des covariables dans la population est plus importante au Kansas, ce qui est logique puisque le Kansas présente une plus grande diversité agricole. L’EQM relative moyenne plutôt grande pour le Kansas (97,27 %) traduit l’accroissement relativement important de l’EQM a posteriori due à l’estimation de la moyenne des covariables.

4.4  Évaluation du modèle

Afin d’évaluer l’adéquation du modèle, nous utilisons la valeur $\text{p}$ prédictive a posteriori, qui mesure les écarts entre les données observées et le modèle. La valeur $\text{p}$ prédictive a posteriori compare la loi prédictive a posteriori de certaines statistiques sommaires aux valeurs correspondantes obtenues en utilisant l’échantillon original. Pour l’analyse qui suit, nous utilisons uniquement les éléments observés en 2009 ainsi qu’en 2010 (ensemble 1).

Nous considérons deux statistiques sommaires, à savoir la moyenne pour chaque année et l’asymétrie multivariée. La moyenne pour l’année $t$ est la moyenne des observations dans l’ensemble 1 pour l’année $t,$ et est définie comme étant

$${\overline{y}}_t\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^D}\left|A_i\right|\right)}^{-1}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^D}{\displaystyle \sum _{j\in A_i}}{y}_{ijt}\mathrm{,}$$

où $A_i$ désigne les éléments dans l’ensemble 1 pour le comté $i.$ L’asymétrie multivariée est définie par

$${\widehat{\gamma }}_{\mathrm{1,}p}={\left({\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^D}\left|A_i\right|\right)}^{-1}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^D}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^D}{\displaystyle \sum _{j\in A_i}}{\displaystyle \sum _{l\in A_i}}{m}_{ijkl}^3\mathrm{,}$$

où $m_{ijkl}={\left(y_{ij}-\overline{y}\right)}^{\prime }{S}^{-1}\left(y_{kl}-\overline{y}\right),$ $y_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(y_{ij\text{}\mathrm{,}09}\mathrm{,}{y}_{ij\text{}\mathrm{,}10}\right)}^{\prime }\text{},$ $\overline{y}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\overline{y}}_{09}\mathrm{,}{\overline{y}}_{10}\right)}^{\prime }\text{}$ et $S\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^D}\left|A_i\right|-1\right)}^{-1}{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^D}{\displaystyle {\sum }_{j\in A_i}}\left(y_{ij}-\overline{y}\right){\left(y_{ij}-\overline{y}\right)}^{\prime }.$

La valeur $\text{p}$ prédictive a posteriori est définie comme étant la proportion de la statistique sommaire calculée avec des échantillons générés à partir de la loi prédictive a posteriori qui est en excès de la valeur correspondante fondée sur l’échantillon original. Plus précisément, soit $T\left(y^{\left(r\right)}\right)$ la statistique sommaire basée sur le $r^{\text{e}}$ ensemble de données généré à partir de la loi prédictive a posteriori, où la procédure pour générer les données à partir de la loi prédictive a posteriori est définie à l’annexe C. Soit $T\left(y\right)$ la statistique correspondante fondée sur l’échantillon original. La valeur $\text{p}$ prédictive a posteriori est $R^{-1}{\displaystyle {\sum }_{r\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^R}I\left[T\left(y^{\left(r\right)}\right)\mathrm{<mo>></mo>}T\left(y\right)\right].$ Une valeur $\text{p}$ proche de 0,5 indique un ajustement raisonnable du modèle aux données de l’échantillon.

Le tableau 4.2 donne les valeurs $\text{p}$ prédictives a posteriori pour l’Iowa, le Kansas et le Texas. Pour le Kansas, les valeurs prédictives a posteriori indiquent que l’adéquation entre le modèle et les données est bonne. Pour l’Iowa et le Texas, les valeurs $\text{p}$ prédictives a posteriori indiquent un manque d’adéquation. Une analyse plus approfondie des résidus donne à penser que le manque d’adéquation peut résulter de valeurs aberrantes. Les valeurs $\text{p}$ prédictives a posteriori éloignées de 0,5 peuvent aussi découler du fait que nous utilisons uniquement les observations échantillonnées en 2009 ainsi qu’en 2010 pour calculer les valeurs $\text{p}$ prédictives a posteriori, alors que nous utilisons l’ensemble de données complet pour ajuster le modèle.

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