Estimation de la variance dans le calage à plusieurs phases
Section 5. Conclusion

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Le présent article décrit la construction d’une nouvelle représentation des poids calés en plusieurs phases qui permet de représenter un estimateur calé en plusieurs phases sous la forme d’un estimateur multivarié calé en une phase. Cette représentation rend possible le calcul d’une approximation sous forme explicite de la variance des estimateurs calés en plusieurs phases pour tout nombre de phases. Une comparaison avec une autre approximation connue dans la littérature pour le cas à deux phases montre que, même si les deux approximations sont convergentes, elles diffèrent en ce qui concerne leurs estimations, leur forme et leur interprétation. Nous avons discuté de certains avantages de la nouvelle approximation dans le cas du calage à deux phases et avons aussi montré sa convergence au moyen d’une étude en simulation du calage à trois phases où elle a donné de très bons résultats pour tous les plans étudiés. L’examen de l’efficacité de l’estimateur proposé en fonction des taux d’échantillonnage et d’autres paramètres du plan fera l’objet de futurs travaux de recherche.

Annexe A

Pour abréger la notation, nous effectuerons notre analyse sous forme matricielle. Nous utiliserons la convention selon laquelle, pour $j\mathrm{<mo>></mo>}i,$ la sommation dans les produits scalaires $X_i^{\prime }{w}_j$ et $X_i^{\prime }{D}_j$ (ou avec $w_j^{*}$ ou ${\tilde{w}}_j)$ est faite sur les unités $k\in s_j$ (et non sur $s_i),$ c’est-à-dire sur l’échantillon indiqué par le dernier ensemble de poids dans le produit scalaire. D’où, ${\widehat{Z}}_{ij}={\left(X_i^{\prime }{D}_i^{*}{X}_i\right)}^{-1}{X}_i^{\prime }\left(D_j^{*}-D_{j-1}^{*}\right)X_j$ sous cette notation.

Preuve du lemme 3.1. Les poids qui satisfont l’équation de calage à la $j^{\text{e}}$ phase avec les poids initiaux ${\tilde{w}}_{j-1}$ sont donnés par l’équation (3.4). Sous notre notation matricielle

$${\tilde{w}}_j\mathrm{<mo>=</mo>}{D}_j^{*}\left[g_1+\dots +g_j-\left(j-1\right)\right]$$

où $g_j\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}+X_j{T}_j^{-1}\left(X_j^{\prime }{\tilde{w}}_{j-1}-X_j^{\prime }{D}_j{\tilde{w}}_{j-1}\right)$ (voir l’équation (3.5)). Donc

$$\begin{array}{ll}{\tilde{w}}_j\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{D}_{j-1}^{*}{D}_j\left[g_1+\dots +g_{j-1}-\left(j-2\right)+g_j-1\right]\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{D}_j\left[{\tilde{w}}_{j-1}+D_{j-1}^{*}\left(g_j-1\right)\right]\mathrm{.}(\text{A}\text{.1})\hfill \end{array}$$

L’insertion de $g_j$ donne ${\tilde{w}}_j\mathrm{<mo>=</mo>}{D}_j\left[{\tilde{w}}_{j-1}+D_{j-1}^{*}{X}_j{T}_j^{-1}\left(X_j^{\prime }{\tilde{w}}_{j-1}-X_j^{\prime }{D}_j{\tilde{w}}_{j-1}\right)\right]$ qui fait intervenir le poids ${\tilde{w}}_{j-1}$ provenant de la phase de calage précédente et son produit scalaire avec $X_j^{\prime }$ et $X_j^{\prime }{D}_j\text{},$ tandis que les autres multiplicateurs sont des paramètres du plan. L’expression entre crochets contient trois opérandes et donc, après $j$ phases de calage, nous aurions $3^j$ opérandes qui contiendraient uniquement des paramètres du plan. L’introduction de ${\tilde{w}}_{j-1}$ provenant de (A.1) par substitution dans $X_j^{\prime }{D}_j{\tilde{w}}_{j-1}$ donne

$$\begin{array}{ll}{X}_j^{\prime }{D}_j{\tilde{w}}_{j-1}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{X}_j^{\prime }{D}_j\left\{D_{j-1}{\tilde{w}}_{j-2}+D_{j-1}^{*}\left(g_{j-1}-1\right)\right\}\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{X}_j^{\prime }{D}_j{D}_{j-1}{\tilde{w}}_{j-2}+X_j^{\prime }{D}_j{D}_{j-1}^{*}{X}_{j-1}{T}_{j-1}^{-1}\left(X_{j-1}^{\prime }{\tilde{w}}_{j-2}-X_{j-1}^{\prime }{D}_{j-1}{\tilde{w}}_{j-2}\right)(\text{A}\text{.2})\hfill \end{array}$$

et donc aussi

$$X_j^{{}^{\prime }}{\tilde{w}}_{j-1}\mathrm{<mo>=</mo>}{X}_j^{\prime }{D}_{j-1}{\tilde{w}}_{j-2}+X_j^{\prime }{D}_{j-1}^{*}{X}_{j-1}{T}_{j-1}^{-1}\left(X_{j-1}^{\prime }{\tilde{w}}_{j-2}-X_{j-1}^{\prime }{D}_{j-1}{\tilde{w}}_{j-2}\right)\mathrm{.}(\text{A}\text{.3})$$

La combinaison des termes donne une expression pour ${\tilde{w}}_j$ qui fait intervenir les poids calés provenant de la phase $j-2$ uniquement

$$\begin{array}{ll}{\tilde{w}}_j\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{D}_j{D}_{j-1}{\tilde{w}}_{j-2}\hfill \\ \hfill & +D_j^{*}{X}_{j-1}{T}_{j-1}^{-1}\left(X_{j-1}^{\prime }{\tilde{w}}_{j-2}-X_{j-1}^{\prime }{D}_{j-1}{\tilde{w}}_{j-2}\right)\hfill \\ \hfill & +D_j^{*}{X}_j{T}_j^{-1}\left(X_j^{\prime }{D}_{j-1}{\tilde{w}}_{j-2}-X_j^{\prime }{D}_j{D}_{j-1}{\tilde{w}}_{j-2}\right)\hfill \\ \hfill & -D_j^{*}{X}_j{T}_j^{-1}{\widehat{Z}}_{j-1,j}^{\prime }\left(X_{j-1}^{\prime }{\tilde{w}}_{j-2}-X_{j-1}^{\prime }{D}_{j-1}{\tilde{w}}_{j-2}\right)\mathrm{.}(\text{A}\text{.4})\hfill \end{array}$$

L’insertion de (A.2) et (A.3) avec $j\mathrm{<mo>=</mo>}p$ dans (A.1) et la récurrence $p-1$ fois sur les groupes de calage respectifs produisent le résultat souhaité.

Annexe B

Un estimateur convergent du total de population dans le calage à trois phases peut être représenté par ${\widehat{w}}_3^{ \prime }y\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{Y}}_{{\text{HT}}_3}+{\displaystyle {\sum }_{i\mathrm{<mo>=</mo>\; 1}}^3}{\left({\widehat{t}}_1^{-}-{\widehat{t}}_1^{+}\right)}^{\prime }{\widehat{\gamma }}_i\text{},$ où

$$\begin{array}{ll}{\widehat{\gamma }}_1\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{\beta }}_1-{\widehat{Z}}_{12}{\widehat{\beta }}_2-{\widehat{Z}}_{13}{\widehat{\beta }}_3+{\widehat{Z}}_{12}{\widehat{Z}}_{23}{\widehat{\beta }}_3\hfill \\ {\widehat{\gamma }}_2\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{\beta }}_2-{\widehat{Z}}_{23}{\widehat{\beta }}_3\hfill \\ {\widehat{\gamma }}_3\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{\beta }}_3\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

Un estimateur convergent de la variance est donné par

$$\begin{array}{ll}{\widehat{V}}_P\left({\tilde{w}}_3^{ \prime }y\right)\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\text{}\mathrm{,}l\in s_1}}\left(w_{1k}^{*}{w}_{1l}^{*}-w_{1kl}^{*}\right){\widehat{e}}_{1k}{\widehat{e}}_{1l}+\dots +{\displaystyle \sum _{k\text{}\mathrm{,}l\in s_3}}\left(w_{3k}^{*}{w}_{3l}^{*}-w_{3kl}^{*}\right){\widehat{e}}_{3k}{\widehat{e}}_{3l}\hfill \\ \hfill & +2{\displaystyle \sum _{k\in s_1\text{}\mathrm{,}l\in s_2}}{w}_{2l}\left(w_{1k}{w}_{1l}-w_{1kl}\right){\widehat{e}}_{1k}{\widehat{e}}_{2l}+2{\displaystyle \sum _{k\in s_2\text{}\mathrm{,}l\in s_3}}{w}_{3l}\left(w_{2k}^{*}{w}_{2l}^{*}-w_{2kl}^{*}\right){\widehat{e}}_{2k}{\widehat{e}}_{3l}\hfill \\ \hfill & +2{\displaystyle \sum _{k\in s_1\text{}\mathrm{,}l\in s_3}}{w}_{2l}{w}_{3l}\left(w_{3k}^{*}{w}_{3l}^{*}-w_{3kl}^{*}\right){\widehat{e}}_{1k}{\widehat{e}}_{3l}\text{}\mathrm{.}\hfill \end{array}$$

où ${\widehat{e}}_{1k}\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_{1k}^{\prime }{\widehat{\gamma }}_1-x_{2k}^{\prime }{\widehat{\gamma }}_2\text{},$ ${\widehat{e}}_{2k}\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_{2k}^{\prime }{\widehat{\gamma }}_2-x_{3k}^{\prime }{\widehat{\gamma }}_3$ et ${\widehat{e}}_{3k}\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_{3k}^{\prime }{\widehat{\gamma }}_3-y_k$ sont définis au théorème 3.1.

Bibliographie

Binder, D.A. (1996). Méthodes de linéarisation pour les échantillons à une et deux phases : Une approche de type « recette ». Techniques d’enquête, 22, 1, 17‑22. Article accessible à l’adresse http://www.statcan.gc.ca/pub/12-001-x/1996001/article/14389-fra.pdf.

Binder, D.A., Babyak, C., Brodeur, M., Hidiroglou, M. et Jocelyn, W. (2000). Variance estimation for two-phase stratified sampling. The Canadian Journal of Statistics, 28, 751-764.

Breidt, J., et Fuller, W.A. (1993). Regression weighting for multiphase samples. Sankhyā, 55, 297-309.

Cochran, W.G. (1977). Sampling Techniques, 3^rd Edition. New-York: John Wiley & Sons, Inc.

Deville, J.-C., et Särndal, C.-E. (1992). Calibration estimators in survey sampling. Journal of the American Statistical Association, 87, 418, 376-382.

Farell, P.J., et Singh, S. (2002). Penalized chi-square distance function in survey sampling. Proceedings of Joint Statistical Meeting, NY, Étas-Unis.

Fuller, W.A. (1998). Replication variance estimation for two-phase samples. Statistica Sinica, 8, 1153-1164.

Hidiroglou, M.A., et Särndal, C.-E. (1998). Emploi des données auxiliaires dans l’échantillonnage à deux phases. Techniques d’enquête, 24, 1, 11-20. Article accessible à l’adresse http://www.statcan.gc.ca/pub/12-001-x/1998001/article/3905-fra.pdf.

Kim, J.K., Navarro, A. et Fuller, W.A. (2006). Replicate variance estimation after multi-phase stratified sampling. Journal of American Statistical Association, 101, 312-320.

Kott, P.S., et Stukel, D.M. (1997). La méthode du jackknife convient-elle à un échantillon à deux phases ? Techniques d’enquête, 23, 2, 89-98. Article accessible à l’adresse http://www.statcan.gc.ca/pub/12-001-x/1997002/article/3621-fra.pdf.

Rao, J.N.K. (1973). On double sampling for stratification and analytic surveys. Biometrika, 6, 125-133.

Rao, J.N.K., et Shao, J. (1992). Jackknife variance estimation with survey data under hot deck imputation. Biometrika, 79, 811-822.

Särndal, C.-E., Swensson, B. et Wretman, J. (1992). Model Assisted Survey Sampling. New-York: Springer-Verlag.

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