Estimation de la variance dans le calage à plusieurs phases
Section 1. Introduction
La statistique des sondages fait appel à l’information auxiliaire disponible sur les totaux de population connus pour améliorer les estimations. Un estimateur par calage utilise des poids calés qui, selon une mesure de distance donnée, sont aussi proches que possible des poids de sondage initiaux, tout en satisfaisant un ensemble de contraintes induites par l’information auxiliaire. Des plans d’échantillonnage arbitraires sont permis à toutes les phases de l’échantillonnage, et l’information auxiliaire peut être utilisée à toute phase et est intégrée dans le processus d’estimation.
L’échantillonnage à plusieurs phases assorti du calage sur des données auxiliaires connues est une technique puissante et rentable. Le processus de calage a été étudié abondamment et, parmi les plans à plusieurs phases, le cas particulier de l’échantillonnage à deux phases est une exception qui a fait l’objet de recherches minutieuses. Rao (1973) et Cochran (1977, chapitre 12) ont donné les résultats fondamentaux pour la stratification et la non-réponse sous échantillonnage à deux phases. Un cadre détaillé de l’approche de pondération linéaire sous échantillonnage à deux phases est présenté dans Särndal, Swensson et Wretman (1992, chapitre 9). D’autres procédures d’estimation ont été étudiées pour des plans d’échantillonnage importants, dont le cas où l’échantillon de deuxième phase a été restratifié en utilisant l’information recueillie auprès de l’échantillon de première phase (Binder, Babyak, Brodeur, Hidiroglou et Jocelyn 2000). L’estimation de la variance a été le sujet principal de travaux de recherche dynamiques faisant appel à différentes approches, telles la méthode de linéarisation présentée dans Binder (1996), l’utilisation du jackknife (Kott et Stukel 1997) ou d’autres procédures de rééchantillonnage (Rao et Shao 1992; Fuller 1998; Kim, Navarro et Fuller 2006). Davantage en rapport avec nos travaux, Breidt et Fuller (1993) ont donné des procédures d’estimation efficaces pour l’échantillonnage à trois phases en présence d’information auxiliaire, et Hidiroglou et Särndal (1998) ont étudié l’utilisation d’information auxiliaire pour l’échantillonnage à deux phases tout en permettant une légère modification de la fonction de distance qui aboutit à des facteurs de calage additifs (également appelés facteurs plutôt que multiplicatifs. Une caractéristique commune de ces résultats est la représentation des poids calés de dernière phase au moyen des poids calés des phases antérieures. Il s’agit d’un inconvénient important, car cela requiert le calcul des poids de toutes les phases antérieures pour obtenir ceux des dernières phases, ce qui rend difficile la présentation d’une méthodologie bien établie montrant comment estimer la variance des estimateurs calés sous des plans comptant plus de deux phases.
Afin de résoudre ce problème, nous utilisons la modification de la fonction de distance des moindres carrés généralisée (MCG), introduite par Hidiroglou et Särndal (1998), pour obtenir une représentation du vecteur des poids calés en plusieurs phases qui ne contient que des poids exprimés au moyen des poids de sondage initiaux et n’inclut pas les facteurs Partant de cette représentation, nous pouvons construire des estimateurs calés en plusieurs phases possédant la forme d’estimateurs par la régression multivariée, ce qui à son tour permet d’établir une formule générale pour un estimateur convergent de la variance des estimateurs calés en plusieurs phases qui est vérifiée pour tout nombre de phases de calage. Dans le cas relativement simple du calage à deux phases, pour lequel une autre formule d’un estimateur de variance existe dans la littérature, une comparaison montre que les deux estimateurs diffèrent fondamentalement en forme et en interprétation. Il importe de souligner que, dans ce cas particulier, le nouvel estimateur de variance proposé n’apparaît pas supérieur (ni inférieur) en ce qui concerne le biais ou la variance, mais qu’il manifeste certaines autres caractéristiques favorables qui seront discutées à la section 3.2. Cependant, l’objectif principal de l’article n’est pas de prouver la supériorité dans le cas à deux phases, mais de présenter l’approche de rechange sous laquelle la nouvelle représentation des poids calés peut produire une formule explicite pour un estimateur de la variance des estimateurs calés en plusieurs phases qui est vérifiée pour tout nombre de phases.
La présentation de l’article est la suivante. À la section 2, nous donnons la notation, qui est très semblable à celle utilisée par Hidiroglou et Särndal (1998). À la section 3, nous exposons la méthodologie et présentons plus en détail, à la sous-section 3.2, les cas particuliers du calage à deux et à trois phases. À la section 4, nous présentons une étude en simulation pour illustrer certaines caractéristiques de la nouvelle approche. Enfin, nos conclusions sont présentées à la section 5 avec des propositions de domaines à explorer dans des études ultérieures.
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