La modélisation espace-état appliquée aux séries chronologiques de l’Enquête sur la population active des Pays-Bas : sélection de modèles et estimation de l’erreur quadratique moyenne
Section 4. L’EPA et son cadre précis de simulation

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Nous allons examiner le rendement des cinq méthodes d’estimation EQM par rapport à des séries de la longueur initiale de cette enquête (114 points mensuels de 2001(1) à 2010(6)) et à des séries soit plus courtes de 48 et 80 mois soit plus longues de 200 mois. Pour chacune de ces durées, nous montons une expérience de Monte-Carlo où des séries multiples (1 000) font l’objet d’une simulation en fonction du modèle EPA du nombre de chômeurs. Nous estimons les EQM de chacune de ces séries en prenant $B\mathrm{<mo>=</mo>\; 300}$ séries bootstrap. Dans le cas de l’approximation asymptotique toutefois, il nous a fallu prévoir au moins $B\mathrm{<mo>=</mo>\; 500}$ itérations. Nous avons jugé que ce nombre était suffisant pour qu’il y ait convergence des EQM approchées. Nous comparons les EQM issues des cinq méthodes et mises en moyenne sur 1 000 simulations aux moyennes EQM produites par un filtre de Kalman « naïf ». Dans ce cas, au moins 10 000 simulations sont nécessaires pour que les estimations EQM convergent sur une certaine moyenne.

Voici comment nous obtenons paramétriquement les séries artificielles $Y_t^s$ mentionnées pour des simulations $s=1,\dots ,\text{1}\text{000}$ (ou 10 000) : d’abord, nous établissons les estimations ${\widehat{\theta }}_{\sigma }$ de maximum de vraisemblance des hyperparamètres par ajustement du modèle SCS aux séries initiales; ensuite, nous tirons aléatoirement des perturbations d’état (on se rappellera que les erreurs d’enquête sont aussi modélisées comme variables d’état) de leur codistribution normale $N\left(0,\Omega \left({\widehat{\theta }}_{\sigma }\right)\right),$ et produisons les séries par récursion de filtre de Kalman. Comme le système est non stationnaire, les séries produites $Y_t^s$ peuvent donner des nombres de chômeurs négatifs ou excessivement élevés. Pour éviter tout nombre démesuré de séries aux valeurs négatives, nous appliquons la récursion des variables d’état à partir des estimations lissées des états à un des points les plus hauts des séries observées. De plus, nous écartons les 30 premiers points temporels pour empêcher que les séries ne commencent au même point temporel. Dans l’hypothèse que le chômage aux Pays-Bas ne sera pas de plus de 15 % de toute la population active, nous limitons l’ensemble de données en simulation aux séries dont les valeurs vont de zéro à 1 million de chômeurs (il s’agit d’environ 15 % de la population active des Pays-Bas en 2010), les autres séries étant éliminées. Si nous gardons nos séries artificielles sous la borne supérieure, c’est aussi pour ne pas extrapoler en dehors de la plage initiale des données dans la simulation des erreurs-types $z_t^j$ fondées sur le plan.

Toute série d’estimations ponctuelles ERG en simulation exige sa propre série d’estimations des erreurs-types fondées sur le plan en simulation $z_t^j\text{.}$ Les estimations initiales connues des erreurs-types fondées sur le plan $\sqrt{\widehat{\text{Var}}\left(Y_t^j\right)}$ ne conviendraient pas à cette simulation, parce que la variance de l’erreur d’échantillonnage est proportionnelle à l’estimation ponctuelle correspondante. La fonction de variance suivante nous a permis de produire des variances fondées sur le plan pour la série simulée d’estimations ponctuelles (voir les détails à l’annexe B dans Bollineni-Balabay et coll. 2016b):

$$\begin{array}{ll}\text{ln}\left[\widehat{\text{Var}}\left(Y_t^1\right)\right]\mathrm{<mo>=</mo>}\text{ln}\left[{\left(z_t^1\right)}^2\right]\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}c+{\beta }_1\text{ln}\left(l_t^1\right)+{\epsilon }_t^1\text{}\mathrm{,}{\epsilon }_t^t\sim N\left(0,{\left({\sigma }_{\epsilon }^1\right)}^2\right)\mathrm{<mo>;</mo>}\hfill \\ \text{ln}\left[\widehat{\text{Var}}\left(Y_t^j\right)\right]\mathrm{<mo>=</mo>}\text{ln}\left[{\left(z_t^j\right)}^2\right]\hfill & ={\psi }_j\text{ln}\left[{\left(z_{t-3}^{j-1}\right)}^2\right]+{\beta }_j\text{ln}\left(l_t^j\right)+{\epsilon }_t^j\text{},{\epsilon }_t^j\sim N\left(0,{\left({\sigma }_{\epsilon }^j\right)}^2\right)\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\mathrm{2,<mtext>\hspace{0.17em}</mtext>3,<mtext>\hspace{0.17em}</mtext>4,<mtext>\hspace{0.17em}</mtext>5}\right\},(4.1)\hfill \end{array}$$

où $l_t^j\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\mathrm{1,<mtext>\hspace{0.17em}</mtext>2,<mtext>\hspace{0.17em}</mtext>3,<mtext>\hspace{0.17em}</mtext>4,<mtext>\hspace{0.17em}</mtext>5}\right\}$ est le signal d’une vague comme somme de la tendance, de la composante saisonnière et du BRE. Les coefficients de régression en (4.1) sont invariants dans le temps et s’obtiennent par régression de $\text{ln}{\left(z_t^j\right)}^2$ sur $\text{ln}\left(l_t^j\right)$ et $\text{ln}\left({\left(z_{t-3}^{j-1}\right)}^2\right)$ de la série initiale de l’EPA. Les exposants servent à désigner la vague à laquelle se rattachent les coefficients. Nous présentons les estimations des coefficients au tableau 4.1 avec la mesure $R^2$ corrigée de la qualité d’ajustement.

La simulation se déroule de la manière suivante : pour chaque durée de série considérée et chaque simulation $s,$ nous employons cinq signaux simulés $l_{t\mathrm{,}s}^j\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\mathrm{1,<mtext>\hspace{0.17em}</mtext>2,<mtext>\hspace{0.17em}</mtext>3,<mtext>\hspace{0.17em}</mtext>4,<mtext>\hspace{0.17em}</mtext>5}\right\},$ pour produire cinq ensembles d’erreurs-types $z_{t\mathrm{,}s}^j$ fondées sur le plan selon le processus défini en (4.1) et avec les coefficients de régression du tableau 4.1. Dès qu’un ensemble de données artificiel est produit, une estimation ${\widehat{\rho }}_s$ est obtenue, après quoi le reste des hyperparamètres est estimé par la méthode du quasi-maximum de vraisemblance. À noter que le même ensemble d’erreurs-types $z_{t,s}$ fondées sur le plan sert à produire toutes les séries bootstrap dans une simulation particulière.

Pour dégager les EQM réelles, nous mettons le modèle EPA en simulation un grand nombre de fois $\left(M=50000\right),$ opération où chacune des itérations est assujettie aux mêmes limites que plus haut (entre zéro et un million de chômeurs). Nous calculons l’EQM réelle en prenant les valeurs réelles de vecteur d’état ${\alpha }_{m,t}$ qui sont connues pour toute simulation $m:$

$$EQ{M}_t^{\text{Réel}}=\frac{1}{\text{M}}{\displaystyle \sum _{m=1}^M\left[\left({\widehat{\alpha }}_{m,t}\left({\widehat{\theta }}_m\right)-{\alpha }_{m,t}\right){\left({\widehat{\alpha }}_{m,t}\left({\widehat{\theta }}_m\right)-{\alpha }_{m,t}\right)}^{\prime }\right]}.(4.2)$$

L’EQM réelle du signal se calcule de la même manière à l’aide des valeurs de signal de la vague $l_{m,t}.$

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