La modélisation espace-état appliquée aux séries chronologiques de l’Enquête sur la population active des Pays-Bas : sélection de modèles et estimation de l’erreur quadratique moyenne
Section 1. Introduction
Les chiffres de la population active que produisent les organismes nationaux de statistique (ONS) sont généralement tirés d’enquêtes sur la population active. On constate un intérêt grandissant pour la production de ces indicateurs à intervalles mensuels (EUROSTAT 2015). Toutefois, la taille des échantillons est généralement trop faible, même à l’échelon national, pour pouvoir se fier aux estimateurs fondés sur le plan des théories classiques de l’échantillonnage, pour produire des chiffres mensuels suffisamment précis de la population active (Särndal, Swensson et Wretman 1992; Cochran 1977). Dans ces situations, il est cependant possible d’utiliser les techniques d’estimation sur petits domaines (EPD) pour améliorer la taille utile des échantillons des domaines en question, en empruntant les renseignements de périodes antérieurs ou d’autres domaines (voir Rao et Molina 2015; Pfeffermann 2013). Les enquêtes répétées, notamment, se prêtent à l’amélioration dans le cadre des modèles de séries chronologiques structurels (SCS) ou multiniveau.
Les modèles SCS, tout comme les modèles multiniveau, comportent normalement des hyperparamètres inconnus qui doivent être estimés. Si l’incertitude qui les accompagne (c’est ce que nous appellerons l’incertitude des hyperparamètres) n’est pas prise en compte, les erreurs quadratiques moyennes (EQM) estimées des variables explicatives de domaine seront entachées d’un biais négatif. Dans le cadre de la modélisation multiniveau, la prise en compte de cette incertitude est une pratique à la fois nécessaire et courante; elle se fait habituellement grâce à l’utilisation de la méthode du meilleur prédicteur linéaire sans biais empirique (MPLSBE) ou d’un modèle bayésien hiérarchique (voir Rao et Molina 2015, chapitres 6, 7 et 10). Les modèles SCS ne sont pas utilisés aussi courramment que les modèles multiniveau dans les estimations sur petits domaines. Le filtre de Kalman, habituellement appliqué en ajustement aux modèles SCS, ne tient pas compte de l’incertitude des hyperparamètres et produit donc des estimations EQM à biais négatif. Les applications qui démontrent les avantages considérables des modèles SCS par rapport au modèles types fondés sur le plan traitent les hyperparamètres estimés d’un modèle comme étant connus (voir, par exemple, Bollineni-Balabay, van den Brakel et Palm 2016a; Krieg et van den Brakel 2012; Pfeffermann et Rubin-Bleuer 1993; Tiller 1992).
Au bureau central de la statistique des Pays-Bas (Statistics Netherlands), un modèle SCS à plusieurs variables proposé par Pfeffermann (1991) est utilisé pour produire les chiffres mensuels officiels de population active aux fins de l’Enquête sur la population active (EPA) des Pays-Bas. Comme dans bien d’autres pays, l’EPA est fondé sur un plan de sondage avec renouvellement de panel et ses échantillons sont trop petits pour produire ces chiffres mensuels. Le modèle SCS appliqué aux estimations fondées sur le plan de sondage utilise les données d’échantillonnage de périodes antérieures et tient compte du biais de renouvellement de l’échantillon (BRE) et de l’autocorrélation des erreurs d’enquête. C’est ainsi qu’on obtient des estimations mensuelles suffisamment précises de la population active en chômage (voir van den Brakel et Krieg 2015). Les modèles SCS sont également utilisés pour la production des statistiques officielles du US Bureau of Labor Statistics (Tiller 1992). Plusieurs ONS dans le monde commencent à manifester de l’intérêt à l’égard de cette technique, notamment en Australie (Zhang et Honchar 2016) en Israël et au Royaume-Uni (ONS 2015).
Nous présentons ici une étude élargie par simulation de Monte-Carlo, où le modèle de l’EPA sert de processus de génération de données. Cette simulation nous éclaire sur le processus de sélection de modèle, avant la mise en œuvre, aux fins de la production des statistiques officielles. D’abord, l’évaluation des distributions des estimateurs des hyperparamètres selon différentes spécifications de modèles fait ressortir l’importance de conserver certains hyperparamètres dans le modèle. Les diagnostics types pour les modèles espace-état ne fournissent que des renseignements limités sur des hyperparamètres non pertinents. S’il y a surspécification, non seulement la distribution des estimations des hyperparamètres redondants risque de grandement s’éloigner de la normalité, mais les estimations des autres hyperparamètres pourraient aussi s’en trouver perturbées. Disons donc que, même si le diagnostic est satisfaisant, il serait encore avisé de simuler le modèle et d’examiner la distribution de l’estimateur de maximum de vraisemblance (MV) de ses hyperparamètres.
Un autre but de la simulation est d’évaluer dans quelle mesure l’incertitude entourant les estimations des hyperparamètres influe sur l’estimation des EQM dans les modèles SCS. L’absence de prise en compte de cette incertitude dans l’estimation EQM est acceptable seulement si les séries chronologiques disponibles sont suffisamment longues. Ce qu’on appréciera comme période suffisamment longue variera selon les applications. Le plus souvent, les séries chronologiques ininterrompues dont disposent les ONS sont relativement courtes, surtout à cause du remaniement des enquêtes. Les études spécialisées proposent plusieurs moyens de tenir compte de l’incertitude des hyperparamètres dans un modèle SCS, qu’il s’agisse de l’approximation asymptotique, du bootstrap ou d’un traitement bayésien complet (pour ce dernier cas, voir Durbin et Koopman 2012, chapitre 13). Nous considérerons notamment dans notre exposé l’approximation asymptotique conçue par Hamilton (1986) et le bootstrap, paramétrique ou non, conçu par Pfeffermann et Tiller (2005) et Rodriguez et Ruiz (2012). Appliquées au modèle de l’EPA, ces méthodes visent à dégager la meilleure méthode d’estimation EQM dans cette application de la vie réelle. Nous montrerons aussi comment le problème de l’incertitude des hyperparamètres s’atténue au gré d’une progression de 48 à 200 mois des séries chronologiques de l’EPA.
Notre contribution sera quadruple. Premièrement, nous démontrerons comment la simulation de Monte-Carlo peut servir à contrôler la surspécification d’un modèle (hyperparamètres redondants). Deuxièmement, nous ferons voir le meilleur des modes proposés d’estimation EQM dans l’EPA et livrerons une évaluation plus réaliste de la réduction des variances dans le modèle SCS par opposition à la modélisation type fondée sur le plan. Troisièmement, notre étude de Monte-Carlo viendra infirmer ce que disent Rodriguez et Ruiz (2012) de la supériorité de leur méthode sur la méthode bootstrap de Pfeffermann et Tiller (2005) dans un modèle plus complexe. Quatrièmement, nous jetterons un éclairage, en dehors de la comparaison des biais EQM, sur la variance et les EQM des estimateurs EQM. Autant que nous sachions, la variabilité des méthodes bootstrap mentionnées n’a pas encore été étudiée.
Voici comment se structure notre propos. À la section 2, nous décrirons l’EPA et le modèle actuellement utilisé par Statistics Netherlands. À la section 3, nous passerons en revue les modes énumérés d’estimation EQM. À la section 4, nous détaillerons le cadre de simulation propre à l’EPA. Enfin, nous décrirons nos résultats à la section 5 et livrerons des observations en conclusion à la section 6.
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