Mesures du faible revenu et dominance stochastique

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La mesure du faible revenu de loin la plus utilisée est le taux de faible revenu, qui est simplement la proportion dénombrée de personnes qui, dans la population, vivent en état de faible revenu. Dans le présent document, nous incluons aussi dans l'analyse deux autres mesures, à savoir l'écart de faible revenu et le carré de l'écart de faible revenu. Ces trois mesures appartiennent à la classe des indices de pauvreté de Foster-Greer-Thorbecke (voir Foster, Greer et Thorbecke, 1984). De manière générale, ces mesures peuvent s'écrire sous la forme

où y_i est la valeur du revenu par équivalent-adulte pour la i^e personne et N représente le total de population. Alors, g est le déficit de revenu, c'est-à-dire l'écart entre le revenu individuel et le seuil de faible revenu, de l'individu i pour une courbe de faible revenu z et a est une mesure de la sensibilité de l'indice au déficit de revenu proprement dit. Foster, Greer et Thorbecke (1984) interprètent ce paramètre comme un indicateur d'« aversion à la pauvreté », parce qu'il accorde de plus en plus d'importance aux plus pauvres des pauvres à mesure que sa valeur augmente. Quand a=0, P₀ est simplement le taux de faible revenu; quand a=1, P est l'indice de l'écart de pauvreté ou de faible revenu, défini comme étant la distance moyenne sous la courbe de faible revenu, où la moyenne est calculée sur l'ensemble de la population, en considérant que l'écart de faible revenu est nul pour les non-pauvres; quand a =2, P₂ (le carré de l'écart de faible revenu) est appelé indice de gravité de la pauvreté ou du faible revenu, parce qu'il est sensible aux inégalités entre les pauvres. En principe, P peut être calculé pour tout ordre souhaité, mais l'interprétation devient plus difficile pour les grandes valeurs de . Par conséquent, nous limitons la discussion aux trois premières mesures dans le présent document.

Il convient de souligner qu'il est intéressant de considérer les mesures de l'écart de faible revenu (P_y) et du carré de l'écart de faible revenu (P₂)en plus de l'indice du taux de faible revenu utilisé habituellement (P₀), car ce dernier n'est ni monotone ni sensible à la distribution. Par exemple, un petiwt transfert de revenu d'une personne riche à une personne très pauvre pourrait ne pas modifier le taux de faible revenu, alors que cette amélioration du bien-être se traduit par une réduction des mesures de P₁ et de P₂. En outre, un transfert de revenu d'une personne pauvre à une personne plus pauvre pourrait ne pas altérer les valeurs de P₀ et P₁, alors qu'il affaiblit l'inégalité entre les pauvres et est reflété par une réduction de la mesure de P₂⁴. Les politiques relatives à la réduction du faible revenu pourront être mieux ciblées, qu'il s'agisse de réduire le taux de pauvreté ou l'indice de gravité de la pauvreté, si les résultats des trois mesures sont bien compris.

Dominance stochastique et inférence statistique

Afin de faire une comparaison robuste du faible revenu pour deux distributions de revenu, il est important de vérifier que le faible revenu dans l'une des distributions domine toujours le faible revenu dans l'autre, quel que soit le faible revenu utilisé. Cette exigence peut être satisfaite en s'appuyant sur la méthode de dominance stochastique, qui est fondée sur les comparaisons des fonctions de répartition cumultatives. Considérons deux distributions de revenu dont les fonctions de répartition cumulatives sont FA et FB, respectivement. Soit

, et

pour tout entier s > 2 .

Nous disons que la distribution B domine stochastiquement la distribution A à l'ordre s si pour tous les seuils de faible revenu sur le domaine d'intérêt. Le graphe de D¹( x) est souvent appelé courbe d'incidence du faible revenu, parce qu'il est tracé en portant le taux de faible revenu sur l'axe vertical et le seuil de faible revenu sur l'axe horizontal, ce qui permet au seuil de faible revenu de varier d'une valeur nulle à un seuil de revenu maximal zmax sélectionné arbitrairement. Le graphe de D²(x) est habituellement considéré comme la courbe de déficit du revenu par rapport au seuil de faible revenu et D³(x), comme la courbe de gravité du faible revenu.

Puisque les deux courbes de densité peuvent être très proches l'une de l'autre, il est nécessaire de déterminer si leur écart est statistiquement significatif. Diverses hypothèses susceptibles d'être utilisées dans une procédure de test de la dominance stochastique ont été proposées⁵. Dans le présent document, nous employons une hypothèse nulle de non-dominance de B sur A, pour tout x sur un domaine d'intérêt. Si l'hypothèse nulle est rejetée,

nous pouvons légitimement inférer la dominance de B sur A. Nous pouvons montrer qu'une telle hypothèse est asymptotiquement bornée par le niveau nominal d'un test fondé sur la loi normale standard. Le test s'appuie sur l'approche de la statistique t minimale proposée par Kaur, Prakasa-Rao et Singh (1994) pour l'hypothèse nulle contre l'hypothèse alternative de dominance. Comme ces auteurs, nous calculons la statistique t pour chaque valeur de x observée dans l'échantillon. Nous rejetons l'hypothèse nulle de non-dominance et acceptons l'hypothèse alternative de dominance si la valeur de la statistique t minimale est significative au seuil de signification de 5 %. Cette méthode est souvent interprétée comme un test d'intersection-union, parce que la dominance de B sur A ne peut avoir lieu que si la statistique t pour la différence dans toute paire ordonnée est significative⁶.

En réalité, il arrive souvent que deux distributions des revenus se recoupent dans l'intervalle d'intérêt (comme dans la figure 2)⁷. Le cas échéant, nous observons deux intervalles fermés et obtenons deux statistiques t minimales de signe opposé. Si les statistiques t minimales sont toutes deux significatives à un certain seuil de signification, nous concluons à la dominance de B sur A entre ainsi qu'à la dominance de A sur B entre . Par conséquent, la relation de dominance sur le domaine complet est incertaine ou indéterminée. Si cette situation se produit, nous pouvons résoudre le problème en recherchant un ordre plus élevé de dominance stochastique, axé sur une mesure qui accorde plus de poids aux personnes plus pauvres, pour essayer d'arriver à une conclusion catégorique. Dans le cas d'une dominance du deuxième ordre, il s'agit de comparer les courbes de déficit du revenu par rapport au seuil de faible revenu, qui peuvent être tracées en calculant l'aire sous la courbe de la fonction de répartition (courbe d'incidence du faible revenu) et en représentant graphiquement sa valeur en fonction du seuil de faible revenu. De même, nous pouvons employer la dominance du troisième ordre en comparant les courbes de gravité du faible revenu (l'aire sous la courbe du déficit du revenu par rapport au seuil de faible revenu). Si nous n'arrivons pas à rejeter l'hypothèse nulle de non-dominance jusqu'aux conditions de troisième ordre, nous déclarons que les deux distributions du revenu ne sont pas comparables.

Dans de nombreux cas, surtout dans la discussion de la théorie économique du bien-être, l'examen de la dominance de la pauvreté est souvent limité à un intervalle défini arbitrairement, , comme le propose Atkinson (1987). À la figure 2, par exemple, la dominance stochastique du premier ordre de A par B n'est pas constatée sur l'étendue complète de la distribution du revenu, alors qu'elle pourrait être obtenue sur le domaine restreint [zBmin, zBmax]. Par conséquent, les comparaisons font référence uniquement à un classement « partiel » plutôt que complet des distributions. Davidson et Duclos (2006) exposent aussi certaines raisons logiques de ne tester que la dominance restreinte et insistent sur le fait que cette approche éviterait de faire des comparaisons sur des domaines pour lesquels on ne possède pas assez d'information.

En fait, il serait peut-être plus informatif d'estimer les seuils pour les relations de dominance (ou de dominance restreinte) entre régions. Ici, puisque les statistiques de test sont calculées pour chaque valeur de x sur le domaine d'intérêt, il est possible de trouver des estimations des bornes inférieure/supérieure entre lesquelles une distribution domine stochastiquement l'autre. Pour cela, nous devons commencer par choisir une gamme de seuils de faible revenu auxquels les statistiques de test sont calculées. Puis, nous utilisons la statistique t minimale pour tester l'hypothèse nulle de non-dominance au seuil de signification de 5 %. S'il n'existe une dominance de B sur A que pour l'intervalle d'intérêt, nous déclarons la dominance et publions les estimations des bornes inférieure/supérieure entre lesquelles la distribution B se classe au-dessus de A. Toutefois, si nous ne pouvons rejeter l'hypothèse nulle, parce que le minimum t n'est pas significatif ou qu'il existe un cas inverse (dominance de A sur B) à un autre intervalle dans l'intervalle d'intérêt, nous déclarons qu'il n'y a pas de dominance et recherchons des tests d'ordre plus élevé.

Dans le présent document, les statistiques de test sont calculées principalement pour deux intervalles d'intérêt distincts sur la partie inférieure de la distribution du revenu, à savoir le domaine complet (0+ $, 20 000 $) et le domaine restreint (5 000 $, 20 000 $). Dans l'un et l'autre cas, nous choisissons arbitrairement un seuil de faible revenu possible maximal zmax = 20 000 $ de revenu équivalent (voir la définition plus bas), tandis que nous fixons la limite inférieure à 5 000 $ de revenu équivalent pour le modèle restreint.